吉林省长春市农安县2025届九年级上学期12月期末考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年吉林省长春市农安县九年级（上）期末数学试卷一、单选题（每小题3分，共24分）1．（3分）如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1解：由题意得：a﹣1≥0，∴a≥1，故选：B．2．（3分）下列各式计算正确的是（）A． B． C．2 D．2解：，故选项A错误；不能合并，故选项B错误；，故选项C正确；，故选项D错误；故选：C．3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x﹣3）2＝19 D．（x+3）2＝19解：∵x2﹣6x﹣10＝0，∴x2﹣6x＝10，∴x2﹣6x+9＝19，∴（x﹣3）2＝19，故选：C．4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（）A．6 B．5 C．4 D．3解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，解得c＜4，故选：D．5．（3分）如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交点为M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4 B．3：6：5 C．1：3：2 D．1：4：2解：∵，，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故选：C．6．（3分）将抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x﹣2）2+3解：将抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣2）2+3．故选：D．7．（3分）如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，则下列说法错误的是（）A．△BCO∽△B′C′O B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3 C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9 D．OB′：BB′＝3：2解：∵△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴S△A′B′C′：S△ABC＝4：9，△BCO∽△B′C′O′，△A′B′C′与△ABC周长比为2：3，∴OB′：OB＝2：3，∴OB′：BB′＝2：1．故选项A、B、C说法正确，选项D说法错误，即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．8．（3分）如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（）A． B．2 C． D．解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD＝a，OE，∴点B的纵坐标为，∴点B的横坐标为，∴OC，∴BE，∵AB∥CD，∴，∴EFOE，OFOE，∴S△BEFEF•BE，S△ODFOD•OFa，∴S阴影＝S△BEF+S△ODF．故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）若，则的值是．解：∵，∴7x＝4（x+y），即3x＝4y，∴．故答案为：．10．（3分）抛物线y＝x2﹣4x+7的顶点坐标是（2，3）．解：∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴抛物线的顶点坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．11．（3分）经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是10%．解：设平均每年下降的百分率是x，根据题意得50（1﹣x）2＝40.5解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）所以平均每年下降的百分率是10%．12．（3分）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平就离为5米．解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5，把点（0，1）代入得：1＝a（0﹣5）2+5，即a，∴抛物线解析式为y（x﹣5）2+5．令y＝4，得x1，x2，∴盏景观灯之间的水平距离是5m．故答案为：5．13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．解：连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DECM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，由勾股定理得：AB5，∵S△ABC，∴CM，∴DE，故答案为：．14．（3分）函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a＞0）与y＝x的图象如图所示，给出下面4个结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜1；③3a+b＝0；④当1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＜0．上述结论中，所有正确结论的序号是①③④．解：①由图象可知：抛物线与x轴无交点，即Δ＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＜0，故此选项正确；②由图象可知：抛物线过点（1，1）即当x＝1时，y＝a+b+c＝1，故此选项错误；③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点（0，3）和（3，3），当x＝3时，ax2+bx+c＝9a+3b+c＝3，当x＝0时，c＝3，∴3a+b＝0，故③正确；④由图象可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，即当1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x，∴ax2+（b﹣1）x+c＜0，故此选项正确；故答案为：①③④．三、解答题（共78分）15．（6分）计算：（1）；（2）．解：（1）原式2＝2×3＝62＝4；（2）原式＝1+22＝1+21＝3．16．（6分）用适当的方法解下列方程．（1）x2﹣5x﹣6＝0（2）2（x﹣3）2＝8．解：（1）因式分解，得（x﹣6）（x+1）＝0，于是，得x﹣6＝0或x+1＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，（2）化简，得（x﹣3）2＝4，开平方，得x﹣3＝±2，x1＝﹣1，x2＝﹣5．17．（6分）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字6，2，1；转盘B被四等分，分别标有数字﹣1，﹣2，﹣3，﹣6．（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）（1）转动转盘B一次，转盘停止时，指针指向偶数的概率为；（2）同时转动两个转盘，转盘停止时，求两个指针指向的数字之和大于0的概率．（画树状图或列表法）解：（1）转动转盘B一次，转盘停止时，指针指向偶数的概率为，故答案为：；（2）列表如下：﹣1﹣2﹣3﹣610﹣1﹣2﹣5210﹣1﹣465430由表知，共有12种等可能结果，其中两个指针指向的数字之和大于0的有4种结果，所以两个指针指向的数字之和大于0的概率为．18．（7分）如图①、图②、图③分别是4×2的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，所画点均在格点上．（1）在图①中，在AB右侧找到格点D，使S△ABC＝S△ABD；（2）在图②中，画出△ADE，使S△ADE＝S四边形ADBC；（3）在图③中，画射线AF，使AF平分四边形ADBC的面积．解：（1）如图①，过点C作AB的平行线，所经过的格点为D1，D2，则D1，D2均满足题意．（2）四边形ADBC的面积为3+1＝4．如图②，在直线BD上取格点E，使DE＝4，连接AE，此时S△ADE4，即S△ADE＝S四边形ADBC，则△ADE即为所求．（3）如图③，在线段BD上取格点F，使DF＝2，作射线AF，则射线AF即为所求．19．（7分）如图，老李想用长为70m的栅栏．再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（1）设矩形ABCD的边AB＝xm，则边BC的长度是多少？（用含有x的代数式表示）（2）当羊圈的面积为640m2时，该羊圈的长和宽分别应为多少？解：（1）设矩形ABCD的边AB为xm，则边BC的长为（70﹣2x+2）m，即（72﹣2x）m，答：边BC的长度是（72﹣2x）m；（2）设矩形ABCD的边AB为xm，则边BC的长为（70﹣2x+2）m，即（72﹣2x）m，根据题意得：x（72﹣2x）＝640，整理得：x2﹣36x+320＝0，解得：x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m）；当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）；答：当羊圈的面积为640m2时，羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m．20．（7分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶534m高的山峰（即DF的长度为534m），由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）解：（1）如图，过B点作BC⊥AE于C，则四边形BEFC是矩形，由山底A处先步行300m到达B处，山坡AB的坡角为30°，DF的长度为534m，∴∠A＝30°，AB＝300m，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴，∴DE＝DF﹣EF＝384m，答：登山缆车上升的高度384m；（2）在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，∠DBE＝53°，DE＝384m，∴（m），∴，答：从山底A处到达山顶处大约需要18min．21．（8分）定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形．利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形EFGH的形状：（写出结果并证明）当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．（1）证明：连接AC，BD，∵点E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，∴EF∥AC，GH∥AC，，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）解：∵点E、F、G、H是四边形ABCD各边中点，∴EF∥GH∥AC，EH∥GF∥BD，∵AC⊥BD，∴EF⊥GF，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．故答案为：矩形．22．（9分）【定义】如图①，若△ABC内一点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，则点P为△ABC的布洛卡点．【探究】如图②，在△ABC中，AB＝AC，点P是△ABC的一个布洛卡点．求证：△ABP∽△BCP．【应用】如图③，在【探究】的条件下，若∠BAC＝90°，且PB＜PC，判断AP与CP的数量关系，并说明理由．【探究】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵点P是△ABC的一个布洛卡点，∴∠PBC＝∠PCA∴∠ABP＝∠BCP，∴△ABP∽△BCP；【应用】解：CP＝2AP，理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∴ABBC，由【探究】知△ABP∽△BCP，∴，∴，，∴CP＝2AP．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，OA＝3，OC＝4，抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0）和点E．（1）求抛物线的表达式；（2）若P是第一象限抛物线上的一个动点，连接CP，PE，当四边形OCPE的面积最大时，求点P的坐标，此时四边形OCPE的最大面积是多少．解：（1）在矩形OABC中，OA＝3，OC＝4，∴点B（3，4），∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点B，且与x轴交于点D（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4；（2）如答图1，连接CE，过点P作PH⊥x轴，交BC于点F，交CE于点G，当y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得x＝﹣1，x2＝4，∴E（4，0），设直线CE为y＝kx+n，将C（0，4），E（4，0）代入可得，，解得，∴直线CE为y＝﹣x+4，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+3m+4），∵PH⊥x轴，点F在BC上，点G在CE上，∴H（m，0），F（m，4），G（m，﹣m+4），∴S四边形OCPE＝S△OCE+S△PCE＝﹣2m2+8m+8＝﹣2（m﹣2）2+16，∵﹣2＜0，∴函数有最大，当m＝2时，P（2，6），此时四边形OCPE的面积最大为16．24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD为斜边AB的中线．点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，得到四边形PECF，CD与四边形PECF的一边交于点G，连结PC．设点P的运动时间为t秒．（1）求线段CF的长．（用含t的代数式表示）（2）当四边形PECF是正方形时，求t的值．（3）当CD将四边形PECF的面积分为1：3两部分时，求t的值．（4）作点G关于直线PC的对称点G′，当点G′落在四边形