八年级数学上学期期中期末冲刺卷-特训07 期中选填压轴题（第1-3章）（解析版）

特训07期中选填压轴题（第1-3章）一、单选题1．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质对选项逐个判断即可．【解析】∵平分∴∵，∴∴∴，故①正确；∵∴，∵平分，∴，②正确；∵，∴，∵∴∴∴∴，③正确；∵平分，∴∵∴∴∵平分∴∵，∴∴，⑤正确；∵∴∵，∴即，④正确；正确的个数为5故选：D【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，主要考查了学生的推理能力，有一定难度．2．如图，在和中，，，连接，延长交于点，连接．下列结论：；；；平分．其中正确的结论个数有（）个．

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】先证明，再证明即可得到，故①符合题意；记、的交点为，结合三角形全等的性质以及三角形内角和定理可得，故③符合题意；根据在上可以是个动点，仍然满足中，，，可得不一定等于，故②不符合题意；作于，作于，由全等三角形的性质可得，再证明，即可得到④符合题意．【解析】解：，，即，在和中，，，，故①正确，符合题意；如图，记、的交点为，

，，，，，，，故③正确，符合题意；在上可以是个动点，仍然满足中，，，不一定等于，故②错误，不符合题意；如图，作于，作于，

，则，，由全等三角形的对应高相等可得：，在和中，，，，平分，故④正确，符合题意；综上所述，正确的为①③④，共3个，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上性质，添加适当的辅助线是解题的关键．3．如图，在和中，，，，，连接，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；设交于点G，因为，所以，可判断②正确；作于点I，于点J，由得，则，即可证明平分，可判断④正确；假设，则，所以，由，，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案．【解析】∵，∴，在和中，，∴，∴，，故①正确；设交于点G，∴，故②正确；作于点I，于点J，∵，∴，∴，∴点A在的平分线上，∴平分，故④正确；假设，则，∴，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，与已知条件相矛盾，∴，故③错误，∴①②④这3个结论正确，故选：C．

【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．4．如图，的内角和外角的平分线相交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（

）个．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根据角平分线的定义得到，，根据外角的性质即可得到结论；②与只有三对角是相等的，但不能得出相等的边，所以不能得出全等的结论，；③由，结合线段的代换．即可得到结论；④由于是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点到、、的距离相等，从而得出为外角平分线，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可得出结论．【解析】解：①平分，，平分，，，，，，故①正确；②与只有三对角是相等的，但不能得出相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误．③平分，，，，，，同理，，故③正确．④过点作于，于，于，如图，平分，，平分，，，平分，设，，，如图，则，，，，，，，，即，故④正确；故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理、三角形外角性质等多个知识点，具有一定难度．判断出是外角平分线是关键．5．如图，在中，，平分交于点D．平分交于点E，、交于点F．则下列说法正确的个数为（）①；②；③若，则；④；⑤．

A．①②③ B．①③④ C．②③⑤ D．①③④⑤【答案】D【分析】由，得，则，可判断①正确；作于点G，于点H，则，因为与不一定相等，与不一定相等，可判断②错误；延长到点K，使，连接，可证明，得，而，所以，则，所以，则，可判断③正确；在上截取，连接，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断④正确；作于点M，于点N，因为，所以，即可推出，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．【解析】解：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴，故①正确；如图1，作于点G，于点H，则，

∵与不一定相等，∴与不一定相等，即：与不一定相等，故②错误；如图1，延长到点K，使，连接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故③正确；如图2，在上截取，连接，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故④正确；如图2，作于点M，于点N，

∵，∴，∴，∵，∴，故⑤正确，故选：D．【点睛】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．6．如图，在中，，，和的角平分线相交于点D，过点作的垂线，交延长线于点，连接，若的面积为6，下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有几个．（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由可判定①不正确；根据，和的角平分线相交于点，可得，而，即得，故②正确；由和的角平分线相交于点，知是的内心，可判定③正确；由，得，又平分，，可得，即可判定④不正确．【解析】，∴，①不正确；，，和的角平分线相交于点，，，，，，故②正确；和的角平分线相交于点，三条角平分线交于同一点平分，故③正确；，，，∴，∴，平分，，，∴，∴，故④不正确；综上所述，正确的有②③故选：B．【点睛】本题考查三角形的综合应用，涉及三角形的内心、三角形面积、三角形全等的判定及性质等知识，解题的关键是从图中找出并证明．7．如图，，，点，在线段上，且满足，点在射线上，且，则满足上述条件的点有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上【答案】B【分析】分为两种情况：①当P在线段上时，②当P在上时，分别求出或的值，再根据判断即可．【解析】解：分为两种情况：①当P在线段上时，作E关于的对称点E'，连接交于点O，则，

连接交于P，过作于H，∵E，关于对称，∴，∴，∵两点之间，线段最短，∴的最小值为线段的长度，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，当P在点A处时，，当P在点C处时，连接，过C作于M，

∵，∴∵，∴，∴，∴，在中，，，∴，在中，，∴，当P在C处时，，∴当P在AC边上时，存在两个点P使，②当P在边上时，作F关于的对称点，连接，交于点G，则，过作，交的延长线于点N，连接，交于P，连接，如图：

∵F与关于对称，∴，∴，∴的最小值为线段的长度．∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴当P在边上时，不存在，综上所述，点P在直角边上，且满足，则这样的P点个数有两个．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、含30°的直角三角形的性质及轴对称等知识点，数形结合、分类讨论及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．如图，在中，，，点D、E为上两点，，F为外一点，且，，则下列结论：；；；，其中正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．【解析】解：∵，，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故①正确；由①中证明，∴，∵，，∴，∴，连接，如图所示：

∵，∴，∵，，∴，故②正确；设与的交点为，∵，，∴，，∴，故③错误，∵，，∴，在中，，，∴，∴，故④正确，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．9．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（

）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】根据等边三角形的性质，证明；即可得①正确；证明，，再由，即可得②正确；先证，得，再证，即可得③正确；先证，得，再证，由，即可得④正确；【解析】解：是等边三角形，，在和中，，，故①正确；，，，，，，，的平分线交于边上的点G，，，，故②正确；如下图，过点G作于T，于J，于K，

平分，平分，，，，，，，，，，，，故③正确；，，，，，，，，，，故④正确；综上：正确的有4个；故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，三角形的外角，解题的关键是证三角形全等．10．如图，在中，，的角平分线和的平分线相交于点，交于点，交的延长线于点，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的有（

）

A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④【答案】C【分析】①设，，利用三角形外角的性质可得：；②延长、交于点，利用全等三角形的性质，求解即可；③证明，即可求证；④在上截取，连接，证明，即可求解．【解析】解：设，，∵平分，∴，根据三角形外角的性质可得：，∴，故①正确；延长、交于点，如下图：∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，②正确；同理可得：，∴，③正确；∴为等腰直角三角形，即，在上截取，连接，如下图：

则为的垂直平分线，∴，∴，∴为等腰直角三角形，即∵，，∴，，又∵∴，∴，∴，④正确；故选：C．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，构造出辅助线．11．如图，在中，的平分线交于点E，交于G，，连接交于点H、下列结论：①若将沿折叠，则点E一定落在上；②图中有8对全等三角形；③；④若，则，上述结论中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由，得，由，得，先证明，得，则垂直平分，再证明，得，若将沿折叠，则点E一定落在上，可判断①正确；可证明，得，则垂直平分，可知与互相垂直平分，则，可列举出原图中的9对全等三角形，可判断②错误；连接，则，得，可推导出，再证明，则，可判断③正确；作于点L，则，由，得，则，再证明，则，于是求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴点A、点E都在的垂直平分线上，∴垂直平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴若将沿折叠，则点E一定落在上，故①正确；∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴垂直平分，∴与互相垂直平分，∴，在原图中，这四个三角形全等，就可组成6对全等三角形，还有，再加上前面证明的，上述的全等三角形已达到9对，超过8对，故②错误；连接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故③正确；作于点L，则，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，故④正确，故选：C．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、根据转化思想求多边形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且证明有关的三角形全等是解题的关键．12．如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且.有下列结论：①；②为等边三角形；③；④.其中正确的结论是（

）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④【答案】A【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可得，可判断②；过点作，在上截取，由“”可证，延长至H，使，则点关于的对称点，连接，根据对称性质即可判断③；过点A作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断④．【解析】解：如图，连接，∵，点是的中点，∴，，，∴是的中垂线，∴，而，∴，∴，，∴，∴，故①正确；∵，∴，

∵，∴，∴而，∴是等边三角形，故②正确；如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故③正确；过点A作，在上截取，

∵，∴是等边三角形，∴，∴，且，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故④正确．所以其中正确的结论是①②③④．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键．13．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，矩形AKJD的面积为S3，矩形KJEB的面积为S4，下列结论中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S3+S4=S▱ABED，即可判断③，由③S1-S4=S3-S2，两边平方，根据勾股定理可得，然后计算，即可判断④．【解析】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正确；∵S△ACD=S△AIB=×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC，∴S1：S△ACD=2：1，故②正确；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正确；S1-S4=S3-S2，，∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK•KJ=AK•AB，S4=BK•KJ=BK•AB，，，∵AB2=AC2+BC2，，，即，，∴S1•S4=S2•S3，故④正确，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的条件，勾股定理的运用，完全平方公式的变形．14．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：①；②；③当，m为非负整数时，有；④若，则非负实数x的取值范围为；⑤满足的所有非负实数x的值有4个．以上说法中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】对于①根据新定义直接判断，②可用举反例法判断，③根据题意所述利用不等式的性质判断，④利用对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，进而列出不等式得出的取值范围即可判断，⑤根据新定义得出是的倍数，进而得出的值．【解析】解：①，故结论正确；②错误，比如时，，而，故结论②错误；③为非负整数，则，不影响“四舍五入”，所以当时，故结论③正确；④∵，∴，∴，故④错误；⑤又∵且为非负实数，即：，解得：，若满足，则为整数，必然是的倍数，则，为整数，则，可得，即：当，1，2，3时，亦即当，，，时，满足的所有非负实数x的值有4个，故⑤正确；综上，正确的有①③⑤，共3个；故选：C．【点睛】本题考查了四舍五入，解一元一次不等式，以及学生理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．15．已知关于，的方程组，其中，下列说法正确的是（

）①当时，与相等；

②是原方程组的解；③无论为何值时，；

④若，，则的最大值为11；A．①③ B．②③ C．②③④ D．③④【答案】D【分析】①当时，则有即可求解；②当，取不同值时解不同，即可求解；③解此方程组得，即可求解；④可求，由，可求，进而可求解．【解析】解：①当时，则有，解得：，故①错误；②当，取不同值时解不同；故②错误；③解此方程组得，所以，故③正确；④，因为，所以，解得：，因为，所以，所以，所以的最大值为，故④正确；故选D．【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组，一元一次不等式组等，掌握方程组及不等式组的解法是解题的关键．16．对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，如：，，，给出如下结论：①；②若，则x的取值范围是；③当时，的值为1或2；④若且，则x的取值范围为．其中正确的结论有(

)个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据所学知识逐项判断即可．①可举反例；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论；④根据x的取值范围，求出方程的解后判断．【解析】解：①、因为[x]表示不大于x的最大整数，∴当时，∴①不正确；②、若，则x的取值范围是，故②是正确的；③、当时，[，当时，，当时，，综上③是正确的；④、∵，∴，解得：．∵∴，解得：∴x的取值范围为故④是错误的．故正确的是：②③，共两个．故选：B．【点睛】本题考查了不等式组．题目难度较大．理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键．二、填空题17．如图，中，，，平分交于，于点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④为定值．其中结论正确的是．

【答案】①②③④【分析】过作于，可得，进而证明，即可判断①，作，交于，证明，可得，根据等腰三角形的性质与判定得出，，进而判断②③；过作于，证明，则，进而得出，即可判断④【解析】解：过作于，

，平分，，在中，∴，，，，，，，，，①正确；作，交于，，，，，，，，，，，，，，，，，②正确，③正确；过作于，，，，平分，，，，在和中，，，，，在中，，∴，∴④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，三角形内角和外角性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握以上知识是解题的关键．18．如图，在的边,上取点M，N，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是8，则的长是．

【答案】10【分析】过点P作，垂足为E，过点P作，垂足为F，过点P作，垂足为G，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积求出，再利用的面积的面积的面积，进行计算即可解答．【解析】解：过点P作，垂足为E，过点P作，垂足为F，过点P作，垂足为G，连接，

∵P是外角平分线的交点，∴，∵，的面积是2，∴，∴，∴，∵的面积是8，∴的面积的面积的面积，∴，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．19．如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．下列结论中：；；；，其中正确的有

【答案】①②③【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质及三角形三边关系判断②③；根据全等三角形的性质及平行线间的距离相等及三角形面积公式判断④．【解析】解：在中，∵，∴，又∵、分别平分，∴，∴，故①正确；∴，又∵，∴，∴，又∵，在和中，，∴（），∴，，，故②正确；在和中，∵，，，∴，∴，又∵，∴．故③正确；连接，，

∵，，∴，，，∵，∴，∴，∴∵故④错误，∴正确的有①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．20．如图，已知为等边三角形，边长为6，点D，E分别是边上的动点，点D从点A开始沿射线方向运动，同时点E从点B开始沿射线方向运动，点D运动速度始终是点E运动速度的2倍，以为边向右侧作等边三角形．点G是边的中点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】在上截取，连接，，证明，推出，证明为等边三角形，再证明平分，得出点F的轨迹，进一步求得的最小值．【解析】解：∵运动速度始终是点运动速度的2倍，∴设，则，，如图，在上截取，连接，，

则，，为等边三角形，，，为等边三角形，，，为等边三角形，，，，在和中，，，，，，作射线，如图所示，，

在中，，取的中点，连接，则，，为等边三角形，，，，，，是的角平分线，即：点在的角平分线上运动，如图所示，作于，此时，最小，

是的中点，，在中，，，故的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，解决问题的关键是构造全等，找到的运动轨迹．21．如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，．其中正确的是．（填序号）【答案】①②③④【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；证明，可判断结论③；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论④．【解析】解：在中，，∴，又∵、分别平分、，∴，，，∴，故结论①正确；∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，，故结论②正确；∴，在和中，，∴，∴，，∴，故结论③正确；连接，，∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故结论④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键．22．如图，在中，，，，点在线段上运动（不包含点），连接，将沿直线翻折得到．（1）当时，则．（2）在点运动过程中，点到直线距离的最大值是．【答案】；.【分析】（）利用折叠性质得，又求出，最后根据三角形内角和即可求解；（）根据折叠性质可知：，，再根据等腰三角形“三线合一”定理和角所对直角边是斜边的一半即可求解．【解析】（）如图，由折叠性质可知：，，∵，∴，∵，∴，故答案为：；（）如图，，当垂足在线段上时，点到直线距离的最大；∴，由折叠性质可知：，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了三角形翻折，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，等腰三角形“三线合一”定理和角所对直角边是斜边的一半及其应用．23．如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发以每秒的速度沿运动．设点运动的时间是秒，那么当秒，的面积等于．

【答案】或或【分析】分当点在线段上运动时，当点在线段上运动且在点的左边时，当点在线段上运动且在点的右边时，三种情况讨论，根据的面积等于，计算点的运动路程，求出的值即可．【解析】解：∵，，，∴，∵点是的中点，∴，当点在线段上运动时，∵的面积等于12，∴，∴（秒）；当点在线段上运动且在点的左边时，，∴点的运动路程，∴（秒）；当点在线段上运动且在点的右边时，，∴点的运动路程，∴（秒）．故答案为∶或或．【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式的运用、勾股定理等，根据点的运动位置分类讨论是解题的关键．24．如图，中，，，，垂足是，平分，交于点．在外有一点，使，．在上取一点，使，连接交于点，连接．①；②；③；④．其中正确的结论有：．（只填序号）

【答案】①②③④【分析】①通过角的转换和等腰直角三角形的性质，得到和，从而证明，根据全等三角形对应边相等得到结论；②过点作于点，通过证明是的垂直平分线就易得出结论；③通过证明和来证明结论；④过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据，即可得出结论．【解析】①∵，，∴，，∴，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴；故①正确②过E作于点G．∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵，平分，∴，∴，∵，∴，即G是的中点，∴是的垂直平分线，∴，∴，∴，即．故②正确；③∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．∴，故③正确；

④如图所示，过点作于点，

∵，，∴，又∵，∴，∵，

∴，∴，，∴，∵,∴，即故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．25．问题探究：如图1，在中，，，，为中点，连接，为上一动点，为上一动点，则的最大值为．拓展应用：如图2，在等腰中，，，作，点是线段上一点，且，连接，点是线段上一动点，将线段沿直线翻折，点的对应点'恰好落在线段上，点是上一动点，连接，．则的最大值为．

【答案】【分析】（1）证明是等边三角形，得出，根据当取得最大值时，取得最大值，当三点共线时，取得等于号，即点运动到点，运动到点,或者与点重合时，取得等于号，即可求解；（2）延长交于点，则，等面积法求得，勾股定理求得，根据等腰三角形，三线合一得出，进而求得，同（1）可得，则点与点重合,取得最大值，即的长即为所求．【解析】解：如图所示，

在中，，，∴，，∵为中点，∴，∴是等边三角形，∵∴当取得最大值时，取得最大值，当三点共线时，取得等于号，即点运动到点，运动到点,或者与点重合时，取得等于号，此时故答案为：．（2）∵在等腰中，，，∴，，∵，∴∴，如图所示，

延长交于点，则，∵，，∴∴∴同（1）可得，则点与点重合,取得最大值此时当点与点重合，点与点重合，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在中，，，点D为延长线上一点，延长至点B，使，连接、．过点F作的垂线，过点G作的垂线交于点C，交于点H，两条垂线相交于点A，连接、、．下列结论中正确的是．（请填写序号）①；②当时，；③；④；⑤若，，，则．

【答案】①②④【分析】证明，即可判断①；根据等边对等角有，结合垂直的定义可判断②；先证明，即有，在中，，据此进而可判断③；根据，有，根据，，可得，结合，可得，故可判断④；利用勾股定理可得，进而有，则可得，根据，可得，根据，可得，进而有，即可得，据此可判断⑤．【解析】∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故①正确；∵，，∴，∵，∴，故②正确；∵，∴，即，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴，∵，∴，故③错误；∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，故④正确；∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故⑤错误；故答案为：①②④．【点睛】本题