正余弦定理地应用举例教案设计

正余弦定理地应用举例教案设计一、教学目标1.知识与技能目标能够运用正余弦定理解决一些与测量、几何计算相关的实际问题，如距离、高度、角度等。熟练掌握将实际问题转化为解三角形问题的一般方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。2.过程与方法目标通过对实际问题的分析和解决，培养学生运用数学知识建立数学模型的能力，体会数学建模的思想方法。在解决问题的过程中，让学生经历观察、分析、推理、计算等过程，提高学生的逻辑思维能力和运算能力。3.情感态度与价值观目标通过实际问题的解决，让学生感受数学与实际生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣和积极性。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生的数学应用意识和实践能力。二、教学重难点1.教学重点运用正余弦定理解决实际问题的思路和方法。建立数学模型，将实际问题转化为解三角形问题。2.教学难点如何引导学生正确分析实际问题，找出已知条件和所求量，建立合适的数学模型。对一些复杂实际问题的求解，如涉及多个三角形的问题或条件不明确的问题。三、教学方法1.讲授法：讲解正余弦定理在实际问题中的应用原理和方法，使学生系统地掌握相关知识。2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，引导学生分析问题、找出解决问题的思路，培养学生的合作学习能力和思维能力。3.案例教学法：通过具体的实际案例，让学生亲身体验正余弦定理的应用过程，加深对知识的理解和掌握。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示实际问题的情境，直观形象地帮助学生理解问题，提高课堂教学效率。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.回顾正余弦定理的内容正弦定理：\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为三角形外接圆半径）余弦定理：\(a^2=b^2+c^22bc\cosA\)，\(b^2=a^2+c^22ac\cosB\)，\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)2.提出问题在实际生活中，我们经常会遇到一些需要测量距离、高度、角度等的问题，比如如何测量河对岸两点之间的距离，如何测量山顶的高度等。这些问题能否用我们所学的正余弦定理来解决呢？今天我们就来学习正余弦定理的应用举例。（二）新课讲授（25分钟）1.实际问题类型一：测量距离问题例1：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，\(\angleBAC=51^{\circ}\)，\(\angleACB=75^{\circ}\)。求A、B两点间的距离（精确到0.1m）。分析：已知在\(\triangleABC\)中，\(AC=55m\)，\(\angleBAC=51^{\circ}\)，\(\angleACB=75^{\circ}\)，要求\(AB\)的距离。首先根据三角形内角和定理求出\(\angleABC\)的度数，然后利用正弦定理求解\(AB\)。解答：因为\(\angleABC=180^{\circ}\angleBAC\angleACB=180^{\circ}51^{\circ}75^{\circ}=54^{\circ}\)。由正弦定理\(\frac{AB}{\sin\angleACB}=\frac{AC}{\sin\angleABC}\)，可得\(AB=\frac{AC\sin\angleACB}{\sin\angleABC}\)。代入数据得\(AB=\frac{55\times\sin75^{\circ}}{\sin54^{\circ}}\)。计算\(\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)。再代入计算得\(AB\approx\frac{55\times\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\sin54^{\circ}}\approx65.7m\)。总结方法：对于测量距离问题，关键是要找到一个可解的三角形，明确已知条件和所求量，然后运用正余弦定理求解。一般步骤为：分析问题，画出示意图；确定已知条件和所求量；选择合适的定理建立等式求解。2.实际问题类型二：测量高度问题例2：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角\(\alpha=54^{\circ}40'\)，在塔底C处测得A处的俯角\(\beta=50^{\circ}1'\)。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD（精确到1m）。分析：已知\(\angleBAC=\alpha\beta\)，\(\angleABC=90^{\circ}\alpha\)，\(BC=27.3m\)，要求山高\(CD\)。先在\(\triangleABC\)中求出\(AC\)的长度，然后在\(\triangleACD\)中求出\(CD\)。解答：在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=\alpha\beta=54^{\circ}40'50^{\circ}1'=4^{\circ}39'\)，\(\angleABC=90^{\circ}\alpha=90^{\circ}54^{\circ}40'=35^{\circ}20'\)。由正弦定理\(\frac{AC}{\sin\angleABC}=\frac{BC}{\sin\angleBAC}\)，可得\(AC=\frac{BC\sin\angleABC}{\sin\angleBAC}\)。代入数据得\(AC=\frac{27.3\times\sin35^{\circ}20'}{\sin4^{\circ}39'}\)。在\(\triangleACD\)中，\(\angleCAD=\beta=50^{\circ}1'\)，\(\angleACD=90^{\circ}\)，所以\(CD=AC\sin\angleCAD\)。计算\(AC\)的值后，再代入计算得\(CD=AC\sin50^{\circ}1'\approx150m\)。总结方法：测量高度问题通常需要构建直角三角形或斜三角形。若有俯角或仰角等条件，要善于利用角度关系找到三角形中的已知角。先通过一个三角形求出相关边长，再利用该边长在另一个三角形中求解高度。3.实际问题类型三：测量角度问题例3：如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东\(75^{\circ}\)的方向航行67.5nmile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东\(32^{\circ}\)的方向航行54.0nmile后到达海岛C。如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（角度精确到\(0.1^{\circ}\)，距离精确到\(0.01nmile\)）分析：已知\(AB=67.5nmile\)，\(\angleABE=75^{\circ}\)，\(BC=54.0nmile\)，\(\angleFBC=32^{\circ}\)，要求\(\angleBAC\)和\(AC\)的长度。先求出\(\angleABC\)的度数，然后在\(\triangleABC\)中利用余弦定理求出\(AC\)，再利用正弦定理求出\(\angleBAC\)。解答：因为\(\angleABC=180^{\circ}75^{\circ}+32^{\circ}=137^{\circ}\)。由余弦定理\(AC^2=AB^2+BC^22AB\cdotBC\cos\angleABC\)，可得：\(AC^2=67.5^2+54.0^22\times67.5\times54.0\times\cos137^{\circ}\)计算得\(AC^2\approx12316.89\)，则\(AC\approx110.98nmile\)。由正弦定理\(\frac{BC}{\sin\angleBAC}=\frac{AC}{\sin\angleABC}\)，可得\(\sin\angleBAC=\frac{BC\sin\angleABC}{AC}\)。代入数据得\(\sin\angleBAC=\frac{54.0\times\sin137^{\circ}}{110.98}\approx0.3255\)。所以\(\angleBAC\approx19.0^{\circ}\)。则\(75^{\circ}19.0^{\circ}=56.0^{\circ}\)，即此船应该沿北偏东\(56.0^{\circ}\)的方向航行，需要航行约\(110.98nmile\)。总结方法：测量角度问题，关键是确定三角形的已知边和已知角。先利用角度关系求出三角形中的一个角，再运用正余弦定理求出其他边和角。注意所求角度与已知条件中的角度关系，准确计算。（三）课堂练习（15分钟）1.如图，为了测量河对岸两点A、B之间的距离，在河岸这边取点C、D，测得\(\angleADC=85^{\circ}\)，\(\angleBDC=60^{\circ}\)，\(\angleACD=47^{\circ}\)，\(\angleBCD=72^{\circ}\)，\(CD=100m\)。求A、B两点间的距离（精确到1m）。2.如图，在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶部的仰角为\(60^{\circ}\)，塔吊底部的俯角为\(45^{\circ}\)，求该塔吊的高（精确到\(0.1m\)）。3.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东\(45^{\circ}\)方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西\(15^{\circ}\)方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少小时能尽快追上乙船？（精确到\(0.01h\)）学生练习，教师巡视指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误，对有困难的学生进行个别辅导。（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括测量距离、高度、角度等实际问题的解决方法。2.强调运用正余弦定理解决实际问题的关键步骤：分析实际问题，画出准确的示意图。确定已知条件和所求量，找到合适的三角形。选择正余弦定理建立等式求解。3.总结数学建模的思想方法，鼓励学生在今后的学习和生活中积极运用数学知识解决实际问题。（五）布置作业（5分钟）1.课本习题：P10，第1、2、3题。2.拓展作业：如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为\(45^{\circ}\)，距离为10nmile的C处，并测得渔轮正沿方位角为\(105^{\circ}\)的方向，以9nmile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救。求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到\(0.1^{\circ}\)，时间精确到\(1min\)）。思考：在实际生活中，还有哪些问题可以用正余弦定理来解决？请举例说明，并尝试解决。