广东省惠州仲恺中学等五校2024-2025学年高二下学期4月联考数学试卷（含答案）

注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。该质点在t=2秒时的瞬时速度是A.14米/秒B.17米/秒C.19米/秒D.21米/秒3.已知函数f(x)=√a,则式(△x>0)表示A.f(x)在x=1+△r处的导数B.f(x)在x=1处的导数C.f(x)在[1,1+△x]上的平均变化率D.f(x)在[1-△r,1]上的平均变化率4.若S=0!+1!+2!+3!十…+100!,则S的个位数字是A.0C.45.已知函数f(x)=e²¹+f'(1)x²+1,则f(2)=A.e+2B.e-4C.6.已知函数f(x)的导函数f'(xC.x3A.98.已知函数2,则a,b,c的大小关系正确的是A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<cA.CW=C-mB.Cm+1=Cm-¹+C10.下列关于函数f(x)=(2x-x²)e的判断正确的是11.已知函数f(x)=3x²+e²-1(x<0)与)的图象上存在关于A.-113.马路上亮着一排编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10盏路灯.为节约用电，现要求把其中的14.已知函数,g(x)=2m-Inx,若关于x的不等式f(x)≤xg(x)有解，则m15.(本小题满分13分)设函数f(x)=xsinx+cosx+x².16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x³-3x²-9x+2.(2)求曲线y=f(x)在点(1,(3)若直线y=kx与曲线y=f(x)-2相切于点(xo,yo)(x₀≠0),求k的值.17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=e²-2x.(1)求f(x)的极值；18.(本小题满分17分)在0,1,2,3,4,5,6中选出4个数字组成一个四位数.(3)若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数?19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=(x+1)Inx-ax+2.参考答案、提示及评分细则12345678ADCCBCAD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的91.A由题意y(t)=6t+2,则y(2)=6×2+2=14米/秒.故选A.3.C因为f(x)=√x,所)表示：f(x)在[1,1+△r]上的平均变化率.故选C.位数字，则其实只要将前面五个数加起来，即1+1+2+6+24=34.所以S的个位数字就是4,故选C.5.B函数f(x)=e¹+f(1)x²+1,(xs,xs)上单调递减，故f(x)的极大值点为x,故选C.7.A的展开式的通项为,令9-3r=0,则r=3,则x⁶的系数为9.故选A.增，当x∈(e,+∞)上单调递减.故,故a<c,b<c,,b=),又∵5>4>e,∴f(5)<f(4)<f(e),即b<a<c,故选D.9.ABD根据组合数的性质或组合数的计算公式,可知A,B选项正确；,而,故C选项错误；正确.f(x)的单调递增区间，故A错误；对于B,由A知，f(x)在(-∞,-√2),(√2,+～)上是减函数，在(-√2,11.ABC函数f(x)关于y轴对称的函数表达式为h(x)=3x²+e-1(x>0),只需要方程g(x)=h(x)有正根，方程可化为.令),有T'(x)=-e-x+1,令Mx)=-e-x+1(x>0),有M(x)=e“-1<0,可得函数M(x)单调递减，则M(x)<M(O)=0,【高二五校联考试题·数学卷参考答案第1页(宾3资)5347B【高二五校联考试题·数学卷参考答案第2页(宾3贸】5347B可得函数T(x)单调递减，有T(x)<T(O)=0.由函数y=In(x+a)是由函数y=Inx平移过来的，故方程g(x)=h(x)有正根时，只需要函数y=In(x+a)与x轴的正半轴有交点，即方程In(x+a)=0的根x=1-a>0,则实数a的取值范围为(-0,1).三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.21根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法.先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有C=21种关灯方法.令t=—2x-Inx,易得t∈R,y=e-t,则y'=e-1,令y'=e-1=0,当t<0时，y'<0,当t>0时，y'>0,则y=e-t在(-0,0)上单调递减，在(0,+一)上单调递增，得当t=0时，y=e-t取得最小值为1,故2m≥1,即,故m的最小值是四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。15.解：(1)f(x)的定义域为R,f(x)=sinx+xcosx-sinx+2x=x(cosx+2),所以f(x)的单调减区间为(-∞,0),单调增区间为(0,+∞).……6分(2)由(1)知f(x)在[-π,0]上单调递减，在[0,2π]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(O)=1;……9分16.解：(1)∵f(x)=x³-3x²-9x+2,∴f(x)=3x²-6x-93(2)由(1)可得f(1)=-9,f(1)=-12,切点坐标为(1,-9),因此，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+9=-12(x-1),(3)直线y=kx过原点，则又y'=3x²-6x-9,所以k=3x²-6x₀-910又,整理得2x?—3x=0,……………17.解：(1)由函数f(x)=e²-2x,可得f'(x)=2e²-2,1分故fCx)在(0,+∞)上单调递增，在(-∞,0)上单调递减，…………5分(2)由f(x)>2(e-1)x+m得e²-2x>2(e-1)x+m,故e²-2ex>m,8分构造函数g(x)=e²-2ex,则g'(x)=2e²ˣ-2e,9分18.解：(1)若选到0,则0不能排在首位，有CA=360个，若没有选到0,则有A=360个，综上可知，共有360+360=720个没有重复数字的四位数…………………5分若个位是0,则有A=120个，若个位不是0,则个位是2,4,6中的一个数字，有3种选法，千位有5种选法，中间两位有A3=20种选法，则有3×5×20=300个；综上可知，共有120+300=420个没有重复数字的四位数…………………11分(3)0,1,2,3,4,5,6中选出4个数字组成一个四位数，共有A-A=720个数，其中有5和6的数，有CA综上可知，若5和6至多出现1个，可以组成720-216=504个没有重复数字的四位数………………17分设………所以g'(x)>0⇔x>1,g'(x)<0⇔0<x<1,故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增……………………4分从而f(x)mn=f(1)=2-a,所以f(x)的值域为(2-a,+∞)………5分因为f(x)是单调函数，所以2-a≥0,解得a≤2,故实数a的取值范围是(-∞,2)………………7分(2)证明：由(1