考高考前阅读题(数学)

高考数学一.三角函数主干有三大考点：具体包括：（1）三角函数的图像及其性质（2）三角函数的恒等变换（3）解斜三角形[问题1]：已知函数，其图象过点（,）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0,]上的最大值和最小值【解析】：（Ⅰ）因为已知函数图象过点（,），所以有，即有=，所以，解得。（Ⅱ），所以==，所以=，因为x[0,]，所以，所以当时，取最大值；当时，取最小值。分析：此题注重基础，强调通法，不偏不怪。选择对基础知识、基本技能的考查，循序渐进，层次清晰，当属优秀试题之典范，本题把三角函数在图像、性质和三角恒等变换有机结合；考查了三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函数的最值问题。体现了新课程不但重视“知识与技能”，而且重视“过程与方法”，考生分析问题与解决问题的能力在解题中得到了检验。解题指导：这一类型题利用固有的三角公式先化简，再结合正弦，余弦，切函数图像，求性质，出现函数图像的变换，同学们要知道三角函数图像变换的类型。[问题2]：如图，正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙（渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙），此时B、D两处相距42km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．【解析】：设，在△ABD中，AD=30，BD=42，，由正弦定理得：，，又∵AD<BD∴，，在△BDC中，由余弦定理得：∴答：渔船乙要航行才能到达渔船丙所在位置C处实施营救．分析：此题是解斜三角形的知识在实际问题中的应用，理清方向角，方位角，俯角，仰角等角的数学定义，结合所给的边角元素恰当的利用正、余弦定理对其未知的边角进行分析和运算，对以轮船的行驶、飞机的航行等为实际背景问题，我们同学读懂题意，结合解斜三角形的知识，正确的解之，体现了新课程重视运用数学知识解决实际问题的能力和数学来源于生活的思想。解题指导：解斜三角形主要是正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式等基本知识的运用.建立方程的思想，利用已知的边角元素寻求未知量，对于含有边角的等式注意转化的方法：边化角或角化边（边角统一），还要注意与两向量的特殊位置的交汇.二．数列1注意等差数列和等比数列基本公式的运用；2.注意数列求和的几种方法，不必复杂化；3.不必过分关注数列与不等式相关的题目。[问题3]：在等差数列中，令，数列的前n项的和为，（1）求的通项公式（2）若【解析】(1)设等差数列公差为d,由，及得（2）故m=2[问题4]：在各项均为正数的数列中,已知点在函数的图像上,且.(Ⅰ)求证:数列是等比数列,并求出其通项；(Ⅱ)若数列的前项和为,且,求．【解析】(Ⅰ)因为点在函数的图像上,所以,且,所以,故数列是公比的等比数列.因为,所以,即,则,所以(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以.所以……①……②①-②式得即分析：这两题都是等差、比数列通过通项建立方程求基本量，注重数列的基本公式的运用及其求和的方法，这与进几年的新课标高考在数列这模块上的命题规律和新课标考纲要求是吻合的，这就要求我们的同学牢记等差、比的定义、通项、求和及其性质，并从函数的角度去审视数列是一类特殊的函数（如数列的周期性、单调性、等差通项是一次函数，等差和式是二次函数式等等。例:形如函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1x)=EQ\F(1,2)，数列{an}满足：an=+，求an，倒序相加求和）。解题指导：掌握等差数列和等比数列基本公式的运用，会用常见的数列求和的几种方法（理解等差、比求和公式的推导思想）。近几年新课标试卷命题的规律和启示：比较老大纲高考数列变化是很大的一题，近几年已经没有出现数列的二阶递推，没有出现用放缩法证明不等式的的数列题，要求降低很多，因此我们同学在这一模块的题势在必得。考题的难度定位为基础与中档题,出现在大题的第17题上或者选择题上.只要求考生了解等差、等比数列的定义、理解其通项公式、求和公式的简单应用。三．几体几何主要有三大考点：具体包括：（1）空间位置关系的证明(2)求空间角(异面角、线面角、二面角)（3）求空间距离(点面距)[问题5]：如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面．已知，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角；（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值．解法一：（Ⅰ）证明：∵点、分别是、的中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）∵平面，∴，又∵，且，∴平面,∴．又∵，∴四边形为菱形，∴，且∴平面,∴，即异面直线与所成的角为．(Ⅲ)设点到平面的距离为，∵，即△．又∵在△中，,∴△．∴，∴与平面所成角的正弦值．解法二：如图建系，，，，，．（Ⅰ）∵，，∴，即，又∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）∵，∴∴异面直线与所成的角为．(Ⅲ)设与平面所成角为，∵，设平面的一个法向量是,可取∴，∴与平面所成角的正弦值． 分析：此题体现综合法与坐标法的运用，选择对基础知识、基本技能的考查，循序渐进，层次清晰，当属优秀试题之典范，考查了利用综合法或坐标法证明线面平行、求异面角、线面角。体现了新课程不但重视“知识与技能”，而且重视“过程与方法”，考生分析问题与解决问题的能力在解题中得到了检验。解题指导：着重考查立几中的逻辑推理型问题,当然,二者均应以正确的空间想象为前提.随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题。同学们要掌握其基本方法，如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法。分析：此题注重坐标法的运用，选择对基础知识、基本技能的考查，循序渐进，层次清晰，当属优秀试题之典范，本题把平面到空间、静止与运动,三点共线与向量共线有机地相结合；考查了利用坐标法求空间角及解决探索性问题。体现了新课程不但重视“知识与技能”，而且重视“过程与方法”，考生分析问题与解决问题的能力在解题中得到了检验。解题指导：这一类型题主要是利用坐标这一有利工具，再结合平面到空间、运动到静止的转换，同学们要知道这一类变换类型。四．概率与统计[问题7].2011年3月20日，第19个世界水日，主题是：“城市水资源管理”；2011年“六·五”世界环境日中国主题：“共建生态文明，共享绿色未来”．活动组织者为调查市民对活动主题的了解情况，随机对10～60岁的人群抽查了人，调查的每个人都同时回答了两个问题，统计结果如下：世界环境日中国主题世界水日主题回答正确人数占本组人数频率回答正确人数占本组人数频率[10,20)30a300.5[20,30)480.8300.5[30,40)360.6480.8[40,50)200.524b[50,60]120.6100.5（Ⅰ）若以表中的频率近似看作各年龄段回答活动主题正确的概率，规定回答正确世界环境日中国主题的得20元奖励，回答正确世界水日主题的得30元奖励．组织者随机请一个家庭中的两名成员（大人42岁，孩子16岁）回答这两个主题，两个主题能否回答正确均无影响，分别写出这个家庭两个成员获得奖励的分布列并求该家庭获得奖励的期望；（Ⅱ）求该家庭获得奖励为50元的概率．解：（1）依题，设孩子获得奖励为，大人获得奖励为，则，为随机变量，其分布列分别为：0203050P0.250.250.250.250203050P0.20.20.30.3该家庭获得奖励的期望 (2)0.25 分析：第一问首先要根据频率的计算公式“”求出孩子(60人)与大人（40人）所在组的容量，然后求出a,b.两次答题的对错分四类，而每一类中两次回答之间又是互为独立事件，，，其它情况以此类推。同理，第二问首先是对获得奖励50元进行分类，每一类所对应的事件互斥，然后每一类所包含的事件又相互独立，事件的概率公式求出每一种情况的概率，又因为每一种情况所对应的事件互斥，所以最终的概率为四种情况概率之和。解题指导：该类型题考查互斥事件、独立事件的基本概率的求法；在处理问题时要用分类思想;对问题所包含的结果要做到不重不漏，最后对各个基本事件的概率求和相加。[问题8].某高中社团进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”。通过调查分别得到如图1所示统计表和如图2所示各年龄段人数频率分布直方图：图2图2请完成以下问题：补全频率直方图，并求，，的值从岁和岁年龄段的“时尚族”中采用分层抽样法抽取18人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，记选取3名领队中年龄在岁得人数为,求分布列和数学期望解（1）第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以高为=0.06．频率直方图如下：第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1000,所以第二组的人数为1000×0.3=300，p==0.65,第四组的频率为0.03×5=0.15，第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．（2）因为［40,45)岁与［45,50)岁年龄段的“时尚族”的比值为60∶30=2∶1，所以采用分层抽样法抽取18人，［40,45)岁中有12人，［45,50)岁中有6人．随机变量X服从超几何分布．P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==所以随机变量X的分布列为X0123P∴数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=2（或者E(X)==2）．分析：第1问由所有事件概率和为1求出第2组概率，然后根据第二组时尚族的人数与占本组人数得到第二组人数，又根据第二组所占频率与第二组人数得到n，同理可得到p、a；第二问根据岁和岁两年龄段时尚族的人数比例分层抽样得到两组人数，然后根据超几何分布列求出岁人数的分布列以及均值。解题指导：该类型题考查频率分布直方图、频率的定义、超几何分布、均值。常见的分布像两点分布，二项颁布，超几何分布等要掌握其背景，并在具体问题中善于识别它们。五．解析几何主要有三大考点：具体包括：（1）圆锥曲线的几何性质(2)直线与圆锥曲线的位置关系的运用（3）求参数的范围[问题9]如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点,作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；（Ⅲ）若直线在轴上的截距为，求的最小值．解：（Ⅰ）∵点到抛物线准线的距离为，∴，即抛物线的方程为．（Ⅱ）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，QUOTEKEH=-KFH设，，∴QUOTEyH-y1xh-x1=-y∴.．法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，联立方程组，得，∵∴，．同理可得，，∴．（Ⅲ）法一：设，∵，∴，可得，直线的方程为，同理，直线的方程为，∴，，∴直线的方程为，令，可得，∵关于的函数在单调递增，∴．法二：设点，，．以为圆心，为半径的圆方程为，⊙方程：．①-②得：QUOTEx-m22+直线的方程为QUOTE2x-m2-44-m2-当时，直线在轴上的截距，∵关于的函数在单调递增，QUOTE单调递增，所以∴分析：第一问运用抛物线的定义来求抛物线的方程,第二问我认为利用对称性得出直线HA、HB的斜率关系是解决此问题的关键;第三问考察切点弦问题解题指导：该类型旨在考查直线与直线，直线与抛物线的位置关系，数形结合，熟练的进行坐标运算，设而不求的消元思想，用代数方法解决几何问题是解析几何的主题，复习时注重自己的综合运算能力。[问题10]:在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.（ⅰ）证明：;（ⅱ）求四边形的面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为.因为，，所以.所以.所以椭圆的标准方程为.（Ⅱ）设，，，.（ⅰ）证明：由消去得：.则，所以.同理.因为,所以.因为，所以.（ⅱ）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则.因为，所以.所以.（或）所以当时，四边形的面积取得最大值为.[分析：第一问只要求得椭圆的三大参数a,b,c，，第二问我认为同学们结合几何图形先把四边形面积的式子表示出来，再结合均值不等式求面积s的最值,运算量较大,从而难度也较大解题指导：该类型题以直线与椭圆的位置关系为命题元素，以求弦长为载体将解析几何问题代数化，来求圆锥曲线的最值问题。六．导数[问题11]：已知函数求的单调区间；若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。【解析】（1）当时，对，有当时，的单调增区间为当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）在处取得极大值，由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。结合的单调性知，的取值范围是。分析：在第一问中，通过对参数的讨论来判断导函数的正负以此写函数的单调区间，特别注意在得函数的单调区间时，必须先考虑到函数的定义域这点，往往被我们同学所忽视（如对有对数式的函数，一定注意真数大于0等），考查导数在函数中的应用和数学中的分类讨论思想。在第二问求解的过程中，注意导函数处值为0是可导函数取得极值点的必要不充分条件，认识到这点，其实往往解析式中的参数就不难求出，利用第一问求的函数单调区间，可以在直角坐标系中画函数草图，这样把形结合起来，就不难作出了，我们同学要加强对这方面的训练与反思。解题指导：以导数为工具，考查函数性质及导数极值理论，单调性及其应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题显著特点和命题趋向，高考命题的四大热点,（1）在导数与函数性质交汇点命题。（2）在导数与含参数函数的交汇点命题，考查含参数函数的极值问题及恒成立问题，分类讨论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题（3）对导数的几何意义，切线的斜率，导数与函数单调性，最（极）值等综合运用知识的能力命题（4）在导数与函数模型构建交汇点命题：主要考查考生将实际问题转化为数学问题，运用导数工具和不等式知识去解决最优化问题的数学应用意识和实践能力。[问题12]已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．【解析】：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（II）由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．而，且．若，则和都是的极值点．所以，即，又由，得，故．分析：在第一问中极值点就是对应导函数的两个根，利用一元二次方程求根公式建立两根与的关系，利用两根的范围以此来求的范围，进而达到解决问题的目的。在第二问中，实际上是函数的一个间断点，故不是的极值点这一结论抓住，因此在处左右导函数的符号不会发生变化，因此的只等于0，从而得到与已知条件联立，即可求解。解题指导：主要考查极值和极值点的定义及其性质，考生要“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础，熟练掌握解题的通性、通法，提高解题速度。同时，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申变化而来[问题13]设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．【解析】：（Ⅰ）因又在x=0处取得极限值，故从而由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，有（1）当，即当时，在R上恒成立，故函数在R上为增函数（2）当，即当时，有，从而当时，在R上为增函数（3）当，即当时，方程有两个不相等实根当时，，故在上为增函数；当时，上为减函数；当时，故上增函数分析：第一问要求a和b，显然根据题意要建立两个方程组，那么我们同学们是否能够抓住题目的条件，极值点处导函数值为0，建一个方程，借助于两直线的位置关系（垂直），实际上指导曲线某点处切线的斜率，再建一个方程。第二问先利用导数商的运算法则求出函数的导函数，结合二次函数图像与x轴三种状态，最后判断导函数在相应区间的正负，来写函数的单调区间。解题指导：此题主要考查导数几何意义、导数的运算，利用导数研究函数的单调性，解决恒成立问题，参数分离，求最值、构造新的函数，主元变化等都是常用的方法，同学们要有其基本的分析能力及其思维力度。选修4-1：几何证明选讲[问题14]已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点，．（Ⅰ）求证：平分；（Ⅱ）求的长．解：（Ⅰ）连结，因为，所以因为为半圆的切线，所以，又因为，所以∥，所以，，所以平分．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，连结，因为四点共圆，，所以，所以，所以．分析：第一问可以逆推分析，要证明平分就是要证明，而，又因为，，所以∥，所以，从而；第二问求边的长度就是把所求边与已知边通过等量关系联系起来。解题指导：该类型题考查切线的性质以及相关定理，等圆周度所对的弦相等，圆内接四边形性质定理。[问题15].如图所示,已知⊙O1与⊙O2相交于A､B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1､⊙O2于点D､E,DE与AC相交于点P.(1)求证:AD∥EC;(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD长.解：(1)证明:如图所示,连接AB,∵AC是⊙O1的切线,∴∠BAC=∠D.又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.分析：第1问欲证AD∥EC,只需证明∠D=∠E,沟通两圆周角间的关系,连AB,利用弦切角､圆周角定理可完成转化.第2问利用相交弦定理与切割线定理求解.解题指导：本题考查了有关圆的相交弦问题,对求解计算题而言,常常是先借助相交弦定理,建立有关线段的等式或方程(组),然后再求解;对证明等积式或比例式而言,常常是借助相交弦定理,并综合其他相关等积式或比例式的知识,进行恒等变换,最后解决问题.选修4-4：坐标系与参数方程[问题16]．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ(2cosθ-sinθ)=6.（Ⅰ）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.（Ⅱ）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．解：方法一：（Ⅰ）由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x-y-6=0.∵C2：=1∴C2：的参数方程为：（θ为参数）（Ⅱ）设P（cosθ，2sinθ），则点P到l的距离为：d=，∴当sin(60°-θ)＝-1即点P（-,1）时，此时dwax==2方法二：（Ⅰ）同方法一；（Ⅱ）设P(x,y)，设过点P与l平行直线：2x-y+c=0联立得：,当与l距离最大时，与椭圆相切，对应的二次方程只有一个解，即,c=-4或c=4(舍去)所以dwax==2分析：第1问利用代入法求得变化后曲线方程，然后根据曲线类型直接得到曲线的参数方程，第2问法1利用点线距公式转化为三角函数的最值，法2把点线距转化成线线距问题。解题指导：参数法解决与已知曲线上的动点有关的最值问题是求最值的方法之一，其核心是将动点坐标用参数表示后，转化为三角函数的最值问题，注意此法的理解与应用.[问题17]已知点，参数，点Q在曲线C：上。求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；求点P与点Q之间距离的最小值。解(1)由得点P的轨迹方程(x-1)2+y2=1(y≥0),又由=，得=,∴=9.∴曲线C的直角坐标方程为x+y=9.(2)半圆(x-1)2+y2=1(y≥0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，所以｜PQ｜min=4-1.分析：第1问是参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程；第2问是圆上点到线距离最值问题(最大：圆点到线的距离加半径；最小：圆点到线的距离减半径)。解题指导：对于参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，消参可用代入消参，利用恒等式消参，在消参时注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致；极坐标与直角坐标的互化一定要记住互化公式。选修4－5：不等式选讲[问题18]已知函数f(x)=|