2025北京首都师范大学附中中考模拟数学试卷（含答案详解）

2025北京首都师大附中初三模拟考试数学第I卷(共32分)一、选择题(共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1.如图是某几何体的三视图，则该几何体是【】A.圆锥B.圆柱C.三棱柱D.三棱锥2.据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成，将17500000用科学记数法表示应为()A.175×1053.如图,AB⊥BC,AD∥BE,若∠BAD=28°,则∠CBE的大小为()A.66°B.64°C.62°D.60°4.实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A.a≥-2B.a<-3C.-a>2D.-a≥35.每一个外角都是40°的正多边形是()A.正四边形B.正六边形C.正七边形D.正九边形6.关于x的一元二次方程x2+A.-1B.1C.-4D.47.2024年央视春晚的主题为“龙行器(dá)畿，欣欣家国”.“龙行麟龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌，将分别印有“龙”“行”“盛”“蠡”四张质地均匀、大小相同的卡片试卷第1页，共8页

放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“矗”的概率为()A.23B.12C.18.如图，在等边三角形ABC中，有一点P，连接PA、PB、PC，将BP绕点B逆时针旋转60°得到BD,连接PD、AD,有如下结论:①△BPC≌△BDA;②△BDP是等边三角形;③如果∠BPC=150°,那么PAA.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题(共8小题，每小题2分，共16分)9.若代数式x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是10.分解因式a11.方程1x=212.在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kxk≠13.如图,在矩形ABCD中,M,N分别为BC,CD的中点,则MNAC14.某实验基地为全面掌握“无絮杨”树苗的生长规律，定期对2000棵该品种树苗进行抽测.近期从中随机抽测了100棵树苗，获得了它们的高度x(单位：cm).数据经过整理后绘制的频数分布直方图如右图所示.若高度不低于300cm的树苗为长势良好，则估计此时该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有棵.试卷第2页，共8页

15.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点B作⊙O的切线与直线AC交于点D.若∠D=50°,则∠BOC=°.16.小明是某蛋糕店的会员，他有一张会员卡，在该店购买的商品均按定价打八五折，周末他去蛋糕店，发现店内正在举办特惠活动：任选两件商品，第二件打七折，如果两件商品不同价，则按照低价商品的价格打折，并且特惠活动不能使用会员卡，小明打算在该店购买两个面包，他计算后发现，使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，则花费较少(直接填写序号：①使用会员卡；②参加特惠活动)；两个面包的定价相差元.第II卷(共68分)三、解答题(本题共68分,第17——19题,每题5分,第20——21题,每题6分,第22—23题,每题5分,第24题5分,第25题6分,第26题6分,第27——28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算:218.解不等式组：{19.已知b2-4a=0,20.如图,在▱ABCD中,O为AC的中点,点E,F分别在BC,AD上,EF经过点O,AE=AF.试卷第3页，共8页

(1)求证:四边形AECF为菱形;(2)若E为BC的中点,AE21.下图是某房屋的平面示意图.房主准备将客厅和卧室地面铺设木地板，厨房和卫生间地面铺设瓷砖，将房间地面全部铺设完预计需要花费10000元，其中包含安装费1270元.若每平方米木地板的瓷砖的价格之比是5：3，求每平方米木地板和瓷砖的价格.22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠(1)求该一次函数的解析式及点A的坐标：(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值小于一次函数y=k23.2024年1月3日北京市生态环境局召开了“2023年北京市空气质量”新闻发布会，通报了2023年北京市空气质量状况：北京2023年PM2.5年均浓度为32微克/立方米，PM2.5最长连续优良天数为192天，“北京蓝”已成为常态.下面对2023年北京市九个区PM2.5月均浓度的数据进行整理，给出了部分信息：a.2023年9月和10月北京市九个区PM2.5月均浓度的折线图：试卷第4页，共8页

b.2023b.2023年9月和10月北京市九个区PM2.5月均浓度的平均数、中位数、众数：PM2.5月均浓度平均数中位数众数9月29.6mn10月37.43636(1)写出表中m,n的值;(2)2023年9月北京市九个区PM2.5月均浓度的方差为S₁²,2023年10月北京市九个区PM2.5月均浓度的方差为S₂²，则.S12(3)2013年至2023年，北京市空气优良级别达标天数显著增加，2013年空气优良达标天数为176天,2023年比2013年增幅达到约54%,2023年达标天数约为天.24.数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器(如图所示)的设计方案.，他们想探究容器表面积与底面半径的关系.具体研究过程如下，请补充完整：(1)建立模型：设该容器的表面积为Scm²，底面半径为xcm，高为ycm，则330=试卷第5页，共8页

S=2π由①式得y=3S=2π可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x>0.(2)探究函数：根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算(精确到个位)，得到了S与x的几组对应值：x/cm---11.522.533.544.555.56---S/cm²118666454355303277266266274289310336128在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象：(3)解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积.(填“大”或“小”)；②若容器的表面积为300cm25.如图,⊙O是VABC的外接圆,⊙O的直径AD交BC于点E,点D为BC的中点，连接试卷第6页，共8页

(1)求证:∠DBC=∠BAD:(2)过点C作CF⊥BD,交BD的延长线于点F,若cos∠D26.已知抛物线y=-x2+2t(1)该抛物线的对称轴为(用含t的式子表示)：(2)若当m=2时,y3=0(3)若对于2≤m≤3时,都有y1<27.在VABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC边上(不与点B,C重合),将线段AD绕点A顺时针旋转90°,得到线段AE,连接DE.CC(1)根据题意补全图形，并证明：∠(2)过点C作AB的平行线，交DE于点F，用等式表示线段EF与DF之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2.对于直线l和线段BC，给出如下定义：若将线段BC关于直线l对称，可以得到⊙O的弦B'C'试卷第7页，共8页

(1)如图2,点B1①在线段B1C1,B2C②在线段B1C1,B2C(2)已知直线l3:y=-3x+m试卷第8页，共8页

1.A【详解】由三视图判断几何体.【分析】主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥.故选A.2.C【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成a×10a的形式，其中1【详解】解：1故选:C.3.C【分析】本题平行线的性质，垂直的定义.根据平行线的性质得∠AB【详解】解:∵AD∥BE∴∵AB⊥BC∴∠ABC=90°∴故选:C.4.C【分析】本题考查了，利用数轴比较数的大：由a所在位置，得出a的取值范围，即可判断A、B，根据不等式的性质得出-a的取值范围，即可判断C、D，即可求解，【详解】解:由数轴可知:-3<a<-2,则:A、B错误,不符合题意,∵2<-a<3,则:C正确,符合题意,D错误,不符合题意,故选:C.5.D【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理.根据多边形的外角和是36答案第1页，共17页

的每一个外角都等于40°，即可求得多边形的边数.【详解】解：∵多边形的外角和是360°，这个多边形的每一个外角都等于40°，∴这个多边形的边数是3故选:D.6.B【分析】根据方程有两个相等的实数根，判别式等于零，进行求解即可.【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2∴m=1;故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系.熟练掌握判别式等于0，方程有两个相等的实数根，是解题的关键.7.B【分析】本题考查了概率公式，根据有4张卡片，其中“蠡”有2张卡片，代入公式，即可作答.【详解】解：依题意，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“盖”的概率=故选：B8.D【分析】①根据等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=60°，根据旋转的性质得出BD=BP,∠DBP=60°,即可求证:②根据旋转的性质得出BD=BP,∠DBP=60°,即可证明△BDP是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出∠BDP=60°根据全等三角形的性质得出∠ADB=150°,则∠ADP=∠ADB-∠BDP=90°,即可推出.P【详解】解:①∵VABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,∵BP绕点B逆时针旋转60°得到BD,∴BD=BP,∠DBP=60°,∴∠ABC-∠ABP=∠DBP-∠ABP,即∠ABD=∠CBP,∵AB=BC,∠ABD=∠CBP,BD=BP,∴△BPC≌△BDA,故①正确,符合题意;答案第2页，共17页

②∵BP绕点B逆时针旋转60°得到BD,∴BD=BP,∠DBP=60°,∴△BDP是等边三角形，故②正确，符合题意；③∵△BDP是等边三角形,∴∠BDP=60°∵△BPC≌△BDA,∠BPC=150°,∴∠ADB=150°,∴∠ADP=∠ADB-∠BDP=90°,∴P综上：正确的有①②③，故选:D.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方.9.x≥1【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.【详解】解：∵x∴x-1≥0,解得x≥1.故答案为:x≥1.【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.10.a(a+2)(a-2)【分析】本题考查因式分解.先提公因式a，再运用平方差公式分解即可.【详解】解：a故答案为:a(a+2)(a-2).11.x=1【分析】本题考查分式方程的解法.根据题意先去分母，再解整式方程，最后检验即可.【详解】解:去分母,得3x-1=2x答案第3页，共17页

解得x=1检验：经检验x=1是原分式方程的解.故答案为:x=1.12.0【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键.将点A(a，2)和B(b，-2)代入y=kxk≠0之中得a【详解】解：∵函数y=kxk≠∴∴∴故答案为：0.13【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理.连接BD，利用三角形中位线定理得出MNB【详解】解:连接BD,N∵四边形ABCD是矩形,N∵四边形ABCD是矩形,∴∵M,N分别为BC,CD的中点,∴MN是△CDB是中位线,∴∴故答案为：1答案第4页，共17页

14.940【分析】本题主要考查了根据样本所占百分比估计总体频数，用2000乘以样本中高度不低于300cm的树苗的百分比，即可求出结果.【详解】解：该基地培育的2000棵“无絮杨”树苗中长势良好的有：200故答案为:940.15.80【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键，先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到DAB【详解】解:∵AB是⊙O的直径,BD为⊙O的切线,∴AB⊥BD,∴DABD=90°,∵∠D=50°,∴∴∠BOC=2∠A=80°.故答案为：80.16.①6【分析】本题考查二元一次方程组的应用，可设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，根据使用会员卡与参加特惠活动两者的花费相差0.9元，列出方程即可求解.【详解】解：设面包贵的定价为x元，面包便宜的定价为y元，则x>x则使用会员卡花费少；由0.15(x-y)=0.9,解得x-y=6.故参加特惠活动花费较少，两个面包的定价相差6元.故答案为:①,6.1答案第5页，共17页

【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.利用特殊锐角三角函数值，绝对值，负整数指数幂，二次根式的性质计算即可.【详解】解：原式===18.1<x<2【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法是解决问题的关键.先解不等式4x-3<5，得x<2，再解不等式2x+1【详解】解：原不等式组为【详解】解：原不等式组为解不等式①,得x<2.解不等式②,得x>1.∴原不等式组的解集为1<x<2.19.1【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据完全平方公式去括号，然后把分母合并同类项得到4a+1b2+1【详解】解：4==∵∴∴原式=20.(1)证明见解析:2答案第6页，共17页

【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.(1)先得出∠AFO=∠CEO(2)先得出OA=12AC=2,结合菱形性质，在【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∴∵O为AC的中点,∴AO=CO.∴△AOF≌△COE.∴AF=EC.∵∴四边形AECF为平行四边形.∵AE=AF,∴四边形AECF为菱形.(2)解:∵O为AC的中点,AC=4,∴∵四边形AECF为菱形,∴AC⊥EF.∴∠AOE=90°.∴在Rt△AOE中，由勾股定理得O∵E为BC的中点,∴【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.21.每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元.答案第7页，共17页

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键.设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元，根据花费10000元，其中包含安装费1270元列方程求解即可.【详解】解：设每平方米木地板的价格为5x元，则每平方米瓷砖的价格为3x元.厨房面积：2卫生间面积：2客厅面积：8卧室面积：5由题意可得，6解得x=30,∴5x=150,3x=90.答：每平方米木地板的价格为150元，每平方米瓷砖的价格为90元.22.(1)y=2x-4,A(2,0)(2)-5≤n≤-2【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的应用，求一次函数解析式，一次函数图象的平移：(1)根据一次函数平移的性质可得y=2x-4，当y=0时，x=2，则可求得点A的坐标：(2)根据题意可得x+n<2x-4且x+n>-3,再根据x>2,据此求解即可;熟知一次函数的相关知识是解题的关键.【详解】(1)解:∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2∴一次函数的解析式为y=2x-4，当y=0时,0=2x-4,解得:x=2,∴A(2,0).(2)∵当x>2时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值小于一次函数.y=2∴x+n<2x-4且x+n>-3,即:x>4+n且x>-3-n,答案第8页，共17页

∵x>2,∴2≥4+n且2≥-3-n,解得:-5≤n≤-2.23.(1)m=30,n=26(2)<(3)271【分析】(1)根据中位数和众数的概念即可解答：(2)根据方差的概念和意义即可解答：(3)根据增幅=(末期量-基期量)/基期量和已知条件，求解即可.【详解】(1)解:将九月份的数据从小到大排列为:26、26、26、29、30、31、31、33、34根据中位数和众数的概念，可以知道这组数据的第五个数为30，即中位数为m=30，这组数据26出现的次数最多，即众数为n=26；(2)解：根据折线图可以看出，九月份的数据大约分布于26至34，十月份的数据大约分布于32至42,可以发现九月份的数据比十月份的数据波动较小，更加稳定，所以九月份数据的方差小于十月份数据的方差，故答案为：<.(3)解:根据已知条件可以列式为:176×54%+176=271.04≈271(天)故答案为:271.【点睛】本题考查的是折线图、方差、中位数、众数、增幅等相关知识，解题的关键是掌握方差、中位数、众数等概念，从统计图中获得相关信息，并利用相关信息解答实际问题.24.①大:②2.5或5.4【分析】①根据(2)中的表格中数据与函数图象分析可得当x=2.5时，S=303，当x=4.5时,S=274,进而可比较当x=2.4与x=4.4时,S的值的大小,②根据函数图象求解即可【详解】解:①(2)中的表格中数据可知,当x=2.5时,S=303,当x=4.5时,S=274,根据函数图象可知，当x>4时，S随x的增大增大，当x<3时，S随x的增大而减小，∴x=2.4时,277<S<303,x=4.4时,266<S<274∴半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大答案第9页，共17页

故答案为：大②根据函数图象可知,当S=300时,x≈2.5或5.4故答案为:2.5或5.4【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键.25.(1)见解析2【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.(1)根据圆周角定理即可得到结论：(2)根据三角函数的定义得到∠DBC=30°，求得∠BC【详解】(1)证明:∵点D为BC∴∴∠DBC=∠BAD;(2)解:∵∴∠DBC=30°,∵CF⊥BD,∴∴连接CD,∵B∵∴∴∵答案第10页，共17页

∴CD=2DF=6,Q∠CAD=∠CBD=30°,AD是⊙O的直径,∴∴26.(1)x=t(2)131【分析】(1)将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线对称轴：(2)把M(2,0)代入y=-x2+2t(3)分类讨论:当t≤-1时,当-1≤t≤0时,当0<t<2时,当t≥【详解】(1)解:∵∴抛物线的对称轴为直线x=t.(2)解:当m=2时,y∴M(2,0),把M(2,0)代入y=-0=-(3)解:当t<-1时,∵a=-1<0,∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∵∴-1<m，即点P和点M在对称轴右侧，∴y当-1≤t≤0时,∵a=-1<0,又∵2≤m≤3,P(-1,y₁),M(m,y₃),∴t+1<m+t,∴点P在对称轴左侧，点M在对称轴右侧，点P到对称轴的距离比点M到对称轴的距离近，∴y答案第11页，共17页

当0<t<2时,∵若y1<∴∵2≤m≤3,∴当t≥2时,∵若y1∴∵2≤m≤3,∴t>6,综上，1<【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题的关键.27.(1)补全图形见解析，证明见解析：(2)EF=DF,证明见解析.【分析】(1)根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出∠C(2)作EM⊥AC于点M,与直线CF交于点N,利用AAS证明△EAM≅△ADC,可得AM【详解】(1)补全的图形如图所示：证明:∵∠ACB=90°,答案第12页，共17页

∴∠CAD+∠ADC=90°,由旋转的性质可知∠EAD=90°,即∠CAD+∠EAC=90°,∴∠EAC=∠ADC;(2)EF=DF;证明：如图，作EM⊥AC于点M，与直线CF