第十三章 轴对称（知识归纳+题型突破）（解析版）

第十三章轴对称（知识归纳+题型突破）1.会判断轴对称图形，能画出轴对称图形．2.理解并掌握垂直平分线的性质和判定．3.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定．一、轴对称轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．二、轴对称图形轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等.画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点.用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；三、线段的垂直平分线概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．四、等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.五、等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.题型一轴对称图形的识别例题：12月2日是全国交通安全日，你认为下列交通标志不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据轴对称的定义判断即可得出．【详解】解：由轴对称图形的定义：“把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形”分析可知，上述四个图形中，A，B，D都是轴对称图形，只有C不是轴对称图形．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是解此题的关键．【变式训练】1．下列图形是轴对称图形的是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．下列2022年北京冬季奥运会体育图标中，是轴对称图形的是（

）A．B． C．D．【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可；【详解】轴对称图形指的是平面内,一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形；故符合题意的只有选项C；故选：C．【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．题型三轴对称中折叠问题例题：如图，长方形纸片中，AB，DC边上分别有点E，F，将长方形纸片沿EF翻折至同一平面后，点A，D分别落在点G，H处．若，则∠DFE的度数是（

）A．75° B．76° C．77° D．78°【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠AEF=∠GEF，再由，可得∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，从而得到∠AEF=104°，然后根据AB∥CD，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠AEF=∠GEF，∠AEF+∠BEF=180°，AB∥CD，∵，∴∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，∴∠AEF=104°，∵AB∥CD，∴∠DFE=180°-∠AEF=76°．故选：B【点睛】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键．【变式训练】1．如图1，将长方形纸片沿着翻折，使得点，分别落在点，位置．如图2，在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着翻折，使得点恰好落在延长线上的点处．(1)若，求的度数；(2)若，试用含的式子表示，并说明理由．【答案】(1)40°(2)，理由见解析【解析】【分析】（1）根据翻折变换的性质可得：∠EMN=∠BMN=70°，再运用邻补角互补即可求得答案；（2）由翻折可得：，∠BMN=∠QMN，再运用邻补角互补即可求得答案．(1)解∶根据题意得：∠EMN=∠BMN=70°，∴∠BME=140°，∴∠AME=180°-∠BME=40°；(2)解：，理由如下：根据题意得：，∠BMN=∠QMN，∴，∴∠AMQ=180°-∠QMN-∠BMN=．【点睛】本题考查了几何变换——翻折的性质，邻补角互补等，熟练掌握翻折的性质是解题关键．2．如图1，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在点'处，BC为折痕．(1)如图1，若∠1＝25°，求∠BD的度数；(2)如果又将活页的另一角斜折过去，使BD边与B重合，折痕为BE，如图2所示，求∠CBE的度数．【答案】(1)130°(2)90°【解析】【分析】（1）根据折叠性质得到∠1=∠ABC=25°．然后利用邻补角的定义计算∠BD的度数；（2）根据折叠的性质得∠2=∠DBE=∠BD=60°，然后计算∠1+∠2得到∠CBE的度数．(1)解：∵角的顶点A落在点处，BC为折痕，∴∠1=∠ABC=25°．∴∠A'BD=180°-25°-25°=130°；(2)解：由折叠性质得∠1=∠ABC=∠AB，∠2=∠DBE=∠BD，∴∠1+∠2=∠AB+∠BD=（∠AB+∠BD）=×180°=90°．即∠CBE=90°．【点睛】本题考查了角的计算，折叠的性质，结合图形进行角的和差倍分计算是解答的关键．题型四线段的垂直平分线的性质例题：如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为20，△ABC的周长为32，则BE＝_______．【答案】6【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD=CD，结合△ABD的周长求出AB+AC的长，再根据△ABC的周长求出BC的长，解答即可．【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，∴DB＝DC，BE＝EC，∵△ABD的周长为20，∴AB＋AD＋BD＝20，∵DB＝DC，∴AB＋AD＋DC＝20，即AB＋AC＝20，∵△ABC的周长为32，∴AB＋BC＋AC＝32，∴BC＝32−20＝12，∴BE＝EC＝BC＝6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是根据垂直平分线的性质求出DB＝DC．【变式训练】1．已知，如图中，，边、的垂直平分线分别交于、，交、于、，连接与，则的周长＝______．【答案】10【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，AE=CE，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC．【详解】解：∵DF和EG分别是AB，AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．2．如图，∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AE＝8，AC＝5，则BE的值为______．【答案】3【分析】连接CD，BD，证明（HL），由全等三角形的性质得AE=AF，证明（HL），得出BE=CF，根据边之间的关系即可得．【详解】解：如图所示，连接CD，BD，∵AD平分，，，∴DE=DF，在和中，，∴（HL），∴AE=AF，∵DG垂直平分BC，∴CD=BD，在和中，∴（HL），∴BE=CF，∵，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了线段垂直平分的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．题型五线段的垂直平分线的判定例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F(1)求证∶(2)若，求证：点P在的垂直平分线上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）通过证明，即可求证；（2）连接、，通过证明，得到，即可求证．【详解】（1）证明：∵点P为的平分线上一点∴∵，∴在和中∴∴（2）证明：连接、，如下图：由（1）可得：又∵，∴∴∴点P在的垂直平分线上【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质．【变式训练】1．如图，为平分线上一点，于，于．

(1)求证：；(2)求证：垂直平分．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据角平分线的性质得到，进而利用证明，即可证明；（2）根据，即可证明结论．【详解】（1）证明：∵为平分线上一点，，，∴，又∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，，∴垂直平分．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．2．如图，是的角平分线，分别是和的高．(1)求证：垂直平分；(2)若的面积是4，则．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论；（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可．【详解】（1）∵是的角平分线，分别是和的高，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴垂直平分；（2）∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．题型六坐标与图形变换——轴对称例题：（2021·山东·单县湖西学校八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．画出关于x轴对称的，并写出点、的坐标．【答案】见详解，，【分析】关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此先找到A、B、C关于x轴的对称点、、的坐标，再两两连接即可得到．【详解】∵，，，又∵关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴，，，作图如下：即为所求，，．【点睛】本题主要考查了在坐标系中作关于x轴对称的图形的知识，掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解答本题的关键．【变式训练】1．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立平面直角坐标系后△ABC的顶点均在格点上．(1)写出点A、B、C的坐标；(2)写出△ABC关于x轴对称的的顶点、、的坐标；(3)求．【答案】(1)A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）(2)，，(3)【分析】（1）根据点的坐标的确定方法写出点A、B、C的坐标；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求解；（3）利用面积的和差计算△ABC的面积．（1）解：根据图形可知：A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；（2）解：关于x轴对称的点的坐标：，，；（3）解：.【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标：点关于x轴的对称点的坐标是；点关于y轴的对称点的坐标是．也考查了三角形面积公式．2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△．(2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：．(3)求△ABC的面积．(4)在x轴上画出点P，使QA＋QC最小．【答案】(1)见解析(2)（1，2）(3)4(4)见解析【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴的对称图形△；（2）根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点的坐标（3）根据网格利用割补法即可求出△ABC的面积；（4）连接C交x轴于点Q，根据两点之间线段最短即可使得QA＋QC最小．（1）解：如图所示，△即为所求；；（2）解：点C关于y轴的对称点的坐标为（1，2）；故答案为：（1，2）；（3）解：△ABC的面积=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4；（4）解：如图．点Q即为所求．【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．题型七等腰三角形的定义例题：等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【答案】D【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3=7；当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【变式训练】1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：当∠A＝70°为顶角时，则两底角为：；当∠A＝70°为底角时，另一个底角为70°，顶角为180°-70°-70°=40°∴∠C的度数不可能是65°．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的分类讨论及三角形内角和定理，在不明确所给的角是等腰三角形的什么角时，需分类讨论是解题关键．2．已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不对【答案】C【解析】【分析】分两种情况讨论：若腰长为4；若底边长为4，即可求解．【详解】解：若腰长为4，则底边长为10-4-4=2，此时另两边长分别为4，2；可以构成三角形，满足题意；若底边长为4，则腰长为，此时另两边长分别为3，3；可以构成三角形，满足题意；综上所述，另两边长分别为4，2或3，3．故选：C【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．题型八根据等腰三角形中三线合一求解例题：如图，中，，于点D，，若，则的度数为_____．【答案】【解析】【分析】如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数．【详解】解：如图，过点A作于点E，∵AB=AC，∴E是BC的中点，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键．【变式训练】1．如图，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是△BAD的角平分线，DFAB交AE的延长线于点F，则DF的长是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】先根据等腰三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，且AD平分，从而可得，然后根据角平分线的定义、平行线的性质可得，最后根据等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在中，，，是的中线，，且AD平分，，，是的角平分线，，，，，，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、角平分线的定义、平行线的性质、含的直角三角形性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分线交BC于点D．且BD＜CD，过点B作射线AD的垂线，垂足为E，则CDDE＝_______．【答案】【解析】【分析】作AF⊥BC于F，证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：作AF⊥BC于F，∵AB的垂直平分线交BC于点D．∴AD=BD，∵AF⊥BC，BE⊥DE，∴∠E=∠AFD=90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（AAS），∴DF=DE，∴CD-DE=CD-DF=CF，∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，∴CF=BC=．故答案为：．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．题型九等腰三角形的性质与判定例题：如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E．(1)求证：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．【答案】(1)见解析；(2)25°【解析】【分析】（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，则∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根据ASA可证明△ABD≌△ECB，可得结论；（2）由（1）知BD＝BC，根据等边对等角可求得∠BDC的度数，再根据外角的性质求得∠DCE的度数．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠BEC＝∠A＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA），∴BD＝CB；(2)解：∵BD＝CB，∴△BCD是等腰三角形，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠BDC＝90°﹣65°＝25°．【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．【变式训练】1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度数．【答案】(1)见解析(2)∠ACB的度数为22.5°【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根据AAS证明△ABC≌△DEC，即可证明结论；（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根据AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，从而得出答案．(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；(2)解：由（1）知，AC＝CD，∵∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∵AC＝AE，∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠ACB的度数为22.5°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△DEC是解题的关键．2．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．(1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝°；(2)当∠BAD＝____°时，△ABD≌△DCE？请说明理由；(3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由．【答案】(1)20(2)15，理由见解析(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由见解析【解析】【分析】（1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求出∠DAE；（2）利用三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性质及等量代换确定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，结合图形利用全等三角形的判定即可证明；（3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论．(1)∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，∴∠ADC＝70°，∵∠ADE＝50°，∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，故答案为：20；(2)解：∠BAD＝15°时，△ABD

≌△DCE，理由如下：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAE＝65°，又∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝∠DAE＝65°，∴AD＝DE，在△ABD中，∠BAD＋∠ADB＝130°，∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠B＝∠CAD＝DE，∴△ABD≌△DCE；(3)能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，①当DA＝DE时，∵∠ADE＝50°，∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，②当EA＝ED时，∴∠DAC＝∠ADE＝50°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意，综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．题型十等边三角形的性质与判定例题：如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，．(1)求证；(2)连接，若，，求的长．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出；（2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案．(1)证明：∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)解：由（1）知，，又∵，∴是等边三角形，∵，∴．∴的长为．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1．如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D点为BC的中点，AB=4，则BD=__．