2025年中考数学三轮复习之三角形

第33页（共33页）2025年中考数学三轮复习之三角形一．选择题（共10小题）1．（2025•灞桥区校级四模）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF：BF＝3：2，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若CM＝16，则线段BC的长为（）A．13 B．14 C．12 D．102．（2025•永寿县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E．若CE＝10，BE＝6，则△CDE的周长为（）A．18 B．20 C．22 D．243．（2025•金安区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是边AB上的点，连接DE，CE，∠ECD＝45°，那么下列结论中：①∠AED＝∠ECB；②BC＝CE；③BE=2AD；④∠ADEA．1 B．2 C．3 D．44．（2025•郑州模拟）如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（）A．180° B．360° C．540° D．720°5．（2025•越秀区校级一模）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A．423 B．22 C．823 6．（2025•四川模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（）A．26° B．38° C．42° D．52°7．（2025•秦都区校级模拟）如图，AB∥CD，M、N为直线AB上的两点，连接CN，ME⊥CN于点E，点F在CN上，连接DF，CF＝DF，若∠EMN＝70°，则∠D的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．45°8．（2025•方山县一模）如图，点P是△ABC的重心，AB＝6，连接AP，BP并延长，分别交BC，AC于点D，E，连接DE，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．59．（2025•蠡县一模）珍珍用三根木棍首尾相接组成了一个周长为整数的三角形，其中两根木棍的长如图所示，则该三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形10．（2025•陕西模拟）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和中线．若△ABC的面积为12，AD＝4，则BE的长为（）A．1.5 B．3 C．4 D．6二．填空题（共5小题）11．（2025•石家庄模拟）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q，则点Q所表示的数为．12．（2025•郑州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．13．（2025•乌鲁木齐一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝．14．（2025•秦都区校级模拟）如图，AD、CE为等边△ABC的两条高，且AD与CE相交于点P，则图中的直角三角形共有个．15．（2025•津南区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AB＜BC，E是BC边上的一动点，连接DE、AE，过点D作DF⊥AE交BC于点G，垂足为点F，连接BF．（1）当点G恰为BC中点时，则BF＝．（2）当DE平分∠FEC时，若DE=10，则AF：FE＝三．解答题（共5小题）16．（2025•秦淮区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC=12AB17．（2025•哈尔滨模拟）点D，E分别在AB，AC上，连接BE，CD，AD＝AE，BD＝CE．（1）如图1，求证：∠B＝∠C；（2）如图2，连接BC，若点D为AB的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为△ABC面积一半的所有三角形．18．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在BC上，连结AD交CE于点F，BC＝13，CE＝12．（1）求BE的长；（2）若∠AFE＝45°，AB＝CF，求AE的长．19．（2025•天心区校级一模）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AE，E是△ABC外一点，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：BC＝DE；（2）若∠BAD＝30°，求∠B的度数．20．（2025•望城区一模）已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM＝DN．（1）求证：△BDN≌△CDM；（2）若∠AMC＝80°，则∠N＝°．

2025年中考数学三轮复习之三角形参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDCBCDABBB一．选择题（共10小题）1．（2025•灞桥区校级四模）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF：BF＝3：2，连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若CM＝16，则线段BC的长为（）A．13 B．14 C．12 D．10【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【专题】三角形；图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根据三角形中中位线定理证得DE∥BC，求出DE=12BC，进而证得△DEF∽△BMF，根据相似三角形的性质求出【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12∴△DEF∽△BMF，∴DEBM∴BM=23DE=∵CM＝BC+BM＝16，∴BC＝12，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，正确记忆修改知识点是解题关键．2．（2025•永寿县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E．若CE＝10，BE＝6，则△CDE的周长为（）A．18 B．20 C．22 D．24【考点】勾股定理；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】D【分析】先根据平行线的性质证得△CDE是直角三角形，再根据平行线的性质、角平分线的定义证得BE＝DE，利用勾股定理求出CD的长，问题即可得解．【解答】解：∵DE∥AB，∴∠CDE＝∠A，∠ABD＝∠EDB，∵∠A＝90°，∴∠CDE＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE，∵BE＝6，∴DE＝6，在Rt△CDE中，CE＝10，由勾股定理得CD=∴△CDE的周长是CD+DE+CE＝8+6+10＝24，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．3．（2025•金安区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是边AB上的点，连接DE，CE，∠ECD＝45°，那么下列结论中：①∠AED＝∠ECB；②BC＝CE；③BE=2AD；④∠ADEA．1 B．2 C．3 D．4【考点】全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的相关性质、平行线的性质进行逐一判断即可．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BC＞AB，∵点E是边AB上的点，∴BC＞CE，所以结论②错误；∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴BC=∵AD∥BC，∠ECD＝45°，∴∠DAC＝∠ACB＝∠ABC＝45°，∠ECD﹣∠ECA＝∠ACB﹣∠ECA，∴∠ACD＝∠BCE，∴△DAC∽△EBC，∴ACBC∵∠ACB＝∠ECD＝45°，∴△ABC∽△DEC，∴∠EDC＝∠BAC＝90°，∴A，D在以EC为直径的圆上，∴∠AED＝∠ACD，∠ADE＝∠ACE，所以结论④正确；∵∠ACD＝∠ECB，∴∠AED＝∠ECB，所以结论①正确；∵△DAC∽△EBC，∴BEAD∴BE=2AD综上所述，正确的有3个，所以只有选项C正确，符合题意，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是证明△ABC∽△DEC．4．（2025•郑州模拟）如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理，可得：∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC，∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB，∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，再根据三角形的内角和定理，求出∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的值即可．【解答】解：在△ABC和△CGF中，∵∠ACB＝∠GCF，∴∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC；在△ABC和△ANM中，∵∠BAC＝∠MAN，∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB；在△ABC和△BDE中，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC，∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N＝（∠ACB+∠BAC）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ABC+∠ACB）＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB）＝2×180°＝360°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，解答此题的关键是要明确：三角形内角和是180°．5．（2025•越秀区校级一模）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A．423 B．22 C．823 【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】C【分析】根据垂直先求出∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC、Rt△ADB、Rt△EBD中，分别用三角函数求出AD、BD、DE的长，进而求出AE的长．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC中，AC＝8，∠C＝45°，∴∠C＝∠DAC＝45°，∴AD＝DC＝ACsin45°=22AC＝4在Rt△ADB中，AD＝42，∠ABD＝60°，∴BD＝ADtan30°=33AD∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBD＝30°，在Rt△EBD中，BD=463，∠EBD∴DE＝BDtan30°=33BD∴AE＝AD﹣DE=8故选：C．【点评】本题考查含30度角的直角三角形，掌握此性质定理的应用，三角函数的应用是解题关键．6．（2025•四川模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是（）A．26° B．38° C．42° D．52°【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的外角性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD＝CD＝AD，∴∠A＝∠DCA＝26°，∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°．故选：D．【点评】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键．7．（2025•秦都区校级模拟）如图，AB∥CD，M、N为直线AB上的两点，连接CN，ME⊥CN于点E，点F在CN上，连接DF，CF＝DF，若∠EMN＝70°，则∠D的度数为（）A．20° B．30° C．40° D．45°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】先根据平行线性质和直角三角形性质求出∠C的度数，再依据等腰三角形性质得出∠D与∠C的关系，进而求出∠D．【解答】解：∵ME⊥CN，∴∠MEN＝90°．∴∠MNE＝180°﹣∠EMN﹣∠MEN＝180°﹣70°﹣90°＝20°．∵AB∥CD（已知），∴∠C＝∠MNE＝20°（两直线平行，内错角相等）．∵CF＝DF，∴∠D＝∠C＝20°（等边对等角），所以∠D的度数为20°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是利用这些性质找出角之间的关系来求解∠D的度数．8．（2025•方山县一模）如图，点P是△ABC的重心，AB＝6，连接AP，BP并延长，分别交BC，AC于点D，E，连接DE，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】三角形的重心．【专题】三角形；运算能力．【答案】B【分析】根据三角形重心的定义，得出点D，E分别为BC和AC的中点，再结合中位线的定义及中位线定理即可解决问题．【解答】解：由题知，因为点P是△ABC的重心，则AD，BE是△ABC的两条中线，所以E点为AC的中点，D为BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，又因为AB＝6，所以DE=故选：B．【点评】本题主要考查了三角形的重心，熟知三角形重心的定义及中位线定理是解题的关键．9．（2025•蠡县一模）珍珍用三根木棍首尾相接组成了一个周长为整数的三角形，其中两根木棍的长如图所示，则该三角形是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；三角形三边关系；等腰三角形的判定；等边三角形的判定．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据三角形的三边关系求出第三条边的范围，再根据周长为整数得到答案．【解答】解：设第三条边为xcm，∵两条边长分别为1cm，4cm，∴4﹣1＜x＜4+1，∴3＜x＜5，∵周长为整数，∴x＝4，故该三角形为等腰三角形，故选：B．【点评】本题主要考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．10．（2025•陕西模拟）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和中线．若△ABC的面积为12，AD＝4，则BE的长为（）A．1.5 B．3 C．4 D．6【考点】三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．【专题】三角形；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积求得S△【解答】解：∵AE是△ABC的中线，∴BE＝CE，∵△ABC的面积为12，∴S△∵AD分别是△ABC的高线，AD＝4，∴12∴BE=故选：B．【点评】本题考查三角形的中线性质，三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025•石家庄模拟）如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是4×4的正方形网格上的格点，以点A为圆心，AD长为半径画圆交数轴于点P，Q，则点Q所表示的数为1-10【考点】勾股定理；实数与数轴．【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】1-10【分析】先根据勾股定理求出AD的长，即为AP与AQ的长，再根据两点间的距离公式便可求出1和P以及1和Q之间的距离，进而可求出点Q表示的数．【解答】解：由勾股定理可得，AD=1则AP＝AQ=10∵点A表示的数是1，Q点所表示的数为1-10故答案为：1-【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式为：两点间的距离＝较大的数﹣较小的数，是解题的关键．12．（2025•郑州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为6．【考点】勾股定理；圆的面积．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】6．【分析】根据勾股定理求出AB长，两个小半圆面积和直角三角形的面积之和减去大半圆面积即可求出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=∵两个小半圆面积和直角三角形的面积之和减去大半圆面积，∴图中阴影部分的面积为==1＝6，故答案为：6．【点评】此题考查了勾股定理、圆面积公式等知识，正确进行计算是解题关键．13．（2025•乌鲁木齐一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝1．【考点】角平分线的性质．【专题】三角形；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝1，∵AC＝2，∴S△ACD=12AC=12×＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．（2025•秦都区校级模拟）如图，AD、CE为等边△ABC的两条高，且AD与CE相交于点P，则图中的直角三角形共有6个．【考点】三角形．【专题】三角形；运算能力．【答案】6，【分析】根据AD、CE为等边△ABC的两条高得到∠CEB＝∠CEA＝∠ADB＝∠ADC＝90°，即可得到△ADC，△ADB，△CEA，△CEB，△PDC，△PEA是直角三角形即可得到答案．【解答】解：由题意可得：∠CEB＝∠CEA＝∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ADC，△ADB，△CEA，△CEB，△PDC，△PEA是直角三角形，共有6个．故答案为：6．【点评】本题考查三角形的分类及高线，正确进行计算是解题关键．15．（2025•津南区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AB＜BC，E是BC边上的一动点，连接DE、AE，过点D作DF⊥AE交BC于点G，垂足为点F，连接BF．（1）当点G恰为BC中点时，则BF＝3．（2）当DE平分∠FEC时，若DE=10，则AF：FE＝4：1【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质．【专题】图形的全等；运算能力．【答案】（1）3；（2）4：1．【分析】（1）延长DG与BA交于点H，根据矩形的性质可得AB＝CD＝3，AB∥CD，从而可得∠CDG＝∠H，∠DCG＝∠HBG，再根据线段的中点定义可得BG＝CG，然后利用AAS证明△DCG≌△HBG，从而利用全等三角形的性质可得BH＝DC＝3，进而可得AB＝BH＝3，再根据垂直定义可得∠AFH＝90°，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答；（2）根据矩形的性质可得∠DCE＝90°，AD∥BC，再利用角平分线的性质可得DF＝DC＝3，∠DEF＝∠DEC，从而可得∠ADE＝∠DEF，进而可得AD＝AE，然后在Rt△DFE中，利用勾股定理求出EF＝1，再设AF＝x，则AD＝AE＝x+1，从而在Rt△ADF中，利用勾股定理进行计算可求出AF的长，即可解答．【解答】解：（1）延长DG与BA交于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AB∥CD，∴∠CDG＝∠H，∠DCG＝∠HBG，∵点G为BC中点，∴BG＝CG，∴△DCG≌△HBG（AAS），∴BH＝DC＝3，∴AB＝BH＝3，∵DG⊥AE，∴∠AFH＝90°，∴BF＝AB=12AH＝故答案为：3；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCE＝90°，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠FEC，DC⊥CE，DF⊥AE，∴DF＝DC＝3，∠DEF＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DEF，∴AD＝AE，在Rt△DFE中，DE=10∴EF=DE设AF＝x，∴AD＝AE＝AF+EF＝x+1，在Rt△ADF中，AF2+DF2＝AD2，∴x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴AF＝4，∴AF：EF＝4：1，故答案为：4：1．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•秦淮区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，AC=12【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】证明见解答过程．【分析】在AB上截取AD＝AC，连接CD，根据等边三角形的判定与性质求出CD＝AD＝AC，∠ADC＝∠ACD＝60°，进而求出BD＝AD＝CD，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BCD＝30°，则∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，据此即可得证．【解答】证明：如图，在AB上截取AD＝AC，连接CD，∵∠A＝60°，∴△ACD是等边是三角形，∴CD＝AD＝AC，∠ADC＝∠ACD＝60°，∵AC=∴AD=12∴BD＝AD＝CD，∴∠B＝∠BCD，∵∠ADC＝∠B+∠BCD，∴∠BCD＝30°，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，∴△ABC为直角三角形．【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2025•哈尔滨模拟）点D，E分别在AB，AC上，连接BE，CD，AD＝AE，BD＝CE．（1）如图1，求证：∠B＝∠C；（2）如图2，连接BC，若点D为AB的中点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出面积为△ABC面积一半的所有三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形的面积．【专题】三角形；图形的全等；推理能力．【答案】（1）证明见解答；（2）△ACD，△BCD，△ABE，△CBE．【分析】（1）由AD＝AE，BD＝CE，推导出AB＝AC，而∠A＝∠A，即可根据“SAS”证明△ABE≌△ACD，则∠B＝∠C；（2）由点D为AB的中点，得AD＝BD=12AB，则S△ACD＝S△BCD=12S△ABC，由全等三角形的性质得S△ABE＝S△ACD=12S△ABC，所以S△CBE=12S△ABC，所以△ACD，△【解答】（1）证明：∵点D，E分别在AB，AC上，AD＝AE，BD＝CE，∴AD+BD＝AE+CE，∴AB＝AC，在△ABE和△ACD中，AB=∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B＝∠C．（2）解：△ACD，△BCD，△ABE，△CBE，理由：∵点D为AB的中点，∴AD＝BD=12∴S△ACD＝S△BCD=12S△由（1）得△ABE≌△ACD，∴S△ABE＝S△ACD=12S△∴S△CBE＝S△ABC-12S△ABC=12∴△ACD，△BCD，△ABE，△CBE分别等于△ABC面积一半．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABE≌△ACD是解题的关键．18．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在BC上，连结AD交CE于点F，BC＝13，CE＝12．（1）求BE的长；（2）若∠AFE＝45°，AB＝CF，求AE的长．【考点】勾股定理；等腰直角三角形；解一元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．【答案】（1）5；（2）72【分析】（1）根据勾股定理可得答案；（2）根据题意可得AE＝EF，再设AE＝x，可表示CF＝12﹣x，AB＝5+x，然后根据AB＝CF得出方程，求出解即可．【解答】解：（1）由题意可知：CE⊥AB，BC＝13，CE＝12，在Rt△EBC中，由勾股定理得：BE=（2）在Rt△AFE中，∠AFE＝45°，∴AE＝EF．设AE＝x，则CF＝12﹣x，AB＝5+x，∵AB＝CF，∴5+x＝12﹣x，解得x=∴AE=【点评】本题主要考查了勾股定理，解一元一次方程，等腰直角三角形，熟练运用勾股定理解决问题是解答本题的关键．19．（2025•天心区校级一模）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AE，E是△ABC外一点，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：BC＝DE；（2）若∠BAD＝30°，求∠B的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）75°．【分析】（1）根据条件证△BAC≌△DAE即可求证；（2）根据全等三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和Rt△DAE∠BAC∴△BAC≌△DAE（ASA），∴BC＝DE；（2）解：∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∴∠B＝∠BDA，∵∠BAD＝30°，∠BAD+∠B+∠BDA＝180°，∴∠B+∠BDA＝150°，∴∠B＝75°．【点评】本题综合考查全等三角形的判定与性质．掌握相关定理是解题关键．20．（2025•望城区一模）已知：如图，AD是△ABC的中线，点M在AD上，点N在AD的延长线上，且DM＝DN．（1）求证：△BDN≌△CDM；（2）若∠AMC＝80°，则∠N＝100°．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）100．【分析】（1）求出BD＝DC，根据SAS推出两三角形全等即可；（2）根据邻补角定义求出∠DMC＝100°，再根据全等三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，在△BDN和△CDM中，DN=∴△BDN≌△CDM（SAS）；（2）解：∵∠AMC＝80°，∠AMC+∠DMC＝180°，∴∠DMC＝100°，∵△BDN≌△CDM，∴∠N＝∠DMC＝100°，故答案为：100．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．

考点卡片1．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．2．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．3．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．4．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．5．三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．6．三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．7．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．8．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）9．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．10．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．11．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．12．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE14．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．15．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．16．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．17．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．18．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．19．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意