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文档简介
陕西省西安交通大学附中2025届下学期高三期末考试数学试题试卷试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.2.已知定点都在平面内,定点是内异于的动点,且,那么动点在平面内的轨迹是()A.圆,但要去掉两个点 B.椭圆,但要去掉两个点C.双曲线,但要去掉两个点 D.抛物线,但要去掉两个点3.设全集U=R,集合,则()A. B. C. D.4.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙5.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为的是()A. B. C. D.6.如图,已知平面,,、是直线上的两点,、是平面内的两点,且,,,,.是平面上的一动点,且直线,与平面所成角相等,则二面角的余弦值的最小值是()A. B. C. D.7.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.8.在中,,则=()A. B.C. D.9.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.且 B.且 C.且 D.且10.若函数满足,且,则的最小值是()A. B. C. D.11.已知函数(),若函数有三个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.12.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()A. B.2 C. D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数的最小值为2,则_________.14.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则_________.15.若存在实数使得不等式在某区间上恒成立,则称与为该区间上的一对“分离函数”,下列各组函数中是对应区间上的“分离函数”的有___________.(填上所有正确答案的序号)①,,;②,,;③,,;④,,.16.已知,,且,则最小值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知.(1)若的解集为,求的值;(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知直线:与抛物线切于点,直线:过定点Q,且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线PA,PB的斜率分别为,那么是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.19.(12分)如图为某大江的一段支流,岸线与近似满足∥,宽度为.圆为江中的一个半径为的小岛,小镇位于岸线上,且满足岸线,.现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道(图中粗线部分折线段,在右侧),为保护小岛,段设计成与圆相切.设.(1)试将通道的长表示成的函数,并指出定义域;(2)若建造通道的费用是每公里100万元,则建造此通道最少需要多少万元?20.(12分)武汉有“九省通衢”之称,也称为“江城”,是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.(1)为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况,从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人,制成了如图的频率分布直方图:现从年龄在内的游客中,采用分层抽样的方法抽取10人,再从抽取的10人中随机抽取4人,记4人中年龄在内的人数为,求;(2)为了给游客提供更舒适的旅游体验,该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量(单位:万人)都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表:劳动节当日客流量频数(年)244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率,且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用,但每年劳动节当日型游船最多使用量(单位:艘)要受当日客流量(单位:万人)的影响,其关联关系如下表:劳动节当日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用,则游船中心当日可获得利润3万元;若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用,则游船中心当日亏损0.5万元.记(单位:万元)表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润,的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大,问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大?21.(12分)△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.22.(10分)如图,在中,,的角平分线与交于点,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2.A【解析】
根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,,,又,,平面,又平面,故在以为直径的圆上,又是内异于的动点,所以的轨迹是圆,但要去掉两个点A,B故选:A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定,圆的性质,轨迹问题,属于中档题.3.A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可.【详解】,,则,故选:A.【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算,考查指数不等式和二次不等式的解法,属于基础题.4.A【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.5.B【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果.【详解】对于,图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误;对于,的图象如下图所示:则在定义域上单调递增,且值域为,正确;对于,的图象如下图所示:则函数单调递增,但值域为,错误;对于,的图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误.故选:.【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.6.B【解析】
为所求的二面角的平面角,由得出,求出在内的轨迹,根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值【详解】,,,,同理为直线与平面所成的角,为直线与平面所成的角,又,在平面内,以为轴,以的中垂线为轴建立平面直角坐标系则,设,整理可得:在内的轨迹为为圆心,以为半径的上半圆平面平面,,为二面角的平面角,当与圆相切时,最大,取得最小值此时故选【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等,依据题目选择方法求出结果.7.C【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,,令,则;,则,∴函数在单调递增,在单调递减.∴函数在处取得极大值为,∴时,的取值范围为,∴又当时,令,则,即,∴综上所述,的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.8.B【解析】
在上分别取点,使得,可知为平行四边形,从而可得到,即可得到答案.【详解】如下图,,在上分别取点,使得,则为平行四边形,故,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了学生逻辑推理能力,属于基础题.9.B【解析】由且可得,故选B.10.A【解析】
由推导出,且,将所求代数式变形为,利用基本不等式求得的取值范围,再利用函数的单调性可得出其最小值.【详解】函数满足,,即,,,,即,,则,由基本不等式得,当且仅当时,等号成立.,由于函数在区间上为增函数,所以,当时,取得最小值.故选:A.【点睛】本题考查代数式最值的计算,涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用,考查计算能力,属于中等题.11.A【解析】
分段求解函数零点,数形结合,分类讨论即可求得结果.【详解】作出和,的图像如下所示:函数有三个零点,等价于与有三个交点,又因为,且由图可知,当时与有两个交点,故只需当时,与有一个交点即可.若当时,时,显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|有一个交点𝐵,故满足题意;时,显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|没有交点,故不满足题意;时,显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|也没有交点,故不满足题意;时,显然与有一个交点,故满足题意.综上所述,要满足题意,只需.故选:A.【点睛】本题考查由函数零点的个数求参数范围,属中档题.12.B【解析】
过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由和抛物线的定义可求得,利用抛物线的性质可构造方程求得,进而求得结果.【详解】过点作准线的垂线,垂足为,与轴交于点,由抛物线解析式知:,准线方程为.,,,,由抛物线定义知:,,,.由抛物线性质得:,解得:,.故选:.【点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用,关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号,之后再结合后边的函数解析式,对照函数值等于2的时候对应的自变量的值,从而得到分段函数的分界点,从而得到相应的等量关系式,求得参数的值.【详解】根据题意可知,可以发现当或时是分界点,结合函数的解析式,可以判断0不可能,所以只能是是分界点,故,解得,故答案是.【点睛】本题主要考查分段函数的性质,二次函数的性质,函数最值的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.【解析】
由题意可得,又由于为的中点,且点在轴上,所以可得点的横坐标,代入抛物线方程中可求点的纵坐标,从而可求出点的坐标,再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】解:因为是抛物线的焦点,所以,设点的坐标为,因为为的中点,而点的横坐标为0,所以,所以,解得,所以点的坐标为所以,故答案为:【点睛】此题考查抛物线的性质,中点坐标公式,属于基础题.15.①②④【解析】
由题意可知,若要存在使得成立,我们可考虑两函数是否存在公切点,若两函数在公切点对应的位置一个单增,另一个单减,则很容易判断,对①,③,④都可以采用此法判断,对②分析式子特点可知,,进而判断【详解】①时,令,则,单调递增,,即.令,则,单调递减,,即,因此,满足题意.②时,易知,满足题意.③注意到,因此如果存在直线,只有可能是(或)在处的切线,,因此切线为,易知,,因此不存在直线满足题意.④时,注意到,因此如果存在直线,只有可能是(或)在处的切线,,因此切线为.令,则,易知在上单调递增,在上单调递减,所以,即.令,则,易知在上单调递减,在上单调递增,所以,即.因此,满足题意.故答案为:①②④【点睛】本题考查新定义题型、利用导数研究函数图像,转化与化归思想,属于中档题16.【解析】
首先整理所给的代数式,然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】,结合可知原式,且,当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)【解析】
(1)利用两边平方法解含有绝对值的不等式,再根据根与系数的关系求出的值;(2)利用绝对值不等式求出的最小值,把不等式化为只含有的不等式,求出不等式解集即可.【详解】(1)不等式,即两边平方整理得由题意知和是方程的两个实数根即,解得(2)因为所以要使不等式恒成立,只需当时,,解得,即;当时,,解得,即;综上所述,的取值范围是【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题,也考查了分类讨论思想,是中档题.18.(1),(1,2);(2)存在,【解析】
(1)由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为,求出抛物线的方程,再由直线与抛物线相切,即可求得切点的坐标;(2)直线与抛物线方程联立,利用根与系数的关系,求得直线PA,PB的斜率,求出斜率之和为定值,即存在实数使得斜率之和为定值.【详解】(1)由题意,直线变为2x+1-m(2y+1)=0,所以定点Q的坐标为抛物线的焦点坐标,由抛物线C上的点到点Q的距离与到其焦点F的距离之和的最小值为,可得,解得或(舍去),故抛物线C的方程为又由消去y得,因为直线与抛物线C相切,所以,解得,此时,所以点P坐标为(1,2)(2)设存在满足条件的实数,点,联立,消去x得,则,依题意,可得,解得m<-1或,由(1)知P(1,2),可得,同理可得,所以=,故存在实数=满足条件.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目,通常联立直线方程与抛物线方程,应用一元二次方程根与系数的关系进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解,能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.19.(1),定义域是.(2)百万【解析】
(1)以为原点,直线为轴建立如图所示的直角坐标系,设,利用直线与圆相切得到,再代入这一关系中,即可得答案;(2)利用导数求函数的最小值,即可得答案;【详解】以为原点,直线为轴建立如图所示的直角坐标系.设,则,,.因为,所以直线的方程为,即,因为圆与相切,所以,即,从而得,在直线的方程中,令,得,所以,所以当时,,设锐角满足,则,所以关于的函数是,定义域是.(2)要使建造此通道费用最少,只要通道的长度即最小.令,得,设锐角,满足,得.列表:0减极小值增所以时,,所以建造此通道的最少费用至少为百万元.【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.20.(1);(2)投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大【解析】
(1)首先计算出在,内抽取的人数,然后利用超几何分布概率计算公式,计算出.(2)分别计算出投入艘游艇时,总利润的期望值,由此确定当日游艇投放量.【详解】(1)年龄在内的游客人数为150,年龄在内的游客人数为100;若采用分层抽样的方法抽取10人,则年龄在内的人数为6人,年龄在内的人数为4人.可得.(2)①当投入1艘型游船时,因客流量总大于1,则(万元).②当投入2艘型游船时,若,则,此时;若,则,此时;此时的分布列如下表:2.56此时(万元).③
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