河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年高三第一次模拟数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年高三第一次模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z的实部为1，则z+z=A．1 B．2 C．i D．22．抛物线x2=−A．x=12 B．x=1 3．设向量a=x,2，b=1,3.若A．6 B．−6 C．23 4．已知函数fx=logaxa>A．e2 B．e C．e D．5．从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，则这两个数的乘积为偶数的概率为（

）A．320 B．1720 C．3106．已知函数fx=xlnx+aA．-1 B．-2 C．-3 D．-47．已知i,j∈N*，记Sn为等比数列an的前n项和.设命题p:aA．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件8．已知函数fx，gx的定义域均为R，且fx的图像关于点2,0对称.设集合A={A．A∩C=A B．A∩C二、多选题9．已知两组样本数据，第一组x1,x2,x3A．这两组数据的平均数一定相等 B．这两组数据的极差一定相等C．这两组数据的第90百分位数一定相等 D．这两组数据的众数一定相等10．已知椭圆C:x24+y23=1的左顶点为A，右焦点为F.点M在线段AO（O为坐标原点）上，且C与圆M有且只有一个公共点AA．OP的最大值为2 B．PC．圆M半径的最大值为1 D．PQ11．设a，b为正数，若函数fx=sin2xA．ab−ba有最大值C．a2b的最小值为55π12三、填空题12．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为．13．如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心.现规划在半圆弧岸边取点C，D，满足∠AOC=∠COD，在扇形AOC和扇形BOD区域内种植荷花，在扇形C14．如图，由9个单位小方格组成的3×3方格表中共有16个格点，将每个格点染成灰色或黑色，满足：若任意4个格点构成矩形的4个顶点，则这4点中至多有2点被染成灰色.则被染为灰色的格点数目最多为四、解答题15．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面AB(1)证明：EF//(2)求二面角C−16．小明连续投篮两次，若第一次投中，则第二次也投中的概率为0.6，若第一次未投中，则第二次投中的概率为0.5，已知第一次投中的概率为0.7.(1)记小明投中的次数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；(2)求在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率.17．已知双曲线C:x2a2−y2b2=(1)求C的标准方程；(2)过F2的直线交C于M，N两点，线段AM与线段F1N交于点R，若△F18．已知函数fx=a(1)当a=0时，求(2)证明：fx(3)若存在开区间I，使得fx∈I，当且仅当x19．若互不相交的非空集合A1,A2,…,Ak满足：A(1)写出一个3,(2)若bi+aj=a1i=1,2,(3)若数列xn满足x2=5，xn答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北省秦皇岛市昌黎县2024-2025学年高三第一次模拟数学试题》参考答案题号12345678910答案BCCBDAAABCABD题号11答案BC1．B【分析】设z=【详解】设z=1+故z+故选：B2．C【分析】根据抛物线的标准方程，可得答案.【详解】抛物线x2=−故选：C.3．C【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解即可.【详解】因为a=x,若a与b共线，则3x=2故选：C.4．B【分析】由对数的概念和运算性质求解即可；【详解】fe即loga即a2=e所以a故选：B5．D【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式，可得答案.【详解】从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数的情况有：1,2,符合题意的有1,2,所以概率为710故选：D.6．A【分析】首先需要对函数求导，然后根据函数在给定区间单调递增这一条件，得到导数在该区间的取值情况，进而求出参数的取值范围，从而确定a的最小值.【详解】已知f(对f(x)因为函数f(x)在区间(1,即lnx+1+a≥0设g(x)因为y=lnx在(0,那么g(x)则g(由于a≥−(lnx所以a的最小值为−1故选：A.7．A【分析】先说明充分性，由a2i+1<0，得到a1<0，分m【详解】设an的公比为mm≠若a2i+当m=1时，当n≥2时，当m≠1时，若m>1，则1−若0<m<1，则若m<0，1−综上，充分性成立，若S2j+1<0，当当m≠1时，由于m>1或0<m<1或所以a1<0综上，必要性成立，所以命题p是命题q的充要条件.故选：A8．A【分析】先根据对称性得到f(1)【详解】因为函数f(x)的图象关于点(2,由于∀xf(f(3)所以A⊂B,A∩故选：A.9．BC【分析】根据给定条件，利用平均数、极差、第90百分位数的定义判断ABC；利用众数的定义举例说明判断D.【详解】由x1≤x2≤x1≤x1+对于A，由1=15(因此这两组数据的平均数不一定相等，A错误；对于B，这两组数据的极差都为x4对于C，由5×90%对于D，取x1=1第二组数据为1,故选：BC10．ABD【分析】根据P点位置判断A；利用椭圆第二定义判断B；利用联立方程的方法可判断C；结合椭圆第二定义以及距离的几何意义判断D.【详解】对于A，当点P位于椭圆的长轴上的一个顶点时，OP对于B，椭圆C:x2根据椭圆第二定义可知PF对于C，设Mt,0,−联立x24+令Δ=64t则M−12对于D，由于PF则PQ+2PF即PQ故选：ABD11．BC【分析】对于AB，由fx=sin2x−1【详解】对于A，由sin2x=12，可得2则x=π12+k因a，b为正数，且函数fx=sin则0<ba≤π125当0<ba当π12+k当5π12+k综上可得ab−b对于C，注意到a2当0<babamax=当π12+k其中k≥0，k∈Z.令构造函数ft=t即ft在5则a2当5π12+k其中k≥0，k∈Z.令构造函数gm=m即gm在13,+因55<17313对于D，由以上分析可知ab≥5当且仅当a=b=125π则此时fx则a+故选：BC【点睛】关键点睛：本题涉及三角函数的零点，所涉情况较多，故适当分组，分组讨论解决问题；C选项中，若难以注意到a2要使用基本不等式，需满足一正，二定，三相等，三个条件缺一不可.12．3【分析】由条件求解底面半径和圆锥的高，即可求得圆锥的体积.【详解】设底面半径为r，由题意可知2πr=圆锥的高h=所以圆锥的体积V=故答案为：313．π3/【分析】先设半径为1，再应用余弦定理得出AC【详解】设圆的半径为1，设∠A在△OAC中，余弦定理得A在△OCD中，余弦定理得C在△ODB中，余弦定理得B所以AC设t=sinα2,当t=sinα故答案为：π3【点睛】14．6【分析】分类讨论每行涂成灰的格点个数，再分析每列涂成灰色的格点个数，即可得结果.【详解】若其中一行4个格点均涂成灰色，则每一列均不能再涂灰色，此时红色的格点数目为4；若其中一行有3个格点涂成灰色，则这三个红色格点所在的列均不能再涂灰色，且剩余一列至多3个格点可以涂成灰色，此时灰色的格点数目最多为6；若每一行有2个格点可以涂成灰色，这三个红色格点所在的列均不能再涂灰色，且剩余2列至多3个格点可以涂成灰色，此时灰色的格点数目最多为5；若每行4个格点均只有1个或0个涂成灰色，符合题意，但灰色的格点数目不为最多；综上所述：染为灰色的格点数目最多为6.故答案为：6.【点睛】关键点点睛：先考虑行，再考虑列，关键在于一旦一行的灰色格点数不少于2个，则同列就不能再涂灰色.15．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）由已知，可得EF//PD（2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，F是AC∴B，F，D三点共线，且F是BD的中点，又E是PB的中点，∴EF又EF⊄平面PCD，∴EF//（2）如图建系，易得：A0设平面BEF的法向量为n=由n⋅EB令x=2，可得：所以n=设平面CEF的法向量为m=由由m⋅FC令a=2，可得：所以m=设二面角C−EF所以cosθ所以sinθ所以二面角C−EF16．(1)分布列答案见解析，E(2)14【分析】（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得EX（2）记事件A:小明在第一次投中，事件B:小明在第二次投中，利用条件概率公式求出PAB，利用全概率公式求出【详解】（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2，则PX=0PX所以，随机变量X的分布列如下表所示：X012P0.150.430.42故EX（2）记事件A:小明在第一次投中，事件B则PA=0.7，PA=则PA由全概率公式可得PB由条件概率公式可得PA所以，在第二次投中的条件下，第一次也投中的概率为141917．(1)x(2)50【分析】（1）由AF2⊥F1F2且A2,3得F2（2）设过F22,0的直线为x=my+2【详解】（1）因为AF2⊥F1F2且A所以AF根据双曲线的定义有AF1−所以双曲线C:（2）根据题意过F22,0的直线斜率为0显然不满足题意，可设过由x=当m≠±3设Mx1,所以MN因为S△F1RM=S△A则有d=−2所以MN18．(1)0(2)证明见解析(3)−【分析】（1）当a=0时，先对函数（2）对f(x)（3）假设存在区间(m,n)，根据（2）结论作出f(x)【详解】（1）当a=0时，f(则f′(x当x<0时，x+所以f′(x)>当x>0时，x+所以f′(x)<故f(（2）函数f(x)则f′(x得a=−1则φ(x)在R当x→−∞故对任意a∈R，直线y=a与函数当x<x0时，φ(即f′(x)=当x>x0时，φ即f′(x)=故f(x)

（3）f(x)由（2）知，f(x)在(则f(x)又当x→−∞①假设存在区间I=(m,n)，其中则有m<f(x0若m<n≤f(x0

由(m所以m<f(

此时有f(由f(m)由f(n)可得en=1故若存在区间I，使得fx∈I则m=a,n=

②下面验证：当a<0时，条件n>由f(由x0为f(x)的极大值点，则可得a−x0构造函数g(g(x)在−即a<x<0时，ex所以有a<f(x)故当a<0时，存在开区间I=(a综上所述，a的取值范围为−∞【点睛】关键点点睛：此题难点在第（3）问，关键在于分类讨论极值f(x019．(1)({(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）写出集合对({（2）记aj1,aj（3）当n=【详解】（1）({1,因为A1因为1+则对任意a,b∈故上述集合对满足题意.（2）记aj1,aj由题意得b1+a易证a−b∉Am而(a−b而b1,b同理记b