八年级数学上册第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.2三角形的外角学案新版新人教版

Page1第十一章三角形11.2与三角形有关的角11.2.2三角形的外角学习目标1.了解三角形外角的概念.2.探究并证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3.运用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解决简洁问题.学习过程一、自主学习问题1:如图,已知BD∥CE,∠A=45°,∠C=65°,求∠1和∠2的度数.问题2:在问题1中,∠2被称为三角形的外角,依据∠2的构成,你能说明什么叫三角形的外角吗?二、深化探究探究1:依据定义探究三角形外角的个数问题1:依据定义,画出三角形的外角.你能画出多少个?问题2:这几个角有什么关系?(位置关系和数量关系)探究2:手脑并用探究三角形外角的性质及外角和问题1:如图,在△ABC中,∠ABC=65°,∠ACB=40°,求∠BAC的度数及三角形的外角∠1,∠2,∠3的度数.问题2:视察你的结论,你能发觉三角形的三个内角与它的外角有什么关系吗?三个外角又有什么关系?问题3:试证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.问题4:试证明三角形的外角和等于360°.三、练习巩固练习1:说出下列各图中∠1和∠2的度数.(1)(2)练习2:如图,∠BDC是的外角,∠BDC=+,∠EFC是的外角,∠EFC=+,∠BFC是的外角,∠BFC=+,∠BFC>.

练习3:如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E,证明∠BAC>∠B.练习4:如图,点D是△ABC内的一点,连接BD和CD,证明∠BDC>∠A.四、深化提高练习1:如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P.试证明∠P=90°+12∠练习2:如图,在上题中,假如CP是△ABC外角∠ACD的平分线,那么∠P与∠A有什么关系?试证明你的结论.练习3:如图,在上题中,假如BP,CP分别是∠CBD与∠BCE的平分线,那么∠P与∠A有什么关系?试证明你的结论.参考答案一、自主学习问题1:由BD∥CE可知,∠1=∠C=65°,由三角形内角和等于180°可知,∠2的邻补角等于70°,所以∠2=110°.问题2:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.二、深化探究探究1:问题1:如图,可以画出6个外角.问题2:∠1和∠2是对顶角,∠3和∠4是对顶角,∠5和∠6是对顶角,所以有∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.探究2:问题1:∠BAC=75°,∠1=105°,∠2=115°,∠3=140°.问题2:①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;②三角形的外角和等于360°.问题3:已知:在△ABC中,∠1是三角形的一个外角.求证:∠1=∠A+∠B.证明:∵∠ACB+∠A+∠B=180°,(三角形的内角和等于180°)∴∠ACB=180°-∠A-∠B.∵∠1与∠ACB是邻补角,∴∠1+∠ACB=180°.∴∠1=180°-∠ACB=180°-(180°-∠A-∠B)=∠A+∠B.问题4:已知:在△ABC中,∠1,∠2,∠3都是三角形的外角.求证:∠1+∠2+∠3=360°.证明:∵∠1,∠2,∠3都是三角形的外角,∴∠1=∠ABC+∠ACB.(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)同理,∠2=∠BAC+∠ACB,∠3=∠BAC+∠ABC.∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB).∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,(三角形的内角和等于180°)∴∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.三、练习巩固练习1:(1)∠1=40°,∠2=140°;(2)∠1=80°,∠2=40°.练习2:△ACD∠A∠ACD△BCF∠BCF∠FBC△BDF(△CEF)∠BDF(∠CEF)∠DBF(∠ECF)∠BDF(∠CEF…)练习3:证明:∵CE是∠ACD的平分线,∴∠ACE=∠DCE.(角平分线定义)∵∠DCE是△BCE的外角,∴∠DCE>∠B.(三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角)∴∠ACE>∠B.(等量代换)∵∠BAC是△ACE的外角,∴∠BAC>∠ACE.(三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角)∴∠BAC>∠B.练习4:证明:延长BD交AC于点E.∵∠BEC是△ABE的外角,∠BDC是△CDE的外角,∴∠BEC>∠A,∠BDC>∠BEC.(三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角)∴∠BDC>∠A.四、深化提高练习1:证明:∵BP,CP分别是∠ABC与∠ACB的平分线,∴∠PBC=12∠ABC,∠PCB=12∠∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠P+∠PBC+∠PCB=180°,(三角形的内角和等于180°)∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠P=180°-(∠PBC+∠PCB).∴∠P=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12练习2:解:∠P=12∠理由:∵BP,CP分别是∠ABC与∠ACD的平分线,∴∠PBC=12∠ABC,∠PCD=12∠∵∠PCD是△PBC的外角,∠ACD是△ABC的外角,∴∠PCD=∠P+∠PBC,∠ACD=∠A+∠ABC.(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴∠P=∠PCD-∠PBC,∠ABC=∠ACD-∠A.∴∠P=12∠ACD-12∠ABC=12(∠ACD-=12[∠ACD-(∠ACD-∠A)]=12∠练习3:解:∠P=90°-12∠理由:∵BP,CP分别是∠CBD与∠BCE的平分线,∴∠PBC=12∠CBD,∠PCB=12∠∵∠CBD与∠BCE都是△ABC的外角,∴∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠P+∠PBC+∠PCB=180°,(三角形的内角和等于180°)∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB),∠AB