2024-2025学年河北省邯郸市武安三中等校高二（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省邯郸市武安三中等校高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为(

)A.14 B.64 C.72 D.802.已知函数f(x)在x=x0处的导数为3，则Δx→0limA.3 B.32 C.6 D.3.若函数f(x)=lnx−2x+1，则f′(12)=A.0 B.12 C.32 4.现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(

)A.45 B.54 C.20 5.已知函数f(x)=x2−2x−4lnx+3，则f(x)的极小值为A.2 B.2−3ln2 C.ln2−3 D.3−4ln26.已知函数f(x)=2x−sinx+cosx，若α∈(0,1)，则下列式子大小关系正确的是(

)A.f(α)<f(α)<f(α) B.f(7.已知函数f(x)=x+4x2,g(x)=xlnx+a，若∀x1∈[1,4]，∃xA.[5−e,174] B.[5−e,3] C.(5−e,3)8.已知直线y=ax+b(a∈R,b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=lnx+2的公切线，则a+b等于(

)A.e+2 B.3 C.e+1 D.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设函数f(x)=2x，则下列说法正确的是(

)A.[f(2)]′=4ln2 B.[xf(x)]′=2x(1+xln2)

C.[f(x)]′=10.已知函数f(x)=x3−3x+2，则A.f(x)在区间(−1,1)上单调递减 B.f(x)的最小值为0

C.f(x)的对称中心为(0,2) D.方程f(x)=0有3个不同的解11.已知函数f(x)=x−a+1ex的最大值为1，则A.a=0 B.当m2<n2时，f(m2)<f(n2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有______．13.函数f(x)的导函数f′(x)满足关系式f(x)=2xf′(1)−lnx，则f(x)=______．14.设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥lnx恒成立，则k四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

求下列函数的导数．

(1)y=x5ex；

(2)y=16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ax+blnx+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为3x−y+2=0．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的极值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=(x2+3)eax(a∈R)．

(1)若f(x)在x=1处取得极值，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=12x2+a(lnx−x)(a∈R)．

(1)若f(x)恰有两个极值点，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的两个极值点分别为x119.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−6kx+1，g(x)=kx3+2，k∈R．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)令ℎ(x)=f′(x)−g′(x)，当k=1时，求ℎ(x)的极值点个数；

(3)令φ(x)=f(x)−g(x)参考答案1.B

2.B

3.A

4.A

5.D

6.A

7.B

8.D

9.BCD

10.AC

11.ACD

12.90种

13.2x−lnx

14.1e15.16.17.18.解：(1)f′(x)=x+a(1x−1)=x2−ax+ax=0在(0,+∞)上恰有两个不同的解，

令ℎ(x)=x2−ax+a，所以ℎ(0)=a>0,−−a2>0,Δ=(−a)2−4a>0,

解得a>4，即实数a的取值范围是(4,+∞)；

(2)证明：由(1)知x1，x2是方程x2−ax+a=0的两个不同的根，所以x1+x2=a，x1x2=a，

所以f(x1)+f(x2)=12x19.解：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)=ex−6k，

当k≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增；

当k>0时，由f′(x)<0，得x∈(−∞,ln(6k)，由f′(x)>0，得x∈(ln(6k),+∞)，

综上，当k≤0时，f(x)在R上单调递增；

当k>0时，f(x)在(−∞,ln(6k))上单调递减，在(ln(6k),+∞)上单调递增．

(2)ℎ(x)=f′(x)−g′(x)=ex−6k−3kx2，ℎ′(x)=ex−6kx，ℎ″(x)=ex−6k，

当k=1时，ℎ″(x)=ex−6，x∈(−∞,ln6)时，ℎ″(x)<0，ℎ′(x)单调递减，x∈(ln6,+∞)时，ℎ″(x)>0，ℎ′(x)单调递增，

所以ℎ′(x)min=ℎ′(ln6)=6−6ln6<0，

又ℎ′(0)=1>0；x→+∞时，ℎ(x)→+∞，

所以ℎ′(x)分别在(−∞,ln6)和(ln6,+∞)上存在唯一的变号零点，

即ℎ(x)有两个极值点．

(3)φ(x)=f(x)−g(x)=ex−6kx−kx3−1，φ′(x)=ex−6k−3kx2=ex(1−6k+3kx2ex)，

又φ(0)=0，x=0为一个零点，

①若k≤0，则φ′(x)>0，φ(x)在定义域内单调递增，又φ(0)=0，所以φ(x)只有一个零点；

②若k>0，φ′(x)=ex−6k−3kx2=ex(1−6k+3kx2ex)，

令φ(x)=1−6k+3kx2ex，φ′(x)=6kx−6k−3kx2−ex=3k(x2−2x+2)ex，

又x2−2x+2>0，则φ′(x)>0，即φ(x)单调递增，φ(0)=