高考数学《学霸笔记》手写高清无水印版

第一章集合1元素与集合2)集合中元素的特征:确定性、互异性,无序性)集合的分类有限集和无限集数集自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集1)集合间的运算关系名称自然语言描述如果集合A中所有元子集素,则称集合A是集合B的子集真集如果集合CB,但存在元素aeB,但aA,则称集合A是集合A与集合B中元素相1同,那么就说集合A与集鸽相等并集对于给定集合A、由所B的元素组成的集合交集对于给定集合B.由合B的元素组成的集合对于一个集合,由全集补集(中所有属于集台V但不且(2)集合间的逻辑关系2……A的非空子集个数是“-11.集合中元素的特性……确定性:作为一个集合中的元素,必须是确定的,那一个集一,这个特征通常被用来判定涉及的总体是否能构成集合。互异性集合中的元素必须是互异的,对于一个给定的集合它的任何两个元素都是不同的,这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合的未知元素。无序性:集合与其中元素的排列顺序无关,如a.bc组成的集合与ba组成的集合是相同的集合,这个特征通常被用来判断两个集合的关系.定性。(2){a,b1.{6.a,c不是集合,表面上看、这是一个元素为集合的集合,但实质上,根据无性序性,{a,b.c3={6.a.c13(3=Cv(u(AAB))AB喜爱乒乓球运动，4一道题往往包含”所知”和“所求“两个要素,如本题中的=x如果一味坚持所知到所求,将一1,3)放入Cu(CuUC,B)n(BV中)就会十分麻烦容易出错。算则不可能得出结果因此,必须将两者结合,从自己的解题经验到和能力从所知中挖掘出尽量多的信息两者契合,题目便可解出掘信息的能力和对“所求”暗示所需信息的敏感.集合问题与分类讨论思想解:本题所知(1)、Q是集合集合的三个特性a≠b本题所求PVQ、即求P、Q(由所求出发)请体会一下“所知所求”的双向过程566所知=7a=1,b=03,01,Q=1,0poQ={1、01…解法二：(体现分类讨论)PvQ={3.1、0现在看来,分类讨论了两种情况但是答案却惟一,原因何在清晰、避免遗漏但实际上无意义由此可见,分类讨论的重点是使讨论层次明确清晰。所以,当解一道题需要经过分类讨论时,必须通过繁琐的分类换取清晰的思路,因此耐心综上看来把握一道题的本质才是成绩提高、快速、准确解题的关键.所以每做完一道题,问闫题巩固]x22、x好,则图8中的问题部分表示的集合为(2.(2012年吉林检测)设集台=份,10g2a}a,.若PnQ32012年河南调研)已知集台圆了=直线了则AnB788M{4,5.6.7.8={7.8、,101则M-等于(年01关系的韦思图是图1-9的交替和是9-6+4-2+1=6,集合{5的交替和为5,当集合中的n=2时,集合N,工的所有非空子集为们,{工1工作则它的“交替和”的总和1+2+(-1)=4,则当n=3时,S=_ES,都有x+y.x-y、xyes.则称S为封闭集下列命题:②若s为封闭集则一定有S..解析:因为A~B2、3、},而图中阴影部分为A去掉AnB,4.A.解析:由题知M=(1,+(0).N=10,2),则MN=(1,2M-中还有元素4、5还有故造中例3{1、23,33i).,则它的“友替和”的总和8、①解析由封闭集定义知若S{a+b3,b为整数,则+(b1+b)3s,ca1+bn31-(a29的③是假命题如S{0④是假命题故填①②注意事项…O……自己补充哦考前看看【基础知识]第一讲函数的概念一函数的概念的数十和它对应,那么就称十为从集合A到集台的一个函数。记作y=十(xxA)其中X叫自变量X的取值集合A叫作函数定义域;与X的值相对应的(x)的值叫作函数值,函数值的集合2.构成函数概念的三要素定义域对应法则、值域3.函数的表示方法:解析法、列表法、图象法1.映射的定义:设A、B是两个集合,如果按照对应法则f对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应这样的对应叫做从集合A到集合B的身映射,记作:十→B2.象与原象如果给定一个从集合A到集合B的映射,那么和和中的元素a对应的B中的元素6叫作a的象a叫作目的原象。对于映射十:来说、集合A.B可以是数集,也可以是点集或者其他集合,而函数定义中的两个集合是非空数集.因此、映射是函数概念的一种扩展,而将数集扩展到任意元素的集合,函数是一种特殊的映射,所以映射不一定都是函数,而函数都是映射。三分段函数与复合函数2.复合函数:若是《的函数,u又是x的函数,即y=f(u)9(x)]、x(a,b)叫作+和的复合函数,u叫作中间变量u的取值范围是9(x)的值城域。第二讲函数的性质一单调性1.增减函数的重义当X、<时,都有f(x)<f(x,那么就说f(x)在区间D上是增函数。(2)如果对于定义域工内某个区间上的任意两个自变量的值xx当x<X2时,都有(x)+(x2),那么就说十x)在区间D上是减函数。对于复合函数y=f((x)),若称士=g(外层函数yf(t)的单调性增增减增减增减减增减奇偶函数的性质奇偶函数的定义域关于原点对称;若一个奇函数(x)在x=0处偶函数的积(或商)为偶函数;一奇一偶函数的积(或商,为奇函数;两奇函数(或两偶函数的和、差为奇函数(或偶函数)关于原点对称的区间内具有相同的单调性偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性。三函数周期性的判定定义域是否存在非零常数T使得对于函数定义域内的任一X都有十x十T)f(x),若存在,则十(x为周期函数是1)根式①根式的定义:如果a.那么X叫作a的几次方程,其中为大于的整数,叫作根式,这里几叫作根指数a叫作被开方数②根式的性质a.当几为奇数时,有”=a零的任何正几次方程都是零)幕的有关概念……………⑥的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)有理数指数幂的意义性质注意a、分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幕进行算的失误。代数式的运算,变形、求值,化简及等式证明在数学中占有重要的地位,是研究方程、不等式和函数的基础,应引起方程的观点处理问题,通过解方程或方程组来求值。指数方程函数的图像与性质yA×0<α<1,当X>0时<y<1;当x<0时y>1几个恒等式、N、都是正数、且a,b≠)④0g.⑤ogb”log。b底的对数叫作自然对数记作InN(4)零和负数没有对数,且10g二0D,109a1a>0a≠))换底公式0b=ca>0且a≠1,b.00且c≠)。y一偶偶奇Lo,+0)L0,+0)非奇非偶奇(一四，0)山作函数图象的一般步骤②化简函数式③讨论函数的性质(如奇偶性、周期性)以及图象上的特殊点线(如渐近线、对称轴④利用基本函数的图象画出所给函数的图象。图象变换的四种形式1)平移变换①水平平移y二f(xa)(a>0的图象可由二十x)图象向左或向①y十(-x与y=f(x).y)与yf(x.y=一f(-x与y=十x)yfx与f(x每组中两个函数图象分别关于y轴、父轴。原点、直线x对称。②若对定义域内的一切入均有十(x+m)=fim-),则y二九x)的图象关于直线X=m对称。③y=(x)与y=26-f(2a-x)关于点(a,b)成中心对称3伸缩变换①y=af(x(a>0的图象,可将y二十图象上的纵坐标伸(a>时)缩(a</时到原来的a倍②yf(ax)(a>0)的图象,可将yf(x)的图象上的点的横坐标伸(a<时,缩(a>时,到原来的六倍轴为对称轴翻折到上方②y=f(X1)、作出=十x)在y轴右边部分图象,以y轴为对称轴,方程的根与函数的零点点函数y=f(x的零点就是方程+(x的实数根,也就是函数yf(的图象与x轴交点的横坐标一元二次方程ax^+bx+c(a≠)的根就是一元二次函数ax^+bxca丰)的值为零的自变量X的值,不妨设a》则方=^-c<a^+bx+c=-b土N4a实根y=a2+bx+二次方程一般式:(x)ax^+bx+tc(a≠0)………解析式顶点式:f(x)=a(x-m^2+n(a≠两根式:f(x=a(x-x.1(x-X2)(a≠)函数模型译数学结果……………1如果当→0时,有极限,就说函数=十x在点X。处可导,并把这个极限叫做)在点。处的导数(或变化率记作+(X)或瞬时速度就是应移函数t)对时间七的导数。在开区间(a,b)内可导,这时对于区间(a,b)内每一个确定的值x,都对应着一个导数+(X),这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数,我们把这一新函数叫作f(x)在开区间a,上)内的导函数,导数值。211)+(x)=C(为常数),则f(x)=0(2)f(x)=x(neQ,则十(x)=nx-4)(x)=cosx则十(x)=inx………5)f(x)a,则+(x)=aIna(6)f(x)e.则十(x)=8)fx=In,则十(x)=文.导数运算法则……(1)If(x±9(x)]=+(x)±g(x)导数的加减法则.可推广到有)[((x)]'=f(x).9x)+f(x1.qx限多个的情况如果十(x)<0.则f(x)为减函数函数单调性的必要条件设函数y(x)在某个区间内可导,如果十在该区间递减(或递增)则在该区间内十X[或十》不0时,在这个区间上仍是单调递增(或递减)的.例如在(-00,+a)上,f(x)=x,当x=0时,十(x)=0.当X≠0时,十(1x770,而十(x)=22当x=0时,十x)=.当x≠时,十(X)>0.+(x)=在(-00,+(o)上,显函数极值的定义如果对Xo附近的所有点都有+(X)>+(x。)且(x。)>0.且在x=x的附近的左侧十(x)<0.右侧十(x)>0.则点X。叫函数的极小值点+(X)叫函数十的的极小值,极大值和极小值统称为函数的极值。3函数的最大值与最小值例如什(x)=x^x(一1,1)…………L题型解析]M⑪②定义域⑫b何意②参数基础知识十x的定义域为{xx≤一或x.0它们的定义域不同,所④)去掉绝对值号可知x与(x)是同一函数构成函数概念的三要素定义域、值域对应法则,只有三者求解函数定义域的依据有④对数函数的真数大于零,当对数函数或指数函数的底数中含有⑤零指数暴的底数不能为零①y=arcsinx中,1x≤).y=arccosx中,1x≤⑧若(x)是由有限个基本初等函数的四则运算合成的函数时则其定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集由依据⑧综上得定义域一)、1题型③求函数的值域)利用基本函数求值域法.观察法值域为lo,1]以上两例容易遗漏掉大于零而这正是考点所在。一眼望去,y=x12配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.形如下Fx=a叶(x^“+bfx注:用换元法时必须注意①“新元”的取值范围,即换元前后的等价性别式0因而求得原函数的值域.形如ya6xtca显然y(用判别式前必须讨论二次项系数,如果=得一≤y≤2又y≠.值域为当且反当1-,即x=时,取等号………①关于自变量X的一次根式,如y=ax+b+xc,若ad>0则用x^2x+2≥103对点评.max一般表示最大,min一般表示最小,故在同一坐标中作示最小。(9)导数法设y=十(x)的导数为十(x).由f(x)=0可求得极值点坐标,若函数定义域为Ia,6】.则最小值必定为极值点和区间点中函数值的最10分离常数法注意到分式的分子、分母的结构特征,分离出一个常数后,再通过观察或配方等其他方法易得到函数值域。∴一<平≤.故函数的值域为(-1,0]…直接代入法例:已知f(x)=2x-1,g(x)x+2.求十(g())EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(te*),ex)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up10(²),0)即:f(x)=2In2+4I+1(x>0注:实施换元后,应该注意,新变量的取值范围,即为函数的定义域3)配奏法定义法例:已知N+1)=x+2,求十x的解析式…解:十(十(区广+2区+1-1(N+1)^2…一徒定系数法r*有时题目给出函数特征,求函数的解析式……………例:已知二次函数十x)满足加)=0.x+=十(x+x+8,求fx)的解析式又f(x+1)=f(X)+2x+8=ax^(b+2+8消去法函数方程法/解方程组法例:已知(xl文)I父=1,求十(x解以文代入x得十)+f(x)Inx=1两式中消去十(文).便得f(=后写出用这文参数表示变量的式子(即参数方程), y=coty=sc-1注:本题也可以用配凑法17)赋值法对于抽象函数十(x如果满足条件中对一切实数成立,那么对于・y)-f(y)-X+2.求f(x)(8)根据某实际问题须建立一种函数关系式(注意定义域(层”函数的定义域题型⑦函数单调性的证明答案1x1X2-x>0恒成立f(x)在R上是减函数x,²-I<0X,X₂+I>0所以,当a<时.f(xrf(x2)<即+(X)<(X2)此时函数为真函数点评:本题也可以使用导数十x)的符号判断其单调性例3讨论f(x)=x+最(a>0)的单调性解:“定义域为(0,0)v(o,+0)十(x)=-X+一+(x)先讨论x)在(o+oo)上的单调性故f(x)在(0,a)上是减函数故+(X)在[N,(上是增函数f(x是奇函数∴在(-0.一,N00)上在Ia,0启示想到用定义域法只是解题的起点,还要有化简运算的毅力和信心,以及分类讨论的耐心和仔细。运算法则;当什x是指数式,积式时,可作商比较②论证十(x)<f(x2)或f(x11>f(x)③根据定义,得出结论如果f(x).则十(x为增函数;如果f(<o.则十(x)为减函数。例1.已知函数十x^ax^-3X.当1a≤车时,试判断f(x)(一1)=4(-14)<………又:函数十(x)图象的对称轴x=一)1..例2.(2010辽宁高考改编)已知函数十(x=(a+1)I+ax^2+1,试讨论函数九)的单调性当一1<a<o时令十(x)=0.解得X=小,则当xG1,故十(x在10,2上单调递增,在(0,+0)上单调①x)-)0二>(x)在[a,6】上是增函数x,-X<<二)(x在[a,b了上是减函数②X-2)I(1一-(x21]0<二>f(x)在Ib]上是增函数(4)若要证明x)在区间[a,】上不是单调函数只需举出反例即题型⑧函数单调性的判断(2)求导法详见题型中的()求导法………(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性4)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数一个增(减函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数(5)互为反函数的两个函数有相同的单调性(6)如果(x)在区间D口上是增(减)函数.那么十(x)在D的任一子区间上也是增减函数)复合函数同增异减详见本章知识第二讲;题见型⑧(2)夏合函数判定法题型⑨求函数的单调区间求导函数单调区间的一般步骤和方法…………③把函数十x)的间断点(即什x的无定义点)的横坐标点和上面的各实根按照由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函<>复合函数判定法复合函数的单调区间复合函数于=f工g(x的单调性规律为“同增异减即f批与于若具有相同的单调性则于gJ为增函数若两者单调性不同,则fx为减函数求复合函数单调性步骤为求复合函数的定义域<把复合函数分解为基本函数把中问变量的变化范围转化成自变量的变化苑围由复合函数单调性规律判断其单调性成单洞互例如对数函数的真数位量是制条件的当。<a<1时,为使函数y(x=10(ax^2)在闭区间[2、上是增函数,只需,g(x=ax^x在[2.47上是减函数且恒大于零上为增函数点评:本题主要考察复合函数的单调性、当内外函数的增减性一致另外,复合函数的单调区间一定是定义域的子区间,在解题中,要注意这一点。(3)图象法例:函数y=1x(1-X)在区间A上是增区间,那么区间A是∴区间A是Lo,÷]题型⑩.函数奇偶性的判定01)定义法①看函数十(x)的定义域.是否关于原点对称,若不对称,则该远数为非奇非偶即:若有+(-x)=一(x),(-x)+f(x)二0.(X)-f(-X)=2+(x若有十(一x)f(x).+(-x),-f(x)=0.十(x)+(一)f(x)fx)+(-x)=十(x.=1.则为偶39f(x)为偶函数二>+(x)的图象关于y轴对称f(x)为偶奇函数(x)的图象关于原点对称…4分段函数可依于判断应分段进行(5)抽象函数奇偶性的判断…………一般通过赋值法寻求十(x与十(-x)的关系例:已知函数十(x)的定义域为R.xyR,均有f(x+y)=f(x)+(y)试证明f(x)是奇函数证明:令x=y=0则十(0)=(o)++(o)∴(=令y=X得十(o)f(x)+f(-X),即f(x)+十(-x)=(6)若函数y=十(x)的定义域关于原点对称,则(x)+(x)为偶函②(xaa>0且a≠、为奇函数)③f(x=109为奇函数④十(x=1oga(X+NX^1)为奇函数注:不要求记忆,只要能用定义法推导出,加深映象即可例:判断下列函数的奇偶性(1)十(x=(x-1)文;分析本题主要考察对函数奇偶性定义的理解解:(1)由≥0,得定义域为I-1,1),不关于原点对称,故为非奇偶函数 f(x)为奇函数当>0时x<0.则十(-x)=(一X+(一x=-x(x)∴对任意x-00,v(0,00)都有九-)=(x故十为偶函数f(x)即是奇函数又是偶函数(5)函数十x)的定义域为R.当a时,批)的定为R,题型①函数奇偶性的应用②利用奇偶性求有关函数的解析式①函数奇偶性满足以下性质奇奇奇偶土偶二偶②奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性.偶函数在对称③奇函数的图象关于原点对称、偶函数的图象关于轴对称若十(-7)=-7,求f(7)得f(x)=9(-x)+5=-g(x)+5⑨①+②且换为7得(7)+f(一)=1(7)=17例2.已知函数y=(x≠)是奇函数,并且当xe(0,+(0)时是增函数、若(=0.求不等式fIX(x<o.的解集又f(x)是奇函数,政它在对称区间上的单调性相同且十(-1)一(1).f[x(X<f(一1).即x(-2)<一42解答本题易出现以下思维障碍不等手一般利用函数的单调性(2)无法得到另一个不等式,解决办法奇偶性与单运算用、即关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反,提到奇偶性,通常要分类讨论(3)错误得到不等式x(x-)<1,解决办法:注意函数定义域例了、已知定义域在R上的奇函数f(x和偶函数满足(x)+g(x)题型②奇偶数.对称性.周期性的区别与联系奇偶数:有奇偶数必有对称性,奇函数关于(0.0)对称,偶函数关于y轴对称对称性:x关于(a,b)对称<二>f(a-X)+f(a+x)=f(b-X)十(x)关于x=对称心>f(a+x)=f(b-x)周期性(x)的周期性厂=1a-b=>f(a+x)=fbx)若函数十至少有两条对称轴,则此函数必定是周期函①若有两条对称轴x=a.=b、则十x)是周期函数且21a-b2a-b是它的一个周期证:有对称中心(a,0)>f(a-x)+f(a+x)=0f2ax)+((x)=③若有一个对称中心(a,0)和一条对称函数且4a-b是它的周期或f(x+a或十+a)=一(a≠0是常数),则f(x)是以a为周期的周期函数奇偶数.对称性和周期性只要有任意2个性质,就必定会有45)y常y常其大小答案1)由函数y=的单调性得0.80.9一)因为1.71.0.93<1.1、730.93.所以由指数函数的单调性得40.9>()15>80.48中间量)题,由数的特点,知0.9是合适的中间量(2)题根据指数函数的性质是最合适的中间量;(3)题,可转化)指数函数的最值问题解析当a>1时,xa在L、]上递增,fx3=(2)=a^f(x=(1=a,所以a^2-a,所以a=;当o<a<1时若直线y二a与函数y=a-11(a>0a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是J解析画出函数y=a与函数y=a-1a>0且a≠的图象由图象知y=za=0①若ab0判断函数X)的单调性解:①当a>0.b>0时,任意X,X2ek.X<X,.则十(x)一十x)f(x)一十(x2)<o函数九x)在R上是增函数当a<0,b<0时,同里,函数九x)在R上是减函数0(2x+1)>=log1∴±<×<0·即定文域为(-±,0)…、u在(-1/2,心)内恒大于0,∴a<点评:已知复合函数单调性确定参数范围要牢记两复合函数的单调性,同增异减;其二是所给的单调区间是函数定义域区间的子区间,必须保证,原函数有意义。米对数不等式的解法(x)不等式求解对数函数的性质在比较对数值大小中的应用)比较同底数的两个对数值的大小,例如比较1og(x与og②若a<1,加>0.g(x)>0.则logt(x)>ogag(x<><f(x)<gx(2)比较两个同真数的对数值的大小,例如:比较10g主与ogbf(的大小,其中a>b>0且a≠),b①若a>b>1当(x)>1时1og。tx)>10gtx;当。<x<时个x0入入loy+I=0上，其中mn>0x+3)-1的图象恒过定又解(-x)=10x=1og-=-1oga=-(x)mA(21、+00B[2,+)3,+0[3,+00)焱=1x²>0由(0.7题型①.函向右平移3个单位长度再向上平移1个单位卡度平移变换解析y9=19(x+3)-一1将y=1g图象上的点向左平移3个解析式进行化简例2没有函数力)的定义域为I-5.5].若当xI0.5]时,的图象如图所示则不等式加的解集是解析奇函数的图象关于原点,对称画出E5,叮】时的图象即可例了.下列函数的图像中。经过平移或翻折后052解析:函数y=的图象与函数y=10g的图象关于直线y=X对称函数y=10g=-og的图象与yl0gx的图象关于x轴对称函数y=文+1x+/的图象向下平移1个单位长度就得到函数y=-109的图象,再沿x轴翻折就得到y=10g2x的图象答案X>0.其利用二次函数的的图w……例2(2010.山东)函xA3BBb口时有CD…己知lga+l9b=0.则函数f(x)=a与函数(x)=-1og的图象可能是()里℃P当b>1时(x单调递减(x)单调递减故选案:B法一:零点的存在性定理注①异号:(a).f()<o②连续不间断④a,】上连续⑥要判断零点个数必须将存在性定理与图像相结合法二直接解方程令f(x)二0直接解方程,如果解出结果即存在零点,求出法三.图像法构造函数利用函数图象的交点判断函数零点的存在大于B.小于。C.等于D.无法判断解析:根据连续零点的性质,若f(一1).+(则x)在(-1.1)上一、)内有根不一定有十一十()<故选口中×零点的存在性定理反之未成立内有零点时却不一定总有f(一(<例2判断x)^2-3x-18在(1,8)上是否存在零点又f(x)在工,8】上连续(在I1.8】上存在零点法=(解方程法)令赵二0得X=-3或x=6X精例:求方程Ix+2x-0在I2.3]内就能取近似解(确到0.01)答案:今xxIn+x-.取初始区间为[2.3](2)=In2+4-6=In2-<.(3)=In3>0.将各区间中点及中点的函数值列表如下区间中点值xn中点Xn的函数值十(x2.62S2.62S+0.7S)>0十02.5625)>0f01.s3125)<0f(2,535/s625)>0方程Inx+2x-0的近似解为2.54求解即可、我们可以借助于表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的过程,而运算终止的时期侯就是区间长度小于精确度(的时候。二分法不会考的太难,只要理解二分法的原理(零点的存在性定理).并能模仿上述例题写出解答过程即可确定初始区间(a,b)④计算,判断符号(正负)确定下一区间⑤重复第四步骤,直到区间的两个端点精确值一样题型二次方程根的存在性与分布情况研究(1)有两个不相等的实数根<二>0(3)有两个相等的实数根<二>又=↓十00)<=>,M112)X<M,X₂t>n=△>0m,<n<m2<hfn₂)70fm₂)<0nM-M案按照实际,经过市场调查和测算,①保健品的年销量x万件与年促销费切元之反间满足:3-与t+2成比例。②如果不搞促销活动,保健品的年销量只能是1万件.③已知2011年生为产该保健品的固定费用为5万元,每生产万件保健品需要再投入40万元的生产费用④若将每件保年生产的保健品正好能销完费用!如何读题,划去用信息!提炼有用信息。①保健品的年销量万件,年促销七万元.3-x与t+成反比例④每件售价=生产成本150%+每件促销费x8%解析(1)因为年销量X万件与年促销七万元之间满足了-x与七+2成反①设2011年的年销售量为x万件,则生产成本为y5+40x,促销费用为七、销售收入为y2=150%y+8t.所以2011年的利润y=y-y、将①代入上式,得y=1/2x[5+40x(--5t(t≥007一所以了7.6=54.9.所以当年促销费用七二18万元时年利润y取得最大值549万元→还原实际结果解应用题三大注意①不是畏难,勇敢读题,要仔细②注意定义域③注意最后要答归纳起来有三种形式:(1)定轴定区间2)轴定区间动(3)轴动区间定一般来说,讨论二次函数在区间上的最值、主要)轴定区间定例:求(x)=x^-x+2的最值(x5.5】)(2)轴定区间动(2)当+>一时,h(t)=f(七)=t3t-5例:已知函数f=x-5.xtt]若f最小值为h七写出h七表越式?若十(x)1-acosx-^X的最小值为(a当<一1,而a<-2时,(x)在(osx-1时取得最小值.即g(a)=1;当-<<,即-2<a≤2时,力X)在cosx=时取得最小值即g(a=1-4aa1,显然不合题意,故只有一-a-11/2,即a-(舍去)或a=-1,所以当g(时a一1,此时f(x)=2(cosx+1)12因此,当cosX=1时,(xmax的隐含范围…解题否则可能导致漏解解得X,1或一1切线方程为y一(-213-2)(X-1)或了(-+(即:X-y-0或5x+9-1=……………解:易知k二4、设切点为(X,则k=。”由。4得X。=、切线方程为y-(-1即4x-y-=例设P为曲线Cy=2+2x+3上的点,且曲线(在点P处切线…题型④导数的应用求fx)求可导函数十x单调区间的步骤》③确认结论代口的解至为单调增区间:<的解为③作出结论:f(x)>0为增函数;(x)<为减函数己知函数单调性求参数的取值范围f(x)在(a,b)上递增(减)<二J十()①令十(划70(或x<)恒成立,求出参数的取值范围)求函数的极值①确定函数的定义域③用方程于(x二0的根和不可导点的X的值顺次将函数定义域分成④判断不同区间内十心的符号,进而确定极值求函数的最值②将(x)的各极值与f(a),()比较,确定(x)的最值注:定义在开区间上的可导函数,如果只有一个极值点,则该极值②求x)的最值最大值(小值问题，要意实际意义，不符合实际问题例已知函数十(x=(aX-1)e,aeR1)当a=1时,求函数(x的极值………令十(x)=0,则x=0.1当入变化时,.的变化情况如下表又e0所以只要X+a-1710对x(0、1)恒成立解法一:设(x)=ax+a-1,则要使ax+a->0对x10,9恒成立只要Jg(0)÷0成立即a-1≥0解得:a≥解法二:要使ax+a-17.0.对X(0.1)恒成立,69、>a>,文4对x(10.1)恒成立函数g(x=在(0.1)上单调递减例了某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3a≤5)的管理费.预计当每件产品的售件(1)求分公司一年的利润(万元)与每件产品的售价x的函数关案山分公司一年的利润万元)与售价x关系式为上=(x-32CX)二2X)-2(x-3-a)(12-x)=112-x)(48①当8≤6+即3≤a<时,有Lmax=(9)=(9--a答:若了<,则每件售价为9元时分公司一年的利润L最(6+2)元时,分公司一年的利润L最大最大值为Q(a)=4(3-a万元)已知函数(x)In91x)ax^2+a≠)、设函数fx的切线与C在N处的切线平行?若存在,求R的横坐标,若不存在,请说明理由服的勇气可以将“读题之难“改变攻破、从技术上层面讲,去掉无关信息,整理有用信息;运用图象清晰题意,可以助我们读yCMCQ0N将题意理解为明确后,应该更有解题信息更有信心、别以为这在解题的时候分神焦虑,即焦虑难目太难,又焦虑题意太乱生怕会读漏条件,从而无心专注解题,这是大忘。wn①这是“所求需求”的过程②+③得到X+x③处理①②③由②+③得到:InX1.X2a(^2+X2)+b(x,+X)=12a(x+七axX2发现②一③得:In文=1a(x、+X2)(X.-X2)+b(X-2)…t结合①式得:In若=x8(X,-X21①②③是否同时存在I若xx-X能否成立Inx是个双变量的方程式、双变量问题一般有两个思路分子、分母可同时除以x2.得I交题型8我们对(x)作一些准备性的研究,如求求导数神马的猛然发现F(x)<F<即下(x=InX-x<o对(0.1)恒成立不要为解出题兴奋过头Cadown.理一下思路.以最优美的字体由题意x2=a.t2+b①m…②③得:Ina(x+十七2+b](x-x2)(米)不断重复思想过程是关键,这是螺旋上升的过程培养“所求需求”,需要你仔细分析,尤其是对题型(基础的要熟知能嗅出它的考点捣鼓,发明更多可能;灵感则不可强求,但你必须为它的出现创造良好的环境:那需要缜密的分析和推理。我似乎说的很虚,所以你需要在做题过程中体会这些词的含义 被框在数学里太久,我们需要跳出数学,站在一个高度上审视数学题。第四章三角函数[基础知识]1.定义:一条射线OA由原来的位置,绕着它的端点口按着一定方向旋转到另一位置B,就形成了角x角分为正角,零角.负角、象限角…3.终边相同的角一般地,所有与x角终边相同的角终边相同X角在内(而且只有这样的角)可以表示为k.36+X,GZ、特殊角的集合2)终边在X轴非正半轴上的角的集合表示为x=(2k+1)π,kCZ了)终边在x轴上的角的集合表示为x1x=k入,keZ(4)终边在y轴非负半轴上的角的集合表示为x|x=2kx十会,kZ弧度制、1弧度的=(完…I十I十…PMPMbA图中P、0m.AT分别表示正弦线余弦线和正切线向线段,字母顺序不能随意调换当角X的终边与x轴重合时,正二倒数关系倒数关系cotx==tanx(商数关系)五.诱导公式(自填兀十区正弦正切+言-x正弦口诀“奇变偶不变符号看象限”意思是说kZ的三角函数“当为奇数时,正弦变余弦余弦变正弦”;“当k为偶数时,然函数名不变.然后X的三角函数值前面加上当把又看作锐角时原弦数值的符号”R不兀石角度xDDR不兀石角度xDD兀远2π不存在0不存在0函数y=sm图象个氢π定义域kR1xRX叛型值域-1.1]R兀奇偶性奇函数偶山数奇函数[K不一,z2十单调性增;[zk,减为增水X+大了为减[X-7,2k大1增对称中心对称轴x=k十无③y=Atan(Wx+41)(A>0.w>0)的周期为仁否,而不是琵七五点作图法作y=Asm(wx+4)(A>00)的图像1五点的取法是设=x+4,由取。空、几,言.2来求出相应距必相等,为年.于是五点横坐标依次为x,X+八变换作图法作y=Asinwx+9p)(>,w>0)的图像(2)相位变换y=AsnX→y=Asm(+(3)周期变换y=simx+4)→y=sin(wx+4)将y=ASn(x+4)图时不是141个单位,而是11个单位,即y=si(wxy=sm(wx+中另外,由y=s+合)到y=smx+)的图象,不能由一次变换九.y=Atancwx+4)(A>0.w>0)的性质(5)对称性:由wx+4,k区得正切曲线关于点(筑一,0)对称十两角和与差的三角函数公式Cos(β)=coscos干smxsmpan()tantatan其变形为:tan+tan户=an+1-tantanantanβ=tan-)+tantantantanp=tan-=-and+十一.倍角公式Sm2α二25mXwsαCos22c-=2-1=1-20o=Ht(otanx=/sind=oEQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up8(s),x)I+Osx=2Cs_-asx=2次2十二.几个重要结论(3)asimx+bR③snABSmC③snA④asimBbsmA=NP(P-a)(P-6)(P-c)=9=Rr(smA+sB+smc1a,2-2b.1三角形内诱导公式5)在△ABC中,taA+tanB+tanCtanAtanta(6)△ABC中,ABC成等差数列的充要条件是B=例:1)如果x为第一象限角,试间是第几象限角(2)如果为第二象限角,试问:一X,π-2,十分别是第几象限角?分析:本题主要考查家限角的应用,若凡已知α为某一象限角,求或等)所在的象限可以先写出又的表达式,然后再写出合(或等)的表达式.但这时一般不能直接看出它们的范围,往往需要对相应的k进行讨论,使之符合终边相同的集合的形式,然后再进行判断,另外也可以利用角的终边之间的对称关系进行判断。解:(1)因为X为第一象限角,所以kπ<<k十+(ke区)因此RRπ十年(ke2)当k为偶数时,在第一象限;当k为奇数时,入()因为是第二象限角,所以2kx十会<<kx十区)①-2出一下<-2<-2k下一(k2).因为K是整数,所以一x是第44……际问题确定时，其实定义域不仅要使解析式有意义，0<sMx<I.<Smx<Itand+o≠入(4)要使原函数有意义,必须有2mx-10,即Smx作出单位圆5要使原函数有意义必须有。(cosx200作出函数yasX的图一≤≤象,由图可知,原函数的定义域为工2】……44元房例:形如y=atanx+bcotx,设t二tan,则yt,用判别式法求最值注