2024北京贸大附中高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京贸大附中高二（下）期中数学（满分150分，考试时间120分钟.）班级_____________姓名____________一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.2.盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）A. B. C. D.3.若奇函数在上是减函数，且最小值是，则它在上是（）.A.增函数且最小值是 B.增函数且最大值是C.减函数且最大值是 D.减函数且最小值是4.若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有A.20个 B.48个 C.52个 D.120个5.在的展开式中，的系数为（）．A. B.5 C. D.106.函数的定义域为()A.[1,10] B.[1,2)∪(2,10]C.(1,10] D.(1,2)∪(2,10]7.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）A. B.C. D.8.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.若函数在区间内为增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知函数，，，函数，若方程有四个不同的解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在的展开式中，其常数项为__________．12.袋中有大小相同、质量相等的3个白球和2个黑球，若每次抽取1个球，有放回地连续抽取3次，则恰有1次取到黑球的概率为________；取到黑球的个数的数学期望是_______.13.已知随机变量服从正态分布，且，则__________．14.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是____15.已知函数，关于的性质，有以下四个推断：①的定义域是；②的值域是；③是奇函数；④是区间上的增函数.其中判断正确的选项是__________.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.设为全集，集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.17.已知函数（其中常数），，是函数的一个极值点.（1）求的解析式；（2）求在上的最值.18.某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．（2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．19.某区为检测各校学生的体质健康状况，依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试，参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库（简称“CIMS系统”）中随机选取.本次测试要求每校派出30人，其中男女学生各15人，参加八个项目的测试.八项测试的平均分为该学生的综合成绩，满分为100分.测试按照分数给学生综合成绩定等级，分数在内为“优秀”，为“良好”，为“及格”，为“不及格”，下表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据：男生989292919090888787858279776757女生979996939291908785818077767648（1）分别求出该学校男､女生综合成绩的优秀率；（2）从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控，若表示抽取3人中的女生人数，求的分布列及其数学期望；（3）在（2）的条件下，当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时，请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩.20.已知函数，．（1）若曲线在点处的切线平行于直线，求该切线方程；（2）若，求证：当时，；（3）若恰有两个零点，求a的值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.【答案】C【分析】求得函数的导数，得到，得出切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数，则，所以，即曲线在的切线的斜率，所以曲线在的切线方程为，即，故选C．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2.【答案】C【详解】试题分析：在第一次取出新球的条件下，盒子中还有9个球，这9个球中有5个新球和4个旧球，故第二次也取到新球的概率为考点：古典概型概率3.【答案】C【分析】根据奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性的关系以及最值的关系得出正确结论.【详解】奇函数在上是减函数，且最小值是，则函数在上是减函数且最大值是.故选C.【点睛】本题考查函数单调性、最值与奇偶性之间的关系，考查推理能力，属于基础题.4.【答案】C【分析】由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目；②若0不在个位，要排除0在首位的可能，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①若0在个位，此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A52=20个没有重复数字的三位偶数；②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数，综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数．故选C．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．5.【答案】C【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．6.【答案】D【分析】由根式内部的代数式大于等于，分式的分母不等于，对数式的真数大于，联立不等式组即可得到答案【详解】要使函数有意义，则需满足即且所以不等式组的解集为故选【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，根据题意找出限制条件，如根号内要大于或者等于零，然后解不等式，属于基础题．7.【答案】D【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．8.【答案】B【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．【详解】∵等价于，当或时，不成立；∴充分性不成立；又∵等价于，有；∴必要性成立；∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．9.【答案】D【分析】求出导函数，由题意可得对任意上恒成立，分离参数后，利用函数单调性求出的范围，从而得到答案.【详解】由，得，因为函数在区间内为增函数，所以对任意恒成立，即在上恒成立，令，所以在上单调递减，所以，则，所以实数的取值范围是.故选：D10.【答案】C【分析】作出函数图像，求出切线斜率，根据交点个数求出的范围.【详解】作出的函数图像如图所示：设直线与曲线相切，，切点为，则有，解得，因为方程有四个不同的解，所以直线与有个交点，与有两个交点，所以，排除D，设与交点为，显然在第一象限，即，所以，排除A、B，所以C正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合题意画出函数图像，确定直线与曲线相切时切线的斜率，利用数形结合法确定斜率的取值范围即可.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】15【分析】先由二项式定理得出展开式的通项，进而得出常数项.【详解】的展开式的通项公式为．令，解得．故的展开式中的常数项．故答案为：15．12.【答案】①.②.【分析】根据题意分析可知：抽样为有放回抽样，每次抽到黑球的概率均相等，就算每次抽到黑球的概率，用次独立重复试验恰有次发生的概率公式计算概率即可；取到黑球的个数服从二项分布，利用二项分布求期望公式即可计算.【详解】根据意义，每次抽到黑球的概率均为，则连续抽取次，恰有次抽到黑球的概率为，由题意可得，取到黑球个数，所以的数学期望是：.故答案为：；13.【答案】0.3##【分析】随机变量服从正态分布，且，利用正态分布的性质即可求解．【详解】随机变量ξ服从正态分布，且，

，故答案为：0.3．14.【答案】【分析】由题意可得即有两个不等的实数解，令，求出导数和单调区间、极值、最值，画出图象，通过图象即可得到结论.【详解】函数恰有两个零点等价于即有两个不等的实数解，令，，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，，在处取极大值，极大值为，且极大值也为的最大值；当时，，当时，，画出的图象如下：由图可得当时，与有两个交点，即方程有两个实数根，函数有两个零点；故答案为：15.【答案】①②③【分析】根据的表达式求出其定义域，判断①正确；根据基本不等式的性质求出的值域，判断②正确；根据奇偶性的定义，判断③正确；根据函数的单调性，判断④错误.【详解】①因为，所以的定义域是，故①正确；②当时，，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，所以，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，所以，综上，的值域是，故②正确；③因为的定义域是，，所以是奇函数，故③正确；④由，令，解得，令，解得或，所以函数是区间上先增后减，故④错误；故答案为：①②③三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；（2）由已知结合集合的包含关系对集合是否为空集进行分类讨论即可求解.【小问1详解】（1）由题意可得，当时，，所以，因为，所以【小问2详解】由(1)知，，若，即，解得，此时满足；若，要使，则，解得，综上，若，所求实数的取值范围为17.【答案】（1）（2）最大值为5，最小值为【分析】（1）求出，由题意得，结合得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求得的解析式；（2）利用导数求出函数在上的单调性，即可求出在上的最值.【小问1详解】因为，则，则根据题意有：①，②，联立①②有：，解得：，所以.经验证，满足题设.【小问2详解】因为，所以，，即，解得，；所以当时，不在定义域内，所以有：单调递减单调递增由上表可知，在上的最大值为，最小值为.18.【答案】（1）；（2）选择方案一更划算．【分析】（1）由题意，根据独立事件概率求法，求享受到6折优惠的概率，结合二项分布求小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率；（2）由题设知：方案一，付款金额可能取值为360，480，600，进而求各种可能取值的概率，并写出分布列，进而求期望；根据二项分布求方案二的期望，比较期望的大小，进而选择方案.【详解】（1）由题意，设顾客享受到6折优惠为事件，则．∴小方、小红两人其中有一人享受6折优惠的概率为．（2）若小勇选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为360，480，600．则，，．故的分布列为360480600∴（元）．若小勇选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则．由已知，可得，故，∴（元）．由上知：，故小勇选择方案一更划算．【点睛】关键点点睛：（1）应用独立事件、二项分布求概率；（2）由可能情况求分布列，并计算期望，应用二项分布求期望，比较期望的大小判断哪种方案划算.19.【答案】（1）男生综合成绩的优秀率为，女生综合成绩的优秀率为；（2）分布列见解析；；（3）88，87，80．【分析】（1）由表求出男生与成绩优秀的人数，分别除以15得答案；（2）表中成绩良好的男生5人，女生4人，共9人，从中随机抽取3人，女生人数为0，1，2，3．分别求得概率，可得分布列及期望；（3）直接写出3名学生的综合成绩为：88，87，80．【小问1详解】由表可知，男生成绩优秀的人数为6人，女生成绩优秀的人数为7人，则该学校男