高中数学分层练习（中档题）13：概率（20题）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page44页，共=sectionpages44页概率一、单选题1．将3个1和2个0随机排成一个五位数，则2个0不相邻的概率为（

）A． B． C． D．2．已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立3．从集合中任取三个数，取出的三个数之和是3的倍数的概率为（

）A． B． C． D．4．一枚质地不均匀的正四面体骰子，各面分别标有1，2，3，4，掷出点数朝下为1，2，3，4点的概率依次成等差数列，独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为，若事件“”发生的概率为则事件“”发生的概率为（

）A． B． C． D．5．甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为（

）A． B． C． D．6．为了加快生产进度，公司决定使用某种检测机器对加工零件的等级（分为一等品和二等品）进行初筛和复查，已知该机器初筛的过程中零件被标记为一等品的概率为，被标记为二等品的概率为，被标记为一等品的零件有的概率为二等品，被标记为二等品的零件中也有的概率为一等品.在初筛的过程中，已知一个零件是二等品，则它被正确标记的概率为（

）A． B． C． D．7．离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．8．公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出.现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（

）A． B． C． D．9．下列说法正确的个数是（）．①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为②若随机变量，则方差③若随机变量，，则④已如随机变量X的分布列为，则A．1 B．2 C．3 D．410．某超市在春节期间举行抽奖活动，在箱子里装有个写有“秋绥”的小球和5个写有“冬禧”的小球，这些小球除文字外完全相同.顾客从中一次性抽取两个小球，恰好抽出“秋绥”和“冬禧”视为中奖，其余情况均未中奖.设在连续3次抽奖中（每次抽完后将小球放回箱子再进行下一次抽奖）恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为（

）A．15 B．20 C．25 D．30二、多选题11．连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，，记，则下列说法错误的是（

）A．事件“”的概率为B．事件“是奇数”的概率为C．事件“”与“”互为对立事件D．事件“是奇数”与“”互为互斥事件12．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（

）A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件C． D．13．若事件互斥，事件中的事件满足，则（

）A．事件独立B．事件独立C．若事件对立，则事件独立D．若事件不对立，则事件不独立14．现从甲、乙两名射击运动员中选择一人参加大型选拔赛，各进行了10次射击，射击成绩（单位：环）如下表所示：次数12345678910甲77898910999乙89781071010710依据该次选拔赛成绩，下列说法中正确的是（

）A．甲的平均成绩高于乙的平均成绩B．预计对手平均成绩较差，稳定发挥水平就能获得冠军，则选择乙参加比赛C．预计对手平均成绩9.2环，则选择乙参加比赛D．预计对手平均成绩8.8环，则选择甲参加比赛15．已知某工人需至少使用甲，乙两种仪器中的一种对某产品进行质量检测，记事件“该工人在检测过程中使用过甲仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过乙仪器”，事件“该工人在检测过程中使用过甲，乙两种仪器”，事件“该工人在检测过程中仅使用过甲，乙两种仪器中的一种”，已知，则（

）A．与相互独立 B．与互为对立C． D．三、填空题16．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为．17．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为，m小于100的概率为.18．据教育部网站最新消息，教育部办公厅，财政部将启动2024年“三区”人才支持计划教师专项计划，根据《通知》，2024—2025学年全国计划选派15952名教师到各脱贫地区进行支教工作.现有甲、乙、丙、丁四位教师报名参加三个地区的支教工作，每人只能参加一个地区，每个地区至少有一人报名，且甲、乙两人不能报同一地区，则甲和乙恰好有一人报地区的概率为.19．甲、乙进行发球比赛，他们实力相当，每次发球命中3分或者命中2分或者未命中，三种情况的概率均为．规则如下：甲、乙轮流发球，一方发完球后交给另一方发球，此时叫做一轮发球，现在甲先发球，乙后发球，经过2轮发球后，甲得分比乙得分高的概率为．20．从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的倍．关注公众号《品数学》，获取更多实用性资料！答案第=page1414页，共=sectionpages1010页《概率》参考答案题号12345678910答案CBBADBDCCB题号1112131415答案ACBCACDCDBCD1．C【分析】通过插空法确定基本事件个数，再由古典概型概率公式求解即可；【解析】将3个1和2个0随机排成一行，可利用插空法.首先万位必须是1，则余下的2个1产生3个空，若2个0相邻，则有3种排法；若2个0不相邻，则有种排法.故2个0不相邻的概率为，故选：C.2．B【分析】根据要写条件，利用互斥事件、对立事件和相互独立的定义，逐一判断选项即可.【解析】对于A，事件和事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不互斥，A错误；对于B，，，，事件与事件相互独立，B正确；对于C，事件与事件可以同时发生，即抽取丁袋，事件与事件不对立，C错误；对于D，，，，事件与事件不独立，D错误.故选：B3．B【分析】分析和为3的可能性情况，结合组合数运算求解即可.【解析】设集合，，，任取三个数的和为3的倍数，分为两类情形，一类是从集合或取三个数，一类是从三个集合各取一个数，所以概率是故选：B.4．A【分析】根据题意设出所得各点数的概率，由独立性事件同时发生的概率公式、互斥事件的和事件的概率公式求解.【解析】设掷出点数朝下为1，2，3，4点的概率依次为，则，又事件“”为所得点数是，其发生的概率为，即，代入，可解的，，事件“”即为所得点数是，其概率为.故选：A5．D【分析】利用对立事件及相互独立事件的概率公式求出两人有资格挑战第二关的概率，再利用条件概率公式计算得解.【解析】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为，两人有资格挑战第二关的事件为，则，，，所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率.故选：D6．B【分析】先分别设事件先应用对立事件求概率，再应用全概率和条件概率计算即可.【解析】设事件表示“零件为一等品”，事件表示“零件为二等品”，事件表示“零件被标记为一等品”，事件表示“零件被标记为二等品”，则，故，故选:B.7．D【分析】根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误.【解析】由题设，则，A对；由，则，联立，所以，则，D错；，B对；，C对.故选：D8．C【分析】根据条件，利用排列、组合及古典概率公式，求出，，再利用条件概率公式，即可求解.【解析】由题知，，所以，故选：C.9．C【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④.【解析】设至少有一名女生为事件，则，则，①错误；因为随机变量，所以，，②正确；根据正态分布的性质，，所以，，③正确；，得，可得，解得，所以，④正确；综上，正确命题的个数为3.故选：C.10．B【分析】根据给定条件，求出单次中奖概率，再求出连续3次中奖1次的概率，构造函数并利用导数求解.【解析】依题意，单次抽奖中奖的概率，则连续3次抽奖中恰好中奖一次的概率，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，因此当取最大值时，，而，解得，所以当取到最大值时的值为.故选：B11．AC【分析】利用列举法和古典概型概率公式可得A错误，B正确，再由互斥事件、对立事件的概念可知C错误，D正确.【解析】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有：，，，，，，共36种；对于A，事件“”所包含的基本事件为，，，，，，，，共8个，所以事件“”的概率为，即A错误；对于B，事件“是奇数”的共有18个，因此事件“是奇数”的概率为，可得B正确；对于C，易知的所有取值为，当时，可知事件“”与“”可以同时发生，因此C错误；对于D，若，则，此时是偶数，因此“是奇数”与“”不可能同时发生，互为互斥事件，可得D正确.故选：AC12．BC【分析】由对立事件、和事件及独立事件的概念逐个判断即可；【解析】因为表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，故A错误；事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件，则事件A和事件C是对立事件，故B正确；又因为，所以，故C正确；，故D错误．故选：BC13．ACD【分析】应用对立事件及独立事件概率乘积公式计算判断各个选项即可.【解析】由，所以，所以独立，A选项正确；事件互斥，不能判断事件是否独立，B选项错误；由条件可得，当事件对立时，，所以事件独立，C选项正确；当事件不对立时，，所以，，所以事件不独立，D选项正确；.故选：ACD.14．CD【分析】选项A根据平均数比较可得；选项B根据方差比较可得；选项C根据射击一次大于环的概率比较可得；选项D根据射击一次大于环的概率比较可得.【解析】选择A：甲的平均数为：，乙的平均数为：，故A错误；选择B：甲的方差为：，乙的方差为：，因，故B错误；选择C：甲射击一次大于环的概率为，乙射击一次大于环的概率为，故C正确；选择D：甲射击一次大于环的概率为，乙射击一次大于环的概率为，故D正确，故选：CD15．BCD【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质、对立事件、相互独立事件及条件概率逐项分析判断.【解析】对于A，依题意，，则，A错误；对于B，，，，，则，互为对立，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD16．【分析】由计数原理确定总的分配方法，再确定小明恰好分配到甲村小学的分配方法，由古典概型概率公式即可求解；【解析】依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有（种）分配方法，若小明恰好分配到甲村小学，有（种）分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为．故答案为：17．47【分析】根据给定条件，结合差的绝对值的对称性，逐一分析各个数位上的数字即可求出最小值；分两步探讨，结合古典概率列式计算得解.【解析】由中的对称性，不妨令，要最小，百位必相邻，的百位为4，的百位为3；对于十位，的十位尽可能的大，为6，的十位尽可能的小，为1；同理的个为5，的个位为2，因此，所以m的最小值为47；要m小于100，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步：取百位的概率为；取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位，而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率为，所以m小于100的概率为.故答案为：；【点睛】关键点点睛：按两步分析，分别求出各步发生的概率求得第二空.18．【分析】利用分组分配求得总的总的情况数，以及分类加法原理求得符合题意的情况数，根据古典概型的概率计算，可得答案.【解析】依题意，甲，乙，丙，丁四位教师报名三个地区所有的方法数共有种，甲、乙两人报同一地区的方法数共有，甲、乙两人不能报同一地区的方法数共有，甲和乙恰好有一人报地区有如下情况：①地区只有1人报名，则有种情况；②地区有2人报名，则有种情况，所以共有20种情况，所以.故答案为：.19．【分析】分乙得五种情况讨论，再结合独立事件的概率公式即可得解.【解析】两轮发球后，甲、乙可能的得分有0，2，3，4，5，6，甲得分比乙得分高的情况有如下可能，乙得分甲得分概率02，3，4，5，623，4，5，634，5，645，656总和所以甲得分比乙