新高考数学二轮复习 专题03 空间几何 解答题 巩固练习四（教师版）

空间几何解答题巩固练习四1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径.(1)求证：平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：连接，，则，且，，连接，，由圆柱的性质可得，所以四边形是平行四边形，，所以为中点，所以易知，平面，平面，所以平面；（2）设，则，，当且仅当时取等，如图所示，建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，所以，令，，所以，取平面的法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值，所以平面与平面夹角的余弦值为.2（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.【答案】(1)证明见解析；(2)最小值为，点为靠近的的四等分点【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，又底面，所以，，又因为，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，，，，，设，所以，，因为，所以，即.（2）设平面的法向量为，因为，，所以，令，则，平面的一个法向量为，设平面与平面DEF所成的二面角为，则，当时，取最小值为，此时取得最大值，所以，所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点.3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.

(1)证明：平面平面；(2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）由可知，又，故（三线合一），又平面，平面，故，又，平面，故平面，又平面，故平面平面（2）

在平面中，过作，垂足为，不妨设，由于，则，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，设，则，，，.设平面的法向量，由，即，则是其中一条法向量；设平面的法向量，由，即，则是其中一条法向量.设平面与平面夹角为，则，当时，取到最大值，此时正弦值取到最小值为.4.（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．

(1)求证：平面平面；(2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)1【解析】（1）如图，设交于点，连接，由已知可得，又，所以四边形为菱形，所以，∵，，，∴，∴，∴，又，所以，因为为的中点，∴，．由余弦定理可得，∴，所以，即，又平面，，∴平面．又平面，∴平面平面．

（2）由已知平面，平面，所以，又，，平面，∴平面，又平面，∴．由（1）知，，平面，所以平面，∴，又点为的中点，所以．以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，，，设，则，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以为平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，则，构建，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，∴时，取到最大值4．此时，取到最大值1.另解：由，知，当时，，此时平面，设直线与平面所成的角为，因为，当时，取到最大值1．5．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，．(1)证明：；(2)点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)0【解析】（1）证明：在中，设，因为，由余弦定理可知：，解得，所以，所以．又因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．由平面，所以.（2）连交于点M，连接，，设交于点H．在中，过P作的平行线交的延长线于N，由，有，则，所以点H为线段中点．在中，因为直线平面，平面平面，所以直线直线，且直线过点H，所以点E为线段中点．以点A为坐标原点，分别为轴，轴，过点A垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直