新高考数学二轮复习 专题03 空间几何 解答题 巩固练习一（教师版）

空间几何解答题巩固练习一1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥中，，，，，与交于点，过点作平行于平面的平面.

(1)若平面分别交，于点，，求的周长；(2)当时，求平面与平面夹角的正弦值.【答案】(1)4；(2).【解析】（1）由题意可知，四边形是直角梯形，∴与相似，又，∴，，因为过点作平行于平面的面分别交，于点，，即平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理得，，，所以与相似，相似比为，即，因为的周长为6，所以的周长为.

（2）∵平面平面，∴平面与平面的夹角与平面与平面的夹角相等，∵，，，∴，∴，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面，取的中点，因为为等边三角形，∴，平面平面，平面，∴平面，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，设平面的法向量，则，即，取，则，∵平面，∴是平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为.2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

(1)求证：平面平面；(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）易知，，，平面，平面，又平面，所以由直角梯形，，，，可得，又，得；又，平面，所以平面又平面，可得平面平面（2）取的中点，连接，，

，，又平面平面，平面平面，平面，为的中点，为的中点，可得，又，故以所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，设，则设平面的一个法向量为，，，所以，令，得，，即平面的一个法向量为可得，解得或(舍)即为的中点，易知，故线段的长为.3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点．

(1)若点N为的中点，求证：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【解析】（1）证明：连接，，因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点O，连接，因为侧面为菱形，且，所以在中，，解得，所以'，即，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，过O作的垂线，交于H并延长，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，故，，，，，则，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，可得，设平面的法向量为，，即，令，则，所以，则，故平面与平面夹角的余弦值为．

4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，为圆柱的母线(2)【解析】（1）存在，当为圆柱的母线时，．证明如下：连接BC，AC，，因为为圆柱的母线，所以平面ABC，又因为平面ABC，所以．因为AB为圆O的直径，所以．又，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）以为原点，OA，分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，因为劣弧的长为，所以，，则，．设平面的法向量，则，令，解得，，所以．因为x轴垂直平面，所以平面的一个法向量．所以，又二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．5．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.

(1)证明：垂直于底面.(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）因为侧面底面，侧面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故;同理侧面底面，侧面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故，又底面，故垂直于底面（2）由（1）知底面，底面，故，点F是PB的中点，且，故，；又平面，,故平面，平面，故，而平面，故平面，故即为二面角的平面角，即；而,以A为坐标原