2023-2024学年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年湖南省张家界市高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数：,I，,贝对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知向量TT（l.m）,向量知1\3I>若”『，则加等于（）

A.V3B.v'3C.D.一少

33

3.某学校有高中学生3000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1050,1000,为调查

学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取个容量为300的样本，那么应

抽取高一年级学生的人数为（）

A.195B.105C.100D.95

4.已知边长为2的正方形ABCD中，E为4D中点，连接3E,则7"：I,\।i

A.2B.1C.1D.2

5.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为，

|212

A.-B.-C.-D.二

33I9

6.对于两个平面，t,，和两条直线〃?，n,下列命题中真命题是（）

A.若…“，”I.〃，则,-B.若…r「，则，”J

C.若">',“则”，'D.若…n!।,H.t',则r”.〃

7.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号I如图1，是中

国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器W22年5月，“极目一号”山型浮空艇成功完成10次升

空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录,

彰显了中国的实力.“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一

个圆台的组合体，正视图如图2所示，则极目一号体积约为（）

（参考数据：9.51490，9.53=857，3l5x1005^316600）

114—----------31.5

图1图2

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A.*MM>Im*B.C..sOllrii1D.

8.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、

大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰

球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设

事件1“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件〃“甲乙两人所选课程完全不同”，事件「“甲

乙两人均未选择陆地冰壶课程”，贝1()

A./与3为对立事件B./与C互斥C.N与C相互独立D.8与C相互独立

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示I同一组中的数据用该组区间的

中点值作代表).分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，贝IJ()

A................BX=120

C.70分以下的人数约为6人D.本次考试的平均分约为

10.如图所示，为了测量/,3两岛的距离，小明在D处观测，A,8分别在。处的北

偏西15,北偏东45,方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测3在C处的正北

方向，/在C处的北偏西，方向，则下列结论正确的是()

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A.ZC.ID-15B.A,。之间的距离为海里

C.B,。之间的距离为Ri、x海里D.A,2两岛间的距离为［5\（，海里

11.正三棱柱1,',7'1的各棱长均相等，。是:心的中点，M,N是线段"〃，1―上的动点「含端

点），且:「.V,当〃，N运动时，下列结论正确的是（）

A.平面/"/.V」平面

B.三棱锥I"VV的体积为定值

C."V.V可能为直角三角形

D.平面。与平面A8C所成的锐二面角的范围是I"'

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在9,10,11,13,15,16这六个数中，第50百分位数是.

13.已知复数~12-H।।1i।>1-为纯虚数，贝！I.;.

14.已知三棱锥厂.13（，的四个顶点都在球。的球面上，pifp（■1，.1（'1，

i\\Ln,1，则球。的表面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.।本小题13分j

某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.

—44-3/^—1—t

①②③一

I,是虚数单位）

I从三个式子中选择一个，求出这个常数；

mi根据三个式子的结构特征及（n的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.

16.I本小题15分）

全国文明城市简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文

明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，张家界市

组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩I单位：分，如表：

甲单位8788919193

乙单位8589919293

1，根据如表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工

对文明城市知识掌握得更好；

2「用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.

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17.।本小题15分

如图，在四棱锥广.1”「。中，底面48。。为平行四边形，..1/)L_.5，.1。..1「—1，。为/。的

中点，广(〃平面/BCD,「<>2,M为尸。的中点.

II证明：i'ii平面/CM；

1求直线NM与平面/BCD所成角的正切值.

18.本小题17分，

乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域/、B,乙被划分为两个不相交的区域

。、/).某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在。

上记1分，其它情况记0分.对落点在/上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为।,在。上的概率

2

为I;对落点在2上的来球，小明回球的落点在C上的概率为!，在。上的概率为:.假设共有两次来球且

355

落在4、5上各一次，小明的两次回球互不影响.求：

£/4/

I小明对落点在N、8上的来球回球的得分为0分的概率；

「小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

:J两次回球结束后，小明得分之和；的所有可能取值及对应的概率.

19.।本小题17分)

已知G点为的重心,内角N,B,C的对边分别为a,b,i

I1J若("；=(汀•N.l/j•l(u求实数、的值；

(2)若而诟，且

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i-」，求实数冽的值;

1品,求实数”的直

11

tailAtaliB

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

利用共软复数的定义及其几何意义即可得出.

本题考查了共钝复数的定义及其几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

【解答】

解：复数：JL,则二.对应的点1二II位于第一象限，

故选：A

2.【答案】B

【解析】解:向量丁向量1=।x$।，若J了,

则1»v3—x(—I)=0>解得r*i-■.i

故选：I]

由已知结合共线向量的坐标运算列式求解加值.

本题考查共线向量的坐标运算，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，

则应抽取高一年级学生的人数为：力川•—1

34NM)

故选：11

根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解.

本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及向量数量积的运算性质，属于中档题.

可画出图形，据图可得出_/.」，从而便得到3//i〃i-/i,这样进行数量积的

运算即可.

【解答】

解：如图，

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AB

HF.-liA-\E-Hi/.1

..屏幻=屈■匐）短

=团•塌-EX

=0-1=-1.

故选/;

5.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了列表法求概率，属于基础题.

首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可

求得答案.

【解答】

解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：

（甲,乙）锤剪子包袱

锤1锤，锤11锤，剪子，（锤，包袱1

剪子1剪子，锤）（剪子，剪子1（剪子，包袱）

包袱1包袱，锤）（包袱，剪子1（包袱，包袱，

「由表格可知，共有9种等可能情况.其中平局的有3种：I锤，锤I、I剪子，剪子I、I包袱，包袱「

甲和乙平局的概率为：」-1.

93

故选：C.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面的位置关系的

合理运用.

在《中：”或“一n；在8中，加与।相交、平行或，；在C中，加与"相交、平行或异面；在。

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中，由线面垂直和面面垂直的性质得…，.

【解答】

解：在4中：若………，则n"或"‘I,故N错误；

在3中：若八J,则机与；相交、平行或“，，'，故2错误；

在C中：若：，，，I',则加与〃相交、平行或异面，故C错误；

在。中：若m“1〃1，，则由线面垂直和面面垂直的性质得”，.，,，，故。正确.

故选：”

7.【答案】A

【解析】解：由图可知，半球的半径。一注5米，圆柱的底面半径。一9.5米，高为14米，圆台的下底面半

径为"二米，上底面半径为「1米，高为/,:米.

则极目一号体积约为「一：•-'»•»,+丁I1♦卜•31,5-ill-!(5-1t|-|

21

^?(―x857+9nxII4-—x31.5x

'33'

x(571+1260+1055)x3.1415

x9064FH3.

故选：A

由已知可得球、圆柱、圆台的底面半径与圆柱、圆台的高，代入体积公式得答案.

本题考查旋转体体积的求法，考查运算求解能力，是基础题.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件、古典概型、相互独立事件等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

根据互斥事件、对立事件的概率判断/以根据古典概型的概率计算公式结合相互独立事件定义，判断

【解答】

解：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形：

①有1门相同，②2门都相同，③2门都不相同，

.•.4与2互斥不对立，/与。不互斥，故/，3错误；

cJcJci2

小）=占序

Jc；rf'

-H,

CfCf6

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.mi/'I.II/'CI,/i/“mi，一，

,4与C相互独立，2与C不相互独立，故C正确，。错误.

故本题选C

9.【答案】AD

【解析】解：对于/，0.002x2+0.004+a+0.0144).02K21Ia0.0U8,4正确;

对于3,因为第六组有40人，第五组有160人，

所以:一'一125,3错误；

1311-11()1GO

对于C,70分以下的人数为，，山」•…J；，OW"12,人，C错误；

对于Z),平均成绩、(0.i>m*(>n.iiik-*.MI.ii>♦uni.ii»i2(i-iin»iiiii-iini9:5trD

正确，

故选：.1"

根据频率分布图的求解频率、频数、平均数即可求解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的计算，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：由题意可得一加二，..IL“，”，

^.1(D-30，\D-1SO;-1(6-30-r,,故/正确；

在.中，由正弦定理可得1)(',即，；7,

解得.“)r>\2，故8正确；

在RlABCD中,由ZBDC=*可得BC=C0=3O,BD30百，故。错误；

在△」，「小中，由余弦定理可得」/||;-Dli-2-DA-DB-cw£ADB>

即！「；「一，；八」:।\解得,1"『>、，，，故。正确.

故选：」〃/).

根据三角形的内角和为12即可判断N；在；中，由正弦定理可判断8；在小△/〃”中可判C；在

△A0D中,由余弦定理可判断。.

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.

11.【答案】ABD

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【解析】解：如图,

对于出当M、N分别在NBi、CG上运动时,若满足（,（V,

则线段必过正方形ECCiB的中心。，而ZXH平面BCC81，

平面&A/.N平面BCCifh，故/正确;

对于8：当M、N分别在/〃，、小「上运动时，I01/的面积不变，N到平面的距离不变，

■棱锥V-J/八/的体积不变，

即三棱锥li”1/\的体积为定值，故3正确；

对于C：若dOA/.V为直角三角形，则必是以，T//）、,为直角的直角三角形，

但儿W的最大值为/〃,而此时。M,ON的长大于/〃九，

C.V.V不可能为直角三角形，故C错误；

对于。：当必N分别为/>/,（「中点时，

平面与平面/8C所成的角为0,

当M与3重合，N与Ci重合时，

平面与平面48。所成的锐二面角最大，为「i“：等于;，

」.平面。与平面/2C所成的锐二面角范围为山।故。正确.

故选：ABD.

对于/：由『；""V,得线段九W必过正方形〃的中心。，由平面/"（,可得平面

DMN1平面〃「「四；

对于8：由的面积不变，N到平面八/的距离不变，得到三棱锥.1的体积为定值；

对于C：利用反证法思想说明不可能为直角三角形；

对于D平面DMV与平面/8C平行时所成角为0,当M与3重合，N与C重合时，平面£）血W与平面/8C

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所成的锐二面角最大.

本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题.

12.【答案】12

【解析】解：因为6X改打3,

则第50百分位数为山-12.

*i>t

故答案为：

利用百分位数的求解公式即可求解.

本题考查了百分位数的求解，属于基础题.

13.【答案】">II'

【解析】解：1-'1'1-1,2-”--2”,

一复数z为纯虚数，［-'1：，：，解得“=2

:-T，，：1八

贝!♦/i:lir3:V£•(11：*I，5*I/.

故答案为：---I'

化简复数z,再由复数z为纯虚数列式求解即可.

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

14.【答案】

15

【解析】解：「三棱锥「的四个顶点都在球。的球面上，PBPC2%/5>AB4>AC1>

PI-B('-2,

•根据勾股定理易得/,.l.」「，/>.1..1〃，又.11\li.1，

P.\ABC,

设底面三角形ABC的外接圆的半径为r,球。的半径为2R,

易知-S.1/“'-I,-in.\i{(,«1।r'।,

4V44

•»„=____A_C____=___4_=__1_6_

■v15、下，

sNi2r><2溺.316

21(I”•Ii,

1515

二球。的表面积为甘.

第n页，共16页

316x

故答案为:

15

根据勾股定理易得，1PALAB^从而可得r.I.平面设底面三角形48。的外接圆的半径为

r,球。的半径为2尺，则根据正弦定理易得，”，从而可得金「口「/…’

151515

进而得解.

本题考查三棱柱的外接球问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属中档题.

15.【答案】解：］：1

-1+i2

II।根据三个式子的结构特征及(口的计算结果，可以得到：

<_1十*zr/t

•，

6—at

证明如下，

a4*bf(a4-bi)(b+ai)

6—at/+产’

故得证.

【解析】III由复数的运算得：一一1'"I"=，,

-1*I1

(II)由归纳推理得：二±=("%”>明=»,得解.

本题考查了归纳推理及复数的运算，属基础题.

、：|」、7-“<>广"-I、、"91-!M>|"+(91-!»0|--i!U-'KJ'」,

55

「:、,'Mil'.、!IUI-.CH>1--U2-<»II.'-，；Uirs,

5

显然，、」、，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，、

故甲单位的职工比乙单位的职工对文明城市知识掌握得更好.

壮，从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件为、-，2，，,

(85.93),㈣91),(89.92),(89.93),(91.92),(91.93),(92,93),共10个.

记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件/,则事件/包含的基本事件为小二、”，，、「”，

(85,92),(85,93),(89,93),共5个.由古典概型计算公式可知r1-'

102

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【解析】h结合平均数、方差公式，即可求解;

I，结合列举法，即古典概型的概率公式，即可求解.

本题主要考查平均数、方差公式，属于基础题.

17.【答案】1证明：连接AD,MO,在平行四边形/BCD中，

“为/C的中点，，C为的中点，

又•.1/为尸。的中点，

PH\1<）,

I'H「平面/CM,\!（）一平面/CM,

.PH平面上

「、解：取。。中点N,连接MN,AN,

1,『为PD的中点，

\!\/>（）,且"、\r（>1,

由/“人平面48CD,得平面/2C。，

一1/XV是直线/A/与平面/BCD所成的角，

在R3DH）中，AI）I,AO=~,Z.DAO»90'l）n

...IVIDO空,

八…，MN1

在R上.I.V.\/中，7A.不、亍，

即直线与平面所成角的正切值为K

5

【解析】〃连接AD,MO,在平行四边形/BCD中，由。为/C的中点，知。为3。的中点，再由M为

尸口的中点，知/</>'1〃），由此能够证明"打“平面.2"

、取。。中点N,连接MMAN,由〃■为PD的中点，知“、PO,且］八r（>由/1），平面

ABCD,得“'平面/2CZ）,故"LV是直线与平面ABCD所成的角，由此能求出直线与平面

48CD所成角的正切值.

本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法.解题时要认真审题，仔细解答,

注意合理地化空间问题为平面问题.

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18.【答案】解：；1।因为小明回球的落点在C上的概率为；，在。上的概率为；；对落点在3上的来球,

I

小明回球的落点在。上的概率为1:，在。上的概率为:

55

所以记为事件“小明对落点在/上的来球回球的得分为2・分”H,1.3I,

则/‘1I：,『III：,『II11；

2JJoo

记”为事件”小明对落点在3上的来球回球的得分为，分"I，-y1.M,

则”即一！,八〃1—2，八以「一1」!

□□□o0

②记。为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.

由题意，I)=AH-IM-AM-AJL,

由事件的独立性和互斥性，

P(D)=+Pl.4,/A.I+P(AoBt)+PtAfA),

小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为3.

：由题意，:可能的取值为0,1,2,3,4,6,

由事件的独立性和互斥性，得：

八：ori/A.i-*.,

i-*,

o0656

/>{2/,；4/，/'」:，

Odd

九।♦ni/」,.t*.，

J□o□lo

P(E=4)=+HAH)=不.工+^.工二而