2024-2025学年第二学期高一年级3月阶段性模拟监测数学试题（解析版）

2024-2025学年第二学期高一年级3月阶段性模拟监测试题数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.如图，在正六边形ABC。跖中，与向量A8相等的向量是（）

A.BCB.EDC.AFD.CD

【答案】B

【分析】由相等向量的定义可知.

【详解】由图可知六边形A8CQEF是正六边形，所以与A8方向相同的只有皮）；而

与AB长度相等，方向不同，所以选项A,C,D,均错误；

故选：B

2.在平行四边形ABC。中，EB=2AE,BF=FC,记AB=a,AO=6,则石歹=（）

21,21,

A.—a——bB.—a+—b

3232

11i2

C.—dH—bD.一—b

3223

【答案】B

【分析】由向量的线性运算，用表示E/

211

【详解】因为匹=24及8尸=尸（？，则有班=—AB,3F=—BC=—AD,

322

故选：B.

3.在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且o=4,b=2及,A=45。，则B=()

A.30°B.30°或150C.60°D.60。或120

【答案】A

【分析】利用正弦定理进行求解即可.

【详解】在VABC中，已知a=4,b=2及,

可知所以A>3.

a_b

由正弦定理得

sinAsinB

所以sinB=—,贝！J5=30.

2

故选：A.

4.4知a出满足a=(3,4),〃=(4,3),则。在8上的投影向量为()

24

D.

5

【答案】B

【分析】根据投影向量的定义进行求解即可.

a-b

【详解】，在人上的投影向量为方两

故选：B

3

5.设夕都为锐角，且cosa=，sin(a+^)=-,贝1]sin4等于)

5

A,正R11造

2525

r75D.—好或

5525

【答案】B

【分析】将夕化为(a+0-a,用两角差的正弦公式求解即可，求解时，需注意角的范围.

第2页，共13页

【详解】为锐角，cosa=,**•sina=,

55

又,：a,夕都为锐角，・・・0<a+〃<兀，

344

由sin(0+/?)=不可得,cos(o+4)=g或cos(cr+y0)=--

4

当cos(a+尸)=g时,

sin,=sin[(a+/?)-a]=sin(a+尸)cosa-cos(a+/?)sina

=，叵上空=_立,(£为锐角，sin/>0,舍去)

55555

4

当cos(a+/?)=--时，

sin/?=sin[(a+£)—a]=sin(a+/?)cosa-cos(a+/?)sina

55I5)525

sin〃=i^.

25

故选：B.

6.已知函数/（x）=Asin3x+0）的图象如图所示，则〃x）的表达式可以为（）

B./(x)=2cos

D./(x)=2sin

【答案】A

]|^，2确定（p=+今+2析,左？Z,代

【分析】根据振幅可确定4根据周期可确定①，进而根据最高点

入“X）中化简即可求解.

冗

【详解】由图可知：A=2,3^T=137^r--7T?T兀？32午=2,

“X)经过最高点鞭，2,故2?岩(p=j+2^?Z>(p=-^+j+2foi^?Z,

所以f(x)=2sin^2x-^^-+^+2Z：7i^7171

=2Gs.inG2x-----1,—=2cosf

I62

故选：A.

7.在VA5C中，已知A5=6,AC=2,且满足O5=2AO，那=责,若线段C。和线段的交点为P,

贝|JAP(C4+CB)=().

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】待定系数法将AP向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算

【详解】^AP=xAB+yAC,

由DB=2AD知AB=3Ao，AP=3xAD+yAC，":D,P,C二点共线，3x+y=1Q_),

由AE=EC知AC=2AE，/-AP=xAB+2yAE,,：B,P,E三点共线，x+2y=l②,

i212

由①②得：x=—.yAP=—AB+—ACf

1^CA+CB=-AC+AB-AC=AB-2AC^

：.AP-(C4+CB)=QAB+|AC^(AB-2AC)=|(AB2-4AC2)=1x(62-4x22)=4

故选：B

8.将函数〃x)=sin2x的图像向右平移彳0＜。＜?个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足

|〃丹)一8(无2)|=2的士，孙有卜-%1m1,=；，则。=()

5兀一兀一万一兀

A.—B.—C.-D.一

12346

【答案】D

【分析】根据三角函数图象的变换规律求出g(x),再利用三角函数图象的性质求解即可.

【详解】V/(x)=sin2x,/.g(x)=sin(2x-2^),

由于|〃%)-g(%)|=2,可知〃石)和g(%)分别为两个函数的最大值和最小值，

TT7T

不妨设2%,=2^71+—,/^GZ,2X2—2(p=2k2n-—,k2eZ,

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由于》fL=，可得?*=；，解得"哈

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.化简以下各式，结果为。的有（）

A.AB+BC+CAB.AB-AC+BD-CD

C.OA-OD+ADD.NQ+QP+NM-MP

【答案】ABC

【分析】根据平面向量的加减法运算逐个判断可得答案.

【详解】对于A,AB+BC+CA=AC-AC=0,故A正确；

对于B,AB-AC+BD-CD=（^B+BD^-^AC+CD^=AD-AD=O>故B正确；

对于c,OA-OD+AD=（OA+AD^-OD=OD-OD=6,故C正确；

对于D,NQ+QP+NM-MP=NP+PM+NM=NM+NM=2NM，故D不正确.

故选：ABC.

10.已知点A（L2）,8（3,1）,C（4,/n+l）（7WGR）,则下列说法正确的是（）

A.|AB|=>/5B.若AB_LBC，则m=-2

11

C.若AB〃BC，则租=-5D.若8A，BC的夹角为锐角，贝U能<2且加7-万

【答案】AC

【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.

【详解】因为A。,2）,B（3,l）,C（4,m+l）（meR）,

所以A3=（2,-l）,=

选项A：网=商+（-1）2=君,所以A正确；

选项B：因为A3_LBC，所以AB.2C=0，所以2-〃Z=0,所以%=2,所以B错误；

选项C：因为所以2x〃?=（-l）xl,所以m=-；,所以C正确；

BABC=-2+m>0

选项D：因为区4,BC的夹角为锐角，且R4=（-2,1）,所以{1m,解得

—w—

1-21

m>2,所以D错误.

故选：AC

11.设函数〃x）=cos2x+sin2x,则下列选项正确的有（）

A.”尤）的最小正周期是万B.〃尤）满足（?+工］=/1?-x］

C./（x）在6］上单调递减，那么6-a的最大值是'D./（X）的最大值是立

【答案】ACD

【分析】首先根据题意得到/（x）=/sin［2x+（）,再依次判断选项即可.

［详日军］/（x）=cos2x+sin2x=后sin（2尤+,

27r

对选项A,T=—=7t,故A正确；

对选项B,=应sin；〃=l片±0,

所以尤=?不是=cos2x+sin2x的对称轴，

即〃x）不满足了（2+{|=7］?-（|,故B错误；

对选项C,因为〃x）在［则上单调递减，所以6一。弓=1，

7［

即6-。的最大值是故c正确；

对选项D,/（x）=cos2x+sin2x=A/2sin^2x+^,

所以〃元）的最大值是夜，故D正确.

故选：ACD

第H卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

77r

12.求值：cos一=.

12

［答案］6-瓜

4

【分析】将非特殊角7会7r转化为特殊角77T与q7T的和，然后由两角和的余弦公式即可求解.

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■、4即、An7"（71n\n兀.兀.兀氏'贬正V2-A/6

【洋斛】角牛：cos——=cos——I--=cos—cos----sin—sin—=——x---------x——=-----------.

12143）434322224

故答案为：走二但.

4

13.已知向量根=（羽1）,〃=（一3,2）,若2优+〃=。,4）,则加=.

【答案】（2,1）

【分析】根据向量加法的坐标运算直接求解即可.

【详解】2m+ri=（2x-3,4）=（1,4）,.\2x-3=l,解得：x=2,/.m=（2,l）.

故答案为：（2,1）.

TT

14.已知。PQ是半径为1,圆心角为二的扇形，C是扇形弧上的动点，ABC。是扇形的内接矩形，则AB+2AD

【答案】V6-V2

【分析】设NCOP=cVaW,用表示出的长度，进而用三角函数表示出，结合辅助角公式即可求得最大值.

【详解】设/。。尸="（0414^），扇形。PQ的半径为1，

6

则AD=BC=OCxsina=sini,OB=OCxcosa=cosa,

tanZZ）OA=—,所以AO=V^AO=gsina,

AO3

所以AB=OB-OA=cosa-百sina,

所以AB+2AD=cosa-A/3sin«4-2sin<7

2—y/31COS6Z)

=(2-A/3)sina+cosa-(V6-72Xsina+

A/6-V2V6-V2

=(&-V2)(sinacos+cosasin=(a-A/2)sin(a+,

因为―哈所以

所以当a+1|=],即"限时，AB+2AD取得最大值几-0.

故答案为：yj6-y/2.

【点睛】方法点睛：利用三角函数表示线段长，利用三角恒等变换求得最值是常用方法.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量a=(—l,2),Z?=(3,-l).

(1)求a+2)的坐标与1-U；

⑵求向量a与”_匕的夹角的余弦值.

【答案】(1)(5,0),5

⑵乎

【分析】(1)根据平面向量坐标运算公式和模的计算公式计算即可;

(2)利用平面向量数量积的公式计算即可.

【详解】(1)a+2b=(5,0),

a-0=(-4,3),

[斗”"X.

(2)〃.(〃-力=10,

忖=J1+4=y[5,

r,r

/trr、a-\a-b\102石

cos(a,ab)=.r?.r_rr=-

、'\a\-\a-b\.万x5一5-

cos(兀-a)cos(兀+a)1

16.已知。是第三象限角，且.(兀一工s773x=3

sin1万一aJan(27i-a)sin[兀+a)

⑴求tana的值；

(2)求sin2q+3sinacosa的值.

【答案】⑴g

ZQ\3+3^3

()4

【分析】(1)借助诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可；

第8页，共13页

（2）构造齐次式，将弦化切，代入计算即可.

【详解】（1）由题意可得：

COS（71-£Z）COS（71+（Z）（-cosa）•（-costz）cosa11

sing-^tan（2K-«）sin（K+«）-cos«（-tan«）（-sin«）"tan«sin«一tan2a-3’

即tan2a=3,Q"是第三象限角，「.tana=6.

（2）结合（1）问可得：tana=g,

Qa是第三象限角,「.cos。wO,

.「.sin2a+3sinacosatan2cr+3tancr3+3^33+3^3

/.sin2a+3smacosa=-----------------=--------------=-------=-------•

sina+cosatancr+13+14

17.已知VABC的内角A,B,。所对的边长分别为〃，b,c,且。=2近，b=5,c=5.

⑴求角。的大小；

⑵求sinA的值；

⑶求sin12A-的值.

【答案】⑴]

（2）^1

13

⑶当

26

【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到cosC=①，即可求出结果；

2

（2）由（1）及条件，利用正弦定理即可求出结果；

（3）根据条件，求出cosA=3叵，利用二倍角公式得到sin2A=t，cos2A=[,再利用正弦的差角公

131313

式即可求出结果.

【详解】（1）因为°=2近，b=5,c=>/i3,

,h2_28+25—13也

由余弦定理得c°sc=F^

2x20x52

又因为。£（0,兀），所以C=：.

（2）由（1）知。="^，又々=2A/2,C=y/13,

由正弦定理，可得54asinC2g.

c71313

(3)因为所以A<C,又sinA=^叵，所以cosA=Jl—sin2A=^1,

1313

2

所以sin2A=2sinAcosA=2xZ2/lZx=11.,cos2A=2cos=,

13131313

,,.f,.7i^__.Ti...7i41/._.小八0/125、7^/2

故sm2A——=sin2Acoscos2Asin—=——fsin2A-cos2A)=——(--------)=------.

I442v72131326

18.已知向量n:=(cosx+sin阳代sinx),〃=(cosx-sinx,2cosx),函数g(x)=m•几.

⑴求g(%)的最小正周期；

⑵求g(x)的单调减区间；

(3)若函数/(%)=g(x)-a在区间［。，口上恰有两个零点，求实数。的取值范围.

【答案】(1)7=无

兀72.J

(2)—+E,—兀+EeZ

_63_

(3)l<a<2

【分析】(1)由向量数量积的坐标运算代入计算，结合三角恒等变换公式化简，即可得到g(x)的解析式,

从而得到结果；

(2)由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果；

(3)将函数零点转化为函数图像交点，再由正弦型函数的值域，即可得到结果.

【详解】(1)g(x)=m-n=cos2x-sin2x+2y/3sinxcosx=cos2x+A/3sin2x=2sin2x+^,

2Tl

・•・g(x)的最小正周期7=3=兀.

TT兀3

(2)令'—F2kliW2%H—<—7i+2kli,kGZ,

262

兀2

角军—I-kjt<兀<—Ji+ku,keZ,

63

兀2

所以g(x)的单调减区间为-+k7i,-7i+kn，左wZ

63

(3)

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jr

由题知g(x)=。在区间0,-上恰有两个不同的实数根,

jr

即函数g(x)在区间o,-上的图像与直线y=q恰有两个交点,

人c71717177r

U=2%H--,XG0,—,£—,---.

6266

做出y=2sin〃“e荒彳的图像与直线y=a,如图.

由图知，当1<°<2时，y=2sinM^MG看,gj的图像与直线有两个交点，

19.已知函数/(》)=2$山(的+夕乂0>0,|同<乃)，"。图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差］,；

⑴①的一条对称轴户4且//⑴；

②/(X)的一个对称中心(智，。］,且在［9，?］上单调递减；

③/(元)向左平移£个单位得到的图象关于y轴对称且/(0)>o

从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；

(2)在(1)的情况下，令/MX)=：〃X)-COS2X,g(无)=若存在xe展，1使得

g2(x)+(2—a)g(x)+3-。<0成立，求实数。的取值范围.

【答案】⑴选①②③，/(x)=2sin(2x+f；⑵［2夜,网.

【解析】(1)根据题意可得出函数/(%)的最小正周期，可求得。的值，根据所选的条件得出关于。的表达

式，然后结合所选条件进行检验，求出。的值，综合可得出函数/(尤)的解析式；

(2)求得〃(x)=sin12x-?由无e可计算得出/?(尤闫0,1］,进而可得出g(x)e-1sin|2-5

1232ko

22

由参变量分离法得出aNg(x)+l+西石，利用基本不等式求得g(x)+l+1百工的最小值，由此可得出

实数。的取值范围.

【详解】(1)由题意可知，函数/(X)的最小正周期为T=2x1=%,二.0=隼=2.

选①，因为函数的一条对称轴片一(，贝1]2'1-5]+夕=会+丘信eZ),

7TT

角牟得"==+上万(左eZ),

6

QM〈万，所以，9的可能取值为-多、y.

若夕=一夫，贝iJ/(x)=2sin(2x-K1,贝厅舟=25川一2=-2</(1),不合乎题意;

若展会贝4(x)=2sin(2x+£|,贝i]d£|=2s呜=2>〃1),合乎题意.

所以，/(x)=2sin(2x+]j；

选②，因为函数的一个对称中心[卷，。],则2x|j+?=<U(EeZ),

解得。=左万一系(左eZ),

Q冏〈万，所以，。的可能取值为一多、£.

66

若展一色贝i]/(x)=2sij2x-^],当臼*子时，

616/1_。5」o|_22

TT27r

此时，函数/(X)在区间上单调递增，不合乎题意；

o3

若9=会贝厅(x)=2sin]2x+0当xe/,用时，2x+^e,

rr27r

此时，函数〃x)在区间上单调递减，合乎题意；

|_o3

所以