2024-2025学年八年级数学上册专项练习：专题轴对称的性质【八大题型】

专题13.2轴对称的性质【八大题型】

【人教版】

衣

【题型1游戏中的轴对称】.....................................................................1

【题型2利用轴对称的性质求角度】.............................................................3

【题型3利用轴对称的性质求线段长度】........................................................4

【题型4在格点中作轴对称图形】...............................................................6

【题型5利用轴对称的性质解决折叠问题】......................................................8

型

题6利用轴对称的性质解决最短路径问题】.................................................10

型

题

7利用轴对称的性质解决探究性问题】...................................................12

型

题

8轴对称图案的设计】..................................................................16

。如>2*声1二

【知识点1轴对称的性质】

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对

称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线,

就可以得到这

两个图形的对称轴.

（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

【题型1游戏中的轴对称】

【例1】（2022春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画

一条直线I,在直线I两边各放一粒围棋子A、B,使线段长8cm,并关于直线I对称,

在图中Pi处有一粒跳棋子，P距A点6c处与直线/的距离为3c〃z,按以下程序起跳：

第1次，从Pi点以A为对称中心跳至尸2点；第2次，从尸2点以/为对称轴跳至R点；

第3次，从尸3点以B为对称中心跳至8点；第4次，从尸4点以/对称轴跳至P5点；….

（1）棋子跳至26点时，与点P1的距离是；

（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点8的距离是

B

・R

【变式1-1］（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子.如图，己共下了7

枚棋子，棋盘中心黑子的位置用（-1,0）表示，其右下角黑子的位置用（0,-1）表

示.甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形.他放的位置是（）

A.（-1,1）B.（-2,1）C.（1,-2）D.（-1,-2）

【变式1-21（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏.如图所示，现轮到黑棋下子，

黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成

轴对称图形.则下列下子方法不正确的是（），［说明：棋子的位置用数对表示，如

A点在（6,3）］.

【变式1-31（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余

的格点上没有棋子.我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称

跳行，跳行一次称为一步.已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影

部分的格点），则跳行的最少步数为3步.

【题型2利用轴对称的性质求角度】

【例2】（2022秋•河东区期末）如图，/XABC中，ZB=58°,/C=55°,点。为8c边

上一动点.分别作点。关于AB,AC的对称点E,F,连接AE,AF.则NEAF的度数等

于

【变式2-1］（2022春•寿阳县期末）如图，△ABC中，ZB=60°,NC=50°,点。是

BC上任一点，点E和点尸分别是点D关于48和AC的对称点，连接AE和则/

胡厂的度数是（

C.120°D.100°

【变式2-2］（2022秋•台江区期中）如图，四边形A8CD中，AB=AD,△ABC沿着AC翻

折，点B关于AC的对称点E恰好落在上，若NB=a度，则/£＞的度数是.度

【变式2-3］（2022秋•房山区期末）如图，点尸是NA02外的一点，点。是点P关于

的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交/AOB两边OA,OB于点M,

N,连接尸M,PN,如果/PMO=33°,ZPNO=70°,求NQPN的度数.

A

O

【题型3利用轴对称的性质求线段长度】

【例3】（2022秋•土默特左旗期中）如图，点尸在NA08内，点M、N分别是点尸关于

AO,8。的对称点，若△2斯的周长为15,求的长.

【变式3-1］（2022春•洛宁县期末）如图，点尸在NAO8内，点M、N分别是P点关于

。4、08的对称点，且MN交04、08相交于点E,若的周长为20,求MN的长.

'A

【变式3-2］（2022春•驿城区期末）如图，点尸是/AOB外的一点，点M,N分别是/A08

两边上的点，点P关于的对称点0恰好落在线段MN上，点尸关于08的对称点R

落在MN的延长线上.若PM=3cm,PN=4cm,MN=45cm,则线段QR的长为.

【变式3-3】（2022秋•淮安月考）如图，在△ABC中，AB=12cm,AC=6cm,BC=lQcm,

点、D,E分别在AC,AB上，且△BCD和△BED关于BO对称.

（1）求AE的长；

（2）求△ADE的周长.

F.R

【题型4在格点中作轴对称图形】

【例4】（2022秋•密山市校级期末）如图所示，

（1）写出顶点C的坐标；

（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1G，并写出S的坐标;

（3）若点4（a,b）与点A关于尤轴对称，求a-6的值.

【变式4-1］（2022秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，A、B、C、。各点的坐标分别

（1）在给出的图形中，画出四边形ABC。关于y轴对称的四边形481GA；（不写作

法）

（2）写出点4和G的坐标；

(3)求四边形AiBCiDi的面积.

【变式4-2](2022秋•竦州市期末)在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1,

格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A,8的坐标分别是(-6,7),

(-4,3).

(1)请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系.

(2)请画出△ABC关于y轴对称的△431C1

【变式4-3](2022春•铜仁市期末)如图，已知点A(4,3),8(3,1),C(1,2),

请解决下列问题：

(1)若把△ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到△481G，请画出平移后

的图形并写出4,Br，G的坐标；

(2)若△A2&C2是△ABC关于x轴对称的图形，请画出△A2&C2并写出A2，星，C2的

【题型5利用轴对称的性质解决折叠问题】

【例5】（2022春•广陵区校级期中）发现（1）如图1,把△ABC沿。E折叠，使点A落在

点A'处，请你判断N1+N2与NA有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由

思考（2）如图2,8/平分/ABC,C7平分NAC8,把AABC折叠，使点A与点/重合,

若Nl+N2=100°,求/2/C的度数；

拓展（3）如图3,在锐角△ABC中，8尸，AC于点RCGLAB于点G,BF、CG交于点

H,把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索与/1+N2的关系，并证明你的结

论.

【变式5-1］（2022春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8c机的正方形A8CD折叠，使点

D落在8C边的中点E处，点A落在尸处，折痕为MN.

（1）求线段CN长.

（2）连接印，并求的长.

【变式5-2]（2022秋•成都期末）如图，四边形ABC。中，AB//CD,ADLAB,AB=6,

AO=CD=3,点E、厂分别在线段A3、A。上，将/沿跖翻折，点A的落点记为P.当

P落在四边形ABCD内部时，PD的最小值等于.

【变式5-3]（2022•惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABCD,AB//CD,AD=BC

=1,AB=CD=5.在长方形A3。的边AB上取一点在CD上取一点N,将纸片沿

MN折叠，使.MB马DN交于点、K,得到△MNK.

（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是；

（2）问△MNK的面积能否小于”试说明理由；

（3）如何折叠能够使△MVK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最

大值.

【题型6利用轴对称的性质解决最短路径问题】

【例6】（2022春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理

的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的

问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走

才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，

这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.

如图2,作B关于直线/的对称点次，连接与直线/交于点C,点C就是所求的

位置.

证明：如图3,在直线/上另取任一点C',连接AC',BC,B'C,

:直线/是点8,B'的对称轴，点C,C在/上，

:.CB=CB',CB=C'B',

：.AC+CB^AC+=.

在△A。B'中，

'：AB'<AC+CB'

：.AC+CB<AC'+CB'即AC+C2最小.

本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，3在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,

从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决

（其中C在AB'与/的交点上，即A、C、B'三点共线）.本问题可归纳为“求定直线

上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型.

【简单应用】

(1)如图4,在等边△ABC中，48=6,AD±BC,E是AC的中点，M是上的一点,

求EM+MC的最小值

EM+MC的最小值就是线段BE的长度,则EM+MC的最小值是；

(2)如图5,在四边形A2CD中，ZBAD=130°,/B=ND=90°,在BC,C£>上分

别找一点M、N当△AAfN周长最小时，ZAMN+ZANM=°.

【拓展应用】

如图6,是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，ZAOB=30°,。4=1千米，08=2

千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠。8岸C处装货，再停靠

。4岸。处装货，最后到达码头艮怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？

请画出最短路线并求出最短路程.

【变式6-1】在ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,AC=6,点。，E在AB边上，

C£>,点E关于AC,C。的对称点分别为RG,则线段FG的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

【变式6-2］（2022秋•双流区校级期中）在△ABC中，ZA=45°,AC=8,BDLAC,BD

=6,点E为边BC上的一个动点.Ei，E2分别为点E关于直线AC,A8的对称点，连接

E1E2,则线段E1E2长度的最小值是.

【变式6-3］（2022春•青羊区期末）如图，△ABC中，ZB=45°,ZC=75°,AB=4,

D为BC上一动点,过。作。ELAC于点E,作DfUAB于点凡连接ER则EF的最

小值为.

【题型7利用轴对称的性质解决探究性问题】

【例7】（2022春•二道区期末）解答下列各题:

（1）【问题引入】：如图①，在△ABC中，/B4C=70°,点。在BC的延长线上，三

角形的内角/A8C与外角NAC。的角平分线BP,CP相交于点P,求/P的度数.（写

出完整的解答过程）

（2）【深入探究】：如图②，在四边形MNC8中，设/N=0,四边形MNCB

的内角与外角NNC。的角平分线BP,CP相交于点P,则/P的度数为

.（用含有a和P的代数式表示）

BCD

②

（3）【问题拓展】：如图③，在图①中，把/BAC=70°改成N54C=Y，其他条件不变,

将△PBC以直线BC为对称轴翻折得到△G8C,ZGBC的角平分线与/GC8的角平分线

交于点M,则的度数为.（用含有y的代数式表示）

【变式7-1］（2022秋•洛南县期末）问题提出：

（1）如图1,画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形△AC4,其中N3AC

=90°（保留作图痕迹，不写作法）.

图1图2图3

问题探究：

(2)如图2,ZMAN=9Q°,射线AE在NMAN的内部，点、B、C在/MAN的边AM、

AN上，且AB=AC,过点C作CPLAE于点F,过点B作BD±AE于点。，证明：LABD

g△CAF.

深入思考：

(3)如图3,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线/经过点C,且点A、8在

直线/的异侧，过点A作A。，/于点。，过点2作BE，/于点E.判断线段A。、BE、

OE之间的数量关系，并加以说明.

【变式7-2](2022春•临汾期末)综合实践课上，小聪用一张长方形纸片A8CD对不同折

法下的夹角大小进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A'处，为折

痕，如图①所示.

(1)若NAEF=30°,

①求乙业的度数；

②又将它的另一个角也折过去，并使点8落在EA'上的二处，折痕为EG,如图②所

示，求NPEG的度数；

(2)若改变/A所的大小，贝UE4'的位置也随之改变，则/FEG的大小是否改变？请

说明理由.

图①图②

【变式7-3](2022秋•鼓楼区月考)问题情境

如图1,ZsABC中，沿NBAC的平分线A8i折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿/SAC

的平分线折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿的平分线折叠,

点3“与点C重合，我们就称/BAC是AABC的正角.

以图2为例，△ABC中，48=70°,NC=35°,若沿4BAC的平分线AB折叠，则/

AAiB=70°.沿43剪掉重叠部分，在余下的△B14C中，由三角形的内角和定理可知

N4SC=35°,若沿/BBC的平分线4历第二次折叠，则点昂与点C重合.此时，

我们就称NBAC是AABC的正角.