2024-2025学年八年级下学期第一次月考卷（北师大版八年级下册三角形的证明+一元一次（组））（全解全析）

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷01

（北师大版）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版八年级下册第一章〜第二章（第一章70分占60%、第二章50分占40%）。

5.难度系数:0.69o

第一部分（选择题共24分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求的）

1.以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.3,4,6

C.6,8,15D.5,12,13

【答案】D

【详解】解:A.22+32=13,42=16,

,-.22+32^42,

二不能构成直角三角形，

故选项不符合题意；

B.v42+32=25,62=36,

.'.42+32^62,

不能构成直角三角形，

故选项不符合题意；

C.6+8=14<15,

，不能构成三角形，

故选项不符合题意；

D.•.•122+52=169,132=169,

.-.122+52=132，

能构成直角三角形,

故选项符合题意；

故选：D.

2.如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OCI/C于点C）,跷跷板的一头/着地时NOAC=27°,

点/、C、8'在同一水平线上，ZOB'C=ZOAC,若。4=lm,则N2的长度为（）

A.1.5mB.2mC.2.5mD.3m

【答案】B

【详解】ZOB'C=ZOAC

'''OB'—OA-Im

OB=OB'=lin

•••AB=OA+OB=2m.

故选:B.

3.若。>b,则下列不等式成立的是（）

ab

A.q+3<b+3B.3tz<3bC.—>—D.-Q>—b

33

【答案】c

【详解】解：:a>8,

a+3>b+3,

故本选项不符合题意;

'：a>b,

3a>3b,

故本选项不符合题意;

,：a>b,

ab

33

故本选项符合题意；

,：a>b,

—a<—b,

故本选项不符合题意.

故选：C.

4.如图，直线4：y=ox+b与直线4：了=加无+”交于点尸（3,-2）,则关于X的不等式办+6m加X+〃的解集是

C.x>3D.x<3

【答案】C

【详解】解：由图可知，当工23时，直线。歹="+6在直线£歹=加工+〃下方，

・,.不等式QX+6V加x+〃的解集为x23；

故选：C.

[x-m<0

5.若关于x的不等式组<。八的解集中有6个整数解，则加的取值范围是（）

[5-2x<1

A.7<m<8B.7<m<8C.7<m<8D.7<m<8

【答案】D

【详解】解：4[x--2m<E0①②

解不等式①得：x<m,

解不等式②得：%>2,

则不等式组的解集是2Wx〈加，

•••不等式组有6个整数解，

・••整数解是2,3,4,5,6,7,

■■m的取值范围是7〈加W8,

故选：D.

6.如图，在△48C中，44=70。，点。为边BC的中点，过点。作2C的垂线，交AB于点、E,点、F为DE

延长线上一点，连接CE,CF,若ZACF=ZECF,则ZF的度数为（)

A.30°B.35°C.40°D.55°

【答案】B

【详解】解：••・在△4BC中，乙4=70。,

.-.ZB+ZACB=110°,

•.•点。为8c中点，过点。作2C的垂线，交4B于点、E,

•一•0E垂直平分8C,

BE=CE,ZFDC=90°

ZB=Z.BCE,

■:ZACF=ZECF,

：.ZACF=ZECF=-ZACE,

2

•；NACB=NACE+NBCE,

AB+AACB=AB+ZACE+/BCE=2（NBCE+Z£CF）=110°,

.-.ZBCE+ZECF=55°,即：/DCF=55°,

；."=90°-55°=35°；

故选B.

7.已知A/BC的三边长分别为2、2、3,在△45C所在平面内画一条直线，将△4BC分割成两个三角形,

使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【详解】解：设48=4C=2,BC=3,

•••BC>AB,

・•.有以下四种情况，

①以点3为圆心，以43为半径画弧交2C于。，作直线4D,如图1所示：

图1

则AB=BD=2,

直线AD将4ABC分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形；

②以点C为圆心，以NC为半径画弧交8c于作直线/E,如图2所示:

・•・直线/E将△/8C分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形；

③作线段的垂直平分线交3C于点尸，作直线4F,如图3所示:

二直线/尸将△NBC分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形；

④作线段4C的垂直平分线交3C于点X,作直线如图4所示:

贝I]AH=HF,

••・直线AH将MBC分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形.

综上所述：这样的直线最多可以画4条，

故选：B.

8.如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,Z5=30°,的垂直平分线交3C于。，交4B于E,连接4D,给出

下列结论：①D4平分NCDE；②BE=AC；③BD=2CD；®BD+DE=BC.其中正确的结论有（）

【答案】A

【详解】解：在中，ZC=90°,=30°,

：.ACAB=6Q°,

■垂直平分A5,

；.DA=DB,ZDEA=90°,

ZDAE=ZB=30°,

/.ACAD=NEAD=30°,

又•；NC=NAED=90°,4D=4D,

小CAD丝AEAD(AAS),

■.ZCDA=ZEDA,

:.D4平分NCDE,

故①正确；

•••ACAD=AEAD,

AC=AE,

又・・・0万垂直平分45,

•*.AE=BE,

；,BE=AC,

故②正确；

,/ACAD2AEAD,

DE=CD,

在Rt△。即中，ZB=30°,

BD=2DE,

；.BD=2CD,

故③正确；

,:CD=DE,

BD+DE-BD+CD-BC,

故④正确，

正确的结论有4个，

故选：A.

第二部分（非选择题共96分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）

9."掰的3倍与7的和是非正数"用不等式表示为.

【答案】3加+740

【详解】解："加的3倍与7的和是非正数”用不等式表示为3加+7V0,

故答案为：3m+7<0.

10.如图，已知8。平分NCA4,C。平分N/C2,5.MN//BC,设4B=12,8c=24,AC=18,贝l|A/W

的周长是.

【详解】解：：夕。平分/CA4,C。平分//C8,

/.NNBO=NOBC,ZMCO=ZOCB；

■：MN//BC,

：.ZNOB=NOBC,ZMOC=ZOCB,

ZNBO=ZNOB,NMOC=ZMCO,

BN=ON,CM=OM■,

.•.△/MN的周长为：

AN+NM+AM

=AN+ON+OM+AM

=AN+BN+CM+AM

^AB+AC

=12+18

二30,

故答案为：30.

11.如果关于X的不等式（1+加）x>3的解集为x<—,则加的取值范围是.

【答案】m<-l/-l>m

a

【详解】解：•••不等式（1+机、>3的解集为苫<^—,

1+m

1+m<0,

解得m<-l,

故答案为：m<-\.

12.等腰三角形一腰上的高线与另一腰夹角为50。，则该三角形的顶角为一.

【答案】40。或140。

【详解】解：如图1,三角形是锐角三角时，

ZACD=50°,

顶角//=90°-50°=40°；

如图2,三角形是钝角时，

ZACD=50°,

顶角Z5^C=50°+90°=140°,

综上所述，顶角等于40。或140。.

故答案为：40。或140。.

13.如图，在等边△4BC中，AB=6,点尸、。是直线BC的两动点，尸0=2,以尸。为边向下作等边

△PQD,连接4尸、AD,则"+4D的最小值为.

A

【答案】2屈

【详解】解：过点工作直线/〃2c作点P关于直线/的对称点P,贝尸=/P,

■■.AP+AD=AP'+AD

当P,4。三点共线时，4P+40的值最小，最小值为P。,

过点。作DV，PP'交PP'的延长线于点M,

■.-PP'11,1\\BC

PP'lBC

“尸。。是等边三角形，

ZDPQ=60°,PD=PQ=2

ZMPD=30°

.-.DM=-PD=\

2

•••PM=^PD2-DM2=M

过点C作/于点H,

・・•△4BC是等边三角形，

:"ACB=60°

PN1l,CH1L,PNIBC

.•.四边形尸CW是矩形,

.-.PN=CH,ZBCH=90°

：.ZACH^30°

又•••AC=6

.-.AH=]-AC=3

2

■■CH=\lAC2-AH2=3百

PN=3百

・・•点尸与点尸'关于/对称，

PP'=2PN=673,

:.PM=PP+PM=7也,

在RtxPMD中，P'D=y/p'M2+DM2=J（7扃+12=2百，

AP+AD的最小值是2回

故答案为：2回

三、解答题（本大题共13小题，满分81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.（5分）已知2尤小-2m20是关于x的一元一次不等式，求该不等式的解集.

【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：m-1=2,

m=2............（2分）

二原不等式化为：2x-2x2>0,

解得xW2.......................（3分）

15.（5分）如图，NB=ND=90。，AB=AD,求证：RtA/BC丝RbADC.

【详解】证明：.；NB=ND=90。，

:.“BC和AADC都是直角三角形.（2分）

在RtAABC和RS4DC中，

AC=AC

AB=AD

RtA^SC^RtA^DC（HL）...........................（3分）

x-3（x-2）>4

16.（5分）解不等式组：l+2x,，并把解集表示在数轴上.

------->x-1

[3

x-3（x-2）>4@

【详解】解：l+2x_，

-------->x-l®

解不等式①得，X<1,.....................（1分）

解不等式②得，X<4,......................（2分）

・•.不等式组的解集为X41,.....................（1分）

解集表示在数轴上表示如图,

―_।——।_A_।_>.....................（1分）

-5-4-3-2-1012345

17.（5分）如图，已知点C在CM上.若4408=30。，请用尺规作图法，在射线08上求作一点

P,使/CPO=2//O8.（保留作图痕迹，不写作法）

【详解】解：如图，点尸即为所求.

由作图可得NO"=90。，

•••NAOB=30°,

NOPC=180°-30°-90°=60°,

:.NCPO=2/AOB.

18.（5分）己知；如图，AD=4,CD=3,ZADC=90°,AB=13,3c=12.求该图形的面积.

【详解】解：如图所示，连接4C,

••・40=4,CD=3,ZADC=90°,

■-AC=>]AD2+CD2=5,.............（1分）

•・•/5=13,3c=12,

■-AC2+BC2=52+U2=132=AB2,.........................（2分）

.•.△/2C是直角三角形，ZACB=90°,.....................（1分）

・•.图形面积为S"c-S"3=g/C1C-g/»CD=；x5xl2-；x3x4=24..........................（1分）

19.（5分）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，增强心肺功能.某

商店老板销售一种自行车，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆.活动期间要降价销售，他要

以不低于进价40%的利润才能出售，商店老板每辆最多可以降价多少元？

【详解】解：设商店老板每辆可以降价X元，依题意，得：

720-x-400>400x40%,.........................（2分）

解得：x<160,.........................（2分）

二商店老板每辆最多可以降价160元..........（1分）

答：商店老板每辆最多可以降价160元.

20.（6分）如图：已知等边△ABC中，。是NC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD,

DM工BC,垂足为M.

⑴求NE的度数.

（2）求证：点M是3E的中点.

【详解】（1）解：.••三角形Z3C是等边△N8C,

ZACB=ZABC=60°,.......................（1分）

又；CE=CD,

：.ZE=ZCDE,.........................（1分）

又一：/ACB=NE+NCDE,

:.ZE=^ZACB=30°；.........................（1分）

（2）证明：连接BD,

由(1)知NE=30。

:"DBC=NE=30。

:.DB=DE.........................(1分)

又8C

是BE的中点...........(1分)

21.(6分)从燃油车时代的"市场换技术"，到新能源汽车赛道的突飞猛进，中国在全球汽车产业的地位不

断提高，众多中国车企正积极融入全球产业链，与其他国家共享绿色发展最新成果.现有一款新能源汽车

在充满电后，汽车行驶的路程x(km)与剩余电量八kW.h)之间满足一次函数关系.该汽车每公里耗电0.1

kW-h,汽车行驶了100km时剩余电量为40(kW.h),为保证汽车内电子系统的正常工作，当电量低于2

kW-h时，汽车将无法正常行驶.

⑴求y(kW-h)与x(km)之间的函数表达式；

(2)该款汽车充满电后最多可以行驶多少千米？

【详解】(1)解：•••该汽车每公里耗电0.1kW-h,汽车行驶了100km时剩余电量为40(kW-h),

•••新能源汽车在充满电后的电量为40+0.1x100=50(kW-h),......................(1分)

3（kW.h）与x（km）之间的函数表达式为y=-O.lx+5O.（2分）

（2）•.•当电量低于2kW-h时，汽车将无法正常行驶.

.­--0.1x+50>2,............（2分）

解得XW480

;该款汽车充满电后最多可以行驶480千米............（1分）

x+y=-/-m

22.（7分）已知方程组a的解满足x为非正数，y为负数.

[x-y=1l+3m

⑴求m得取值范围.

⑵在冽的取值范围内，当m为何整数时，不等式2加x+x<2加+1的解为.

x+y=-7-m®

【详解】（1）解:

x-y=l+

①+②得：2x=2m-6f解得工二加一3,

把工=加一3代入①得：m-3+y=-l-m,解得y=-2加一4,

x=m-3

・•.方程组的解为（1分）

y=-2m-4

,・•％为非正数，y为负数,

x<0,y<0,

Jm-3<0

\-2m-4<0（2分）

解得-2<m<3,

:.m的取值范围是—2〈加43............（1分）

（2）解：将不等式2加x+x<2机+1整理，得（2加+l）x<2加+1,

•••其解集为工>1，...........（1分）

2m+1<0,

解得加<一）

/.-2<m<--................（1分）

2

结合冽取整数，可得加=-1,

即当机=一1时，不等式2加x+x<2加+1的解集为x>l...........（1分）

23.（7分）如图，直线心切=履+。（后wO,a为常数）分别交x轴，了轴于点/（-2,0）,3（0,1）.直线

l2:y2^-2x+b（b为常数）分别交x轴，V轴于点C,。，与直线4相交于点E,已知O2=goC.

⑵求当必>％时，尤的取值范围.

【详解】(1)解：根据题意把/(-2,0),3(0,1)代入4：弘=丘+a,

1—2左+(7=0

得1,

\-L

解得21...........(2分)

6Z—1

・・・直线4的表达式为必=；X+1；.........(1分)

(2)解：•••2(0,1),

■：OB=-OC,

3

OC=3OB=3,

・・・。(3,0),.........(1分)

把。(3,0)代入y2=-2x+6得-6+b=0,

解得6=6,

.•.歹2=-2%+6,..........(1分)

解不等式+1〉-2x+6得%>2,

即必>为时，%的取值范围为％>2.（2分）

24.（7分）如图，在中，AC=BC,ZACB=120°,C。是边上的中线，8D的垂直平分线E尸交

BC于点、E,交于点尸，点G是/C上一点，且/CDG=15。.

⑴求证：AG=BD；

(2)若£F=1,求/C的长.

【详解】(1)证明：在A/8C中，AC=BC,ZACB=12Q°,

//=NB=g(180°-ZACB)=30°,

•••CD是边N8上的中线，

CD1AB,AD=BD,ZACD=ZBCD=-ZACB=60°,

2

.■.ZADC=90°,.......................(2分)

・・・/CDG=15。，

ZADG=/ADC-ZCDG=75°,

ZAGD=180°-(//+ZADG)=180°-(30°+75°)=75°,

:./ADG=/AGD=75°,

AG=AD,

AG=BD；.......................(2分)

(2)解：・.•川是线段的垂直平分线，

:.DE=BE,EFIBD,

/EDB=NB=30。,

・•.NCED=NEDB+NB=60。,....................(1分)

-ZBCD=6Q°,

・・.△COE为等边三角形，

CE=DE,

；.CE=BE,

在RMB跖中，EF=T,/B=30。,

BE=2EF=4,

；.CE=BE=4,

；.BC=CE+BE=4,

：.4C=BC=4........................（2分）

25.（8分）如图，在等腰△4BC中，AB=AC=4,N8=NC=40。，点。在边8C上运动（点。不与点5,

C重合），连接4D,作ZADE=40。，■交边NC于点£.

(1)若£^=4时，求证：AABD咨ADCE；

⑵在点。的运动过程中，若以DE为其中一腰长的△/OE是等腰三角形时，求出此时/班必的度数.

【详解】(1)证明：•；NADC=NB+NBAD,ZADC=ZADE+ZCDE,ZB=ZADE=40°,

:./BAD=NCDE,.......................(1分)

•1.AB=AC=4,DC=4,

AB=DC,

在△42。和△DCE中，

ZBAD=ZCDE

<AB=DC,

ZB=ZC

.•.A48Z)乌ADCE(ASA)；.......................(2分)

(2)解：分两种情况：

①当//)=£)£1时，ADEA=ZDAE=1(180°-ZADE)=1x(180°-40°)=70°,

■：ZDEA^ZC+ZEDC,.......................(1分)

NEDC=NDEA-NC=70°-40°=30°,

ABDA=180°-ZADE-ZEDC=180°-40°-30°=110°；.......................(1分)

②当/E=DE时，ZADE=ZDAE=40°,

ZAED=180°-(ZADE+ZDAE)=180°-(40°+40°)=100°,...................（1分）

:NDEA=NC+NEDC,

NEDC=ADEA-ZC=100°-40°=60°,

ABDA=180°-ZADE-ZEDC=180°-40°-60°=80°；.....................（2分）

综上所述：当△4DE是等腰三角形时，的度数为80。或110。.

26.（10分）（1）发现：如图1,点/为