2024-2025学年吉林省长春某中学九年级（下）开学数学试卷

2024-2025学年吉林省长春外国语学校九年级（下）开学数学试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）已知有理数a,6在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

----------------------------1---------

b0a

A.ab>0B.a-b<0C.a+b>0D.|Z?|>|a|

2.（3分）如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（）

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a2,a5=ai0B.（a3）4=5a7

C.（-2a）3=-6a3D.（-a3）2—a6

4.（3分）将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是

（）

A.y=x2-2x-3B.y=x2+2x-3

C.尸（x-2）2-3D.尸（x+2）2-3

5.（3分）如图，若将绕点。逆时针旋转60°后与重合，则下列角一定等于60°的是（）

第1页（共28页）

A./CONB.ZAONC.ZAOCD.ZAOM

6.（3分）如图，在中，NACB=90：判断以下结论错误的是（）

A./BDE=/BACB.NBAD=NBC.DE=DCD.AE=AC

7.（3分）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳45到地面,

如图所示.已知彩旗绳与地面形成25。角（即NR4C=25°）（即/C=32米），则彩旗绳45的长度为

A.32sin25°米B.32cos25°米

C•舍米D•十米

8.（3分）如图，点/的坐标为（1,0）,点8的坐标为（0,2）yjL（k>0,x>0）的图象上，AC±AB,

交反比例函数于点且CQ=2Z5（

C.15D

T-f

二、填空题（每题3分，共18分）

第2页（共28页）

9.（3分）单项式lerb的次数是.

10.（3分）如果J右有意义，那么x的取值范围是.

11.（3分）满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，到去年11月份其中藏书

数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为x,请列出方程.

12.（3分）若正多边形的半径与边心距的夹角为20°,则该正多边形的边数为.

13.（3分）如图，将四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到四边形AEFG,点D经过的路径为弧DG.若

AD=4______________________

14.（3分）如图，在矩形48CD中，E是4D边的中点，Z）G_L/C于G.连结DF.下列四个结论中正确

的有.

①△MW；②③DF=BF；④S四边形会

O乙

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（6分）先化简，再求值：0（1」-）,其中方如-&

16.（6分）甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有/、C、。三个出口，请用树

状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率.

17.（6分）列分式方程解应用题：

为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品.在购买

跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？

18.（7分）如图，在矩形48CD中，AC,AE//BD,BE//AC.

（1）求证：四边形/匹。是菱形；

（2）若/B=2,OB=3,则四边形NEBO的面积为.

第3页（共28页）

19.（7分）图①，图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的

直尺，在给定的网格中，保留作图痕迹.

（1）在图①中的NC边上找一点D,连接AD,使得△NAD的面积等于△A8C面积的寺；

（2）在图②中的的内部找一点E,连接/£、BE,使得的面积等于面积的a；

（3）在图③中的A/BC的内部找一点尸，连接NRBF、CF,使得A4BF

20.（7分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、

刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，某校甲、乙两个校

区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科

普知识竞赛.为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，并整理成部分信息如下：

a.乙校区学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为5组：650<80；80Wx<85；85Wx<90；90W

x<95；95Wx<100）：

b.乙校区的学生成绩数据在90Wx<95这一组的是:

91919294

c.两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示:

校区平均数中位数方差

甲校区89.388.542.6

乙校区89.3m87.2

根据上述信息，解答问题：

（1）m—；

（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是校区，成绩更整齐

的是校区（填“甲”或"乙”）；

第4页（共28页）

（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分.该校计划从两个校区选派成绩不低

于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中人被选中.

7

6

5

4

3

2

1

O

成绩/分

21.（8分）已知甲、乙两地相距1503?,客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀

速前往乙地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离y（碗）（万）之间的函数图

象如图所示.

（1）求客车返回时/与x之间的函数关系式；

（2）求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距100b7?

22.（9分）【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的

内接四边形对角互补”如图①，小明给出了如下证明方法：

证明：连结03、OD.

：所对的弧为曲，ZC所对的弧为氮.

又血和虱所对的圆心角的和是周角.

-ZA+ZC=36^=180°-

同理/A8C+//DC=180°.

这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补.

【应用】如图②，四边形ABCD内接于OO,E为C2延长线上一点，则；

【探究】如图③，四边形NBC/）为。。的内接四边形，/C为。。的直径.DB=DC

（1）求证：NEAD=NCAD；

第5页（共28页）

(2)若2C=24,sin/BAC』，则四边形4BCD的面积为

13

图①图③

23.(10分)如图，在RtZUBC中，AB=5,点、D、£分别是/C、8c的中点，连结。£.点P从点/出

发沿4B以每秒4个单位的速度向终点2运动

(1)求线段DE的长；

(2)当口「£。0为矩形时，求矩形尸助。的周长；

(3)连结尸C.

①当尸C将△NBC的面积分成1：2的两部分时，求/的值；

②作点/关于直线尸C的对称点，记为H.当为'与A/BC的边垂直时，直接写出/的值.

24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+bx+c与x轴的两个交点分别为/(1,0),B(3,

0),顶点为C,与y轴交点为。.点尸是抛物线上一个动点

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)过点。作垂直抛物线的对称轴于点£,求tan/OCE的值；

(3)设抛物线在尸、/两点之间的部分图形为G(包含P、/两点)，设图象G的最高点与最低点的纵

坐标之差为d,当2W1W4时；

(4)已知平面内一点。的坐标为(m+1,-m),点河的坐标为(m,-〃?)，连结PM、QM,或者y

随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.

第6页(共28页)

第7页（共28页）

2024-2025学年吉林省长春外国语学校九年级（下）开学数学试卷

参考答案与试题解析

题号12345678

答案DADCABDA

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）已知有理数q,b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

-------------------'------

b0Q

A.ab>0B.Q-Z?<0C.a+b>0D.|臼〉同

【解答】解：由图可知:b<0<a,\b\>\a\；

/、ab<0,不符合题意；

B、a-b>5,不符合题意；

C>a+b<0,不符合题意；

。、以〈同，符合题意；

故选：D.

2.（3分）如图是由5个大小相同的小立方块搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（）

第8页（共28页）

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.a2,a5—a10B.（a3）4—a7

C.（-2a）3=-6a3D.（-tz3）2=a6

【解答】解：/、计算结果是。7,故原选项计算错误，不符合题意；

B、计算结果是/2,故原选项计算错误，不符合题意；

C、计算结果是-8a2,故原选项计算错误，不符合题意；

D、（-.3）2=04,故原选项计算正确，符合题意；

故选：D.

4.（3分）将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是

（）

A.y=x2-2x-3B.y=x2+2x-3

C.y—（x-2）2-3D.y—（x+2）2-3

【解答】解：将二次函数y=d的图象向右平移2个单位，再向下平移5个单位后2-3.

故选：C.

5.（3分）如图，若将绕点。逆时针旋转60°后与重合，则下列角一定等于60°的是（）

A.ZCONB.ZAONC.ZAOCD.ZAOM

【解答】解：与△£加重合，。与N是对应点，

.•.一定等于60°的是/CON.

故选：A.

6.（3分）如图，在RtZXNBC中，ZACB=90°,判断以下结论错误的是（）

第9页（共28页）

A

为/E

CDB

A.ZBDE=ABACB./BAD=NBC.DE=DCD.AE=AC

【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，

可以理解成是平角ZAEB的角平分线，

：.DE.LAB,4D是NA4c的平分线，

VZC=90°,

：.DE=DC,NB+NBDE=/B+/B4c=90°,

：.NBDE=ABAC,

在RtA4ED和RtA^CD中,

[AD=AD,

1DE=DC'

/.RtAAED^RtAACD（HL）,

C.AE^AC,

不是48的垂直平分线，故不能证明48/。=/3,

综上所述：A,C,。不符合题意，

故选：B.

7.（3分）学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳工3到地面,

如图所示.已知彩旗绳与地面形成25。角（即NR4C=25°）（即NC=32米），则彩旗绳N3的长度为

（）

A.32sin25°米B.32cos25°米

C.___22__1米D.___32_米1

sin25°cos250

【解答】解：如图，由题意得，//=25°,

在RtAy45C中，

cos4=^-,

AB

第10页（共28页）

AB=AC=32(m),

cosAcos250

故选：D.

8.点3的坐标为（0,2）yjL（k>0,x>0）的图象上，AC±AB,

2AB()

D

99-¥

【解答】解：如图，过点。作轴于过点。作CGLQT于G.

・・,点4的坐标为（1,0）,7）,

OA=\,05=2,

U：ACLAB,

：.ZAOB=ZBAC=ZAHC=90°,

AZBAO+ZCAH=90°,ZCAH+ZACH=90°,

・•・NBAO=NACH,

：.△BOAsAAHC,

第11页（共28页）

・OA=OB,

..而AH，

：.AH=2CH,

设CH=m,AH=2m,

则OH=OA+AH=l+6m,

C(1+2冽,m),

■:CD〃AB,CG//OA,

：.NDCG=/BAO,

■:NDGC=/BOA=90°,

・・・△BOAsADGC,

.OB_0A，=_2

*'GD"GC'CD

・・・CG=2,DG=7,

VZCGT=ZDTH=ZCHT=90°,

・•・四边形CG777是矩形，

AGT=CH=m,TH=CG=2,

：.DT=GT+DG=m+4,OT=OH-TH=3+2m-2=2m-1,

:・D(2m-7,m+4),

■：D,C在反比例函数yJZ上，

X

(l+2m)9m=(2m-1)•(加+7),

解得m=2，

故选：A.

二、填空题（每题3分，共18分）

9.（3分）单项式201b的次数是3.

【解答】解：单项式2a2方的次数为：5+1=3,

故答案为：8.

10.（3分）如果泥彳有意义，那么x的取值范围是xW2

【解答】解：•••加^有意义,

第12页（共28页）

，2-x23,

解得：xW2.

故答案为：xW2.

11.（3分）满足师生阅读需求，学校建立“阅读公园”，并且不断完善藏书数量，到去年H月份其中藏书

数量增长到7200册，设该校这两个月藏书的月均增长率为x,请列出方程5000（1+x）2=7200.

【解答】解：设该校这两个月藏书的月均增长率为X,

根据到去年11月份其中藏书数量增长到7200册得，5000（1+x）2=7200,

故答案为：5000（4+x）2=7200.

12.（3分）若正多边形的半径与边心距的夹角为20°,则该正多边形的边数为9.

【解答】解：•••正多边形的半径与边心距的夹角为20°,

•••正多边形的中心角为40°,

该正多边形的边数为360°=9,

40

故答案为：9.

13.（3分）如图，将四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°后得到四边形AEFG,点D经过的路径为弧DG.若

【解答】解：•.,将四边形/BCD绕点/逆时针旋转30°后得到四边形/EFG,

•・S四边形4SCZ）=S四边形4GFE，4G=4/）=4,

图中阴影部分的面积=S扇形NG=迎工"i=£，

3603

故答案为：旦TT.

3

14.（3分）如图，在矩形48CD中，E是4D边的中点，DG_L/C于G.连结。足下列四个结论中正确

的有①②⑷.

①△"£"八。很②®DF=BF；④S四边形eEFqS△妞F.

O乙

第13页（共28页）

【解答】解：・・•四边形为矩形,

：.AD=BC,AD//BC,

U：AD//BC,

：.NEAC=NACB,

U：BE.LAC,

：.ZAFE=90°,

■:/AFE=/CBA,/EAF=/BCA,

:.AAEFsACAB,所以①正确；

9：BE.LAC,DGLAC,

：.EF//DG,

•・•AF——AE,

AGAD

而£是4D边的中点，

:.AE=1AD,

2

:.AF=1AG-,

2

'：AE=1AD,

7

：.AE=1£C,

2

AAEFs^CFB,

•••AF，_-A---E_3

CFBC2

•；AF=FG,

：.AF=FG=CG,

：.DG垂直平分CR

：.DC=DF,

：・DF=AB,

•；BF<AB,

第14页（共28页）

：.BF<DF,所以③错误；

设AAEF的面积为S,则S“E尸=S,

•♦S^DFG=SADCG=SADAF=2S,

；AAEFsACFB,

•••E--F_...A..E._5—f

BFBC2

S^ABF：S^AEF—1：4,

即S“BF=2S,

••S四边形CDEF：S/\ABF~(S+2S+8S):2S,

S四边形CDEF=/5入489.所以④正确•

故答案为：①②④.

三、解答题(本大题共10小题，共78分)

15.(6分)先化简，再求值：其中m=正-&

m-9m-3

【解答】解：原式一H一^m^+3

(m+3)(m-3)m-3

=m.irr3

(m+8)(m-3)m

=2.

m+3

当m=M-2时〒J：——=1.

V3-7+33

16.(6分)甲、乙两个人乘坐轨道交通6号线，在长影世纪城站下车，现有/、C、。三个出口，请用树

状图或表格法求甲、乙两人走同一出口的概率.

【解答】解：列表如下：

AcD

A(A,A)(4,C)CA,D)

CCC,A)(C,C)(C,D)

D(D,/)QD,C)3,D)

共有9种等可能的结果，其中甲，

...甲、乙两人走同一出口的概率为3』.

23

17.(6分)列分式方程解应用题:

第15页(共28页)

为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品.在购买

跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低10元，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？

【解答】解：设甲种跳绳的单价为X元，则乙种跳绳的单价为(x+10)元，

由题意得：1600=2100,

xx+10

解得：x=32,

经检验，x=32是原方程的解，

则x+10=42,

答：甲种跳绳的单价为32元，乙种跳绳的单价为42元.

18.(7分)如图，在矩形48CD中，AC,AE//BD,BE//AC.

(1)求证：四边形/即。是菱形；

(2)若/B=2,OB=3,则四边形NEBO的面积为4、万.

：.四边形/匹。是平行四边形，

:四边形/BCD是矩形，AC,

:.OA=OC=XAC^BD,

22

：.OA=OB,

二四边形/防。是菱形.

(2)解：连接OE交A8于点尸，

:四边形/£3。是菱形，AB=2,

C.ABLOE,AF=BF=ZOF=EF,

2

：.ZOFB=90°,

OF=7OB2-BF3=VS2-72=2Vs，

：.OE=2OF=4。

•s眄边形AEBO=LAB*OE=

22

故答案为：477.

第16页(共28页)

19.（7分）图①，图②、图③均是4X4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的

直尺，在给定的网格中，保留作图痕迹.

（1）在图①中的NC边上找一点。，连接AD,使得的面积等于△/2C面积的高；

（2）在图②中的的内部找一点E,连接/£、BE,使得的面积等于面积的/；

（3）在图③中的A/BC的内部找一点尸，连接NRBF、CF,使得A4BF

（1）图①：点。即为所求;

（2）图②：点E即为所求;

（3）图③：点厂即为所求.

20.（7分）2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站的问天实验舱开讲，“太空教师”陈冬、

刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来一场精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，某校甲、乙两个校

区的八年级所有学生（两个校区八年级各有200名学生）参加了“格物致知叩问苍穹”为主题的太空科

普知识竞赛.为了解八年级学生的太空科普知识掌握情况，并整理成部分信息如下：

a.乙校区学生成绩的频数分布直方图如图（数据分为5组：65Wx<80；80Wx<85；85Wx<90；90W

x<95；95^x<100）：

b.乙校区的学生成绩数据在90Wx<95这一组的是:

91919294

第17页（共28页）

C.两个校区学生成绩的平均数、中位数、方差如下表所示:

校区平均数中位数方差

甲校区89.388.542.6

乙校区89.3m87.2

根据上述信息，解答问题：

（1）m=91；

（2）对于抽取的八年级学生竞赛成绩，高于本校区平均分的人数更多的是乙校区,成绩更整齐的

是甲校区（填“甲”或"乙”）；

（3）抽样调查中，两个校区共有30%的学生竞赛成绩不低于95分.该校计划从两个校区选派成绩不低

于95分的学生参加全区的竞赛，估计参赛的八年级学生中50人被选中.

【解答】解：（1）中位数是第10个和第11个数的平均数，加=旦理_；

2

故答案为：91；

（2）•甲校区的中位数小于平均数，乙校区的中位数大于平均数，

...高于本校区平均分的人数更多的是乙校区，

•••甲校区的方差小于乙校区的方差，

，成绩更整齐的是甲校区；

故答案为：乙，甲；

（3）:两个校区竞赛成绩不低于95分共有400X30%=120（人），乙校区成绩不低于95分的学生有

200X_L,

20

•••甲校区成绩不低于95分的学生有120-70=50（人），

故答案为：50.

21.（8分）已知甲、乙两地相距150筋7,客车、货车两车同时分别从甲、乙两地相向而行，客车从甲地匀

速前往乙地，货车从乙地匀速前往甲地，客车、货车两车与甲地之间的距离y（物?）（人）之间的函数图

第18页（共28页）

象如图所示.

(1)求客车返回时V与X之间的函数关系式；

(2)求两车第一次相遇后，再经过多长时间，两车之间相距100筋7?

【解答】解：(1)客车从甲地开往乙地的速度为：60+1=60(km/h),

货车的速度为(150-60)+1=90(km/h\

由图可知，客车从甲地开到乙地需要150+60=6.5(〃)，

即点C的坐标为(2.5,150),

设客车返回时y与x之间的函数关系式是y=foc+6(后W0),

把C(2.7,150),0)代入得：8k+b=150,

l4k+b=0

解得尸I。。，

lb=400

客车返回时y与x之间的函数关系式是y=-100x+400(5.50W4)；

(2)设客车、货车两车相距100千米时，

根据题意得：(90+60)x=150-100或(90+60)x=150+100或-100x+400=100,

解得x=Z或8或3,

36

•.•因为两车第一次相遇后时间大于1小时，

.,.X=-^B£3,

3

此时x-4=2或6,

3

两车第一次相遇后，再经过2,两车之间相距io。

3

22.(9分)【问题原型】小明在学习华师版教材九年级下册第二十七章时遇到这样一个问题：“求证：圆的

内接四边形对角互补”如图①，小明给出了如下证明方法：

证明：连结。3、OD.

：所对的弧为血，ZC所对的弧为施.

第19页(共28页)

又BCD和BAD所对的圆心角的和是周角.

ZA+ZC=-^—=180

这样，利用圆周角定理，我们得到了圆内接四边形的一个性质：圆的内接四边形对角互补.

【应用】如图②，四边形48CD内接于E为C8延长线上一点，贝此48£=110。

【探究】如图③，四边形48CD为。。的内接四边形，/C为。。的直径.DB=DC

(1)求证：ZEAD=ZCAD；

(2)若5c=24,sin/BAC』，则四边形/8C〃的面积为276.

【解答】【应用】解：•..四边形48CD内接于O。,

AZABC+ZD=}SO°,

VZABE+ZABC^ISQ°,

?.ZABE=ZD=nO°.

故答案为：110°；

【探究】（1）证明：

NDBC=/DCB,

'：ZDBC=ZCAD,

：.ZCAD^ZDCB.

..•四边形/BCD为。。的内接四边形，

ZBAD+ZDCB=18O°,

VAEAD+ABAD=\^°,

NEAD=NDCB,

第20页(共28页)

・•・ZEAD=ZCAD；

(2)解：・・2C为。。的直径，

AZABC=90°,

iBAC=-^-=—»

si必n,血13AC

设5C=12K则4C=13k

・・・12左=24,

:・k=2,

・・・/C=13K=26,

•••4B=7AC2-BC3=V266-247=1°-

为。。的直径，

ZADC=ZADE=90°.

在△/£>£和△4DC中，

，ZADE=ZADC

'AD=AD-

,ZEAD=ZCAD

:.AADE咨LADC(ASA),

；.4E=4C=26,ED=CD,

：.BE=AB+AE=10+26=36,

,••EC=7BE2+BC2=7362+542=12V13，

ED=CD=2.EC=6-Jl3,

2

；•/D=VAE8-ED2=V252-(6V13)6=4V13.

四边形/BCD的面积

=1小50+工

32

第21页（共28页）

=2x10X24+Lx4/X6A/13

22

=120+156

=276.

故答案为：276.

23.（10分）如图，在Rt/\48C中，AB=5,点。、E分别是/C、2。的中点，连结DE.点尸从点/出

发沿AB以每秒4个单位的速度向终点B运动

（1）求线段的长；

（2）当口FED。为矩形时，求矩形PED0的周长；

（3）连结PC.

①当尸。将△/8C的面积分成1：2的两部分时，求才的值；

②作点/关于直线PC的对称点，记为H.当为'与△/2C的边垂直时，直接写出/的值.

【解答】解：(1)：/8=5,点。、8C的中点，

：.DE=1^4B=1A,

522

...线段。£的长是金.

8

(2)•..四边形是平行四边形，点尸在上,

.•.点0在直线上，

如图1,CJPEDQ为矩形,

由题意得乙4c8=90°,AB=5,

BC=VAB7-AC2=458-32=3,

VsitL4=M=B£=A,ZD=旦工X3=2,

ADAB5256

.•.尸£=。。=生4。=匡*3=2，

5555

:PQ=DE=J,

：.PE+DQ+PQ+DE=2DQ+4DE=2X且+2X2=WL,

545

第22页（共28页）

，矩形PEDQ的周长是日.

(3)①如图5,PC将△NBC的面积分成1：2的两部分△we：SMPC=4：2,则/P：BP=l：8,

；./尸=148=上^*5=且

1+7333

:点P从点/出发沿以每秒4个单位的速度向终点2运动，

.\AP=3t,

4/=—,

6

解得/=旦；

12

如图3,尸C将△48C的面积分成4：2的两部分△BPC：S^APC=\-8,贝|BP：AP=1：2,

；.4P=—^—=工/B=21°,

1+2353

；.4/=旦

8

解得片旦

6

综上所述，/的值为工或互.

126

@t的值为旦或3或2，

4320

理由：如图4,PA'VAC,连结H。交于点心

:点与点/关于直线尸C对称，

.♦.PC垂直平分HA,

：.PA'=P4,CA'=C4,

APA'A=APAA',/CA'A=ZCAA',

：.ZCA'A-ZR4'A^ZCAA'-ZPAA',

：.ZCA'P=ZCAP,

'：ZA'PL=/APF,ZAFP=90°,

：.ZCLP=ZCA'P+ZA'PL=ZCAP+ZAPF=90°,

平分CA,PLLCA',

：.PL=PF,

VsinZBAC=H.=区=生

APAB3

：.PL=PF=^AP,

5

第23页（共28页）

：COS/2/C=^=£=刍，

ACAB5

:.AL=1AC='H~,

855

，4什2X4f=3,

55

解得片上

6

如图5,PA'VBC,

'：AC±BC,

：.PA'//AC,

：