河北省金科大联考2025届高三下学期3月质量检测数学试卷 含解析

金科大联考·届高三3月质量检测数学全卷满分分，考试时间分钟．注意事项：．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．．选择题用铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则复数z的模为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由复数除法结合复数模计算公式可得答案.【详解】由，有．故选：B2.已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.第1页/共18页【答案】A【解析】【分析】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件，分析得到，再列出不等式组，求解即可.【详解】由解得，故，因为“”是“”成立的充分不必要条件，所以，所以有，解得，故选：A.3.小张从超市买了4袋食盐，每袋食盐的标准重量是500克，为了了解这些食盐的重量的情况，称出各袋的重量分别为501克，499克，498克，502克，则这4袋食盐重量的方差为（）A.4B.3.5C.3D.2.5【答案】D【解析】【分析】根据平均数、方差的计算方法计算出正确答案.【详解】这4袋食盐的重量的平均数为，方差为．故选：D4.已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（）A.B.C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的定义计算基本量即可.【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，有，可得第2页/共18页．故选：B．5.已知向量，，其中，，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示及向量模的坐标表示列式，再利用基本不等式求出范围.【详解】由向量，得，当且仅当时取等号，而，所以的取值范围为.故选：C6.已知函数的定义域为，，，都有，且，则（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】赋值法得到，，，，从而【详解】因为，，所以，第3页/共18页又，有，又由，有，故，．故选：A．7.已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用判别式等于0来判断直线与椭圆相切，从而可得到齐次等式来求离心率.【详解】联立方程消去y后整理为，有，整理可得，由，有，可得．故选:B．8.已知存在实数a，b，使得函数在区间上的值域与函数在区间上的值域相同，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，将问题转化为关于x方程有两个不相等的实数根问题，然后分离参数，构造函数，求导得到其值域，即可得到结果.第4页/共18页【详解】由，可得函数单调递增，又由函数单调递增，有，即关于x的方程有两个不相等的实数根，可化为．令，有，可得函数的增区间为，减区间为．又由，，当时，，故若函数的图象与直线有两个交点，则实数m的取值范围为．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列各式中，值是的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】ABC函数的和差角公式即可判断D.【详解】对于A，由，故A正确；第5页/共18页对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：AC．10.下列选项中，正确的是（）A.80%率为90%．加工出来的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件数分别占40%，60%，从所有零件中任取一个零件，则这个零件是合格品的概率为0.88B已知事件A，B满足，，，则C.若事件满足，且，则A与B相互独立D.若随机变量，且，，则的最小值为16【答案】BCD【解析】【分析】对于A选项，根据全概率公式计算即可判断；对于B选项，根据公式，求出的值即可判断；对于C选项，只须判断A与BD，再利用基本不等式，求出的最小值即可判断.【详解】对于A选项，由全概率公式，这个零件是合格品的概率为，故A选项错误；对于B选项，由，有，可得，故B选项正确；对于C选项，由，有，第6页/共18页可得A与B相互独立，故C选项正确；对于D选项，由正态分布可知，，所以，且，所以，当且仅当，即，时取等号，故D选项正确．故选：BCD．已知抛物线的准线方程为P为抛物线O为坐的焦点F作直线OP的平行线与抛物线交于ABAOP和AB分别与抛物线的准线相交于M，N两点，则（）A.B.若抛物线的准线与x轴相交于点T，则M是线段TN的中点C.D.若直线PF与抛物线交于另一点Q，则直线轴【答案】ABD【解析】【分析】由准线方程求出，即可判断A；设直线的方程为，则直线的方程为得到、BC；求出的坐标，即可判断D.【详解】对于A，由抛物线C的准线为，有，可得，故A正确；对于B，设直线的方程为，由，可得直线的方程为，令可得点的坐标为，点的坐标为，又，所以是线段的中点，故B正确；第7页/共18页对于C，联立方程，可解得点P的坐标为，有．联立方程，消去y后整理为，有，有，可得，故C错误；对于D，由，可得，，可得点的坐标为，又由点M的坐标为，可得直线轴，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.已知圆：和圆：相切，则______．【答案】－1或1或－3或3【解析】【分析】根据圆的标准方程确定两圆圆心与坐标，结合两圆相切的条件及圆心距与半径关系计算即可.【详解】由题意可知：，，，，有，又两圆相切，则有或，可得或－1或1或3．故答案为：－1或1或－3或313.若函数有且仅有两个零点，则正数的取值范围为______．第8页/共18页【答案】【解析】【分析】利用单调性研究函数的零点，再用正弦函数研究区间内唯一零点，从而可得参数范围.【详解】当，由函数单调递增，且，，可得函数在上有且仅有一个零点；又由函数有且仅有两个零点，可知当时，函数有且仅有一个零点，又由，则有，解得．故答案为：.14.如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，E是F是BEF分别为，（其中______．【答案】【解析】【分析】利用台体的体积公式求四棱台的体积，作辅助线，找到平面BEF截该四棱台所得截面，计算有关线段的长度，利用割补法求解.【详解】连接AC，BD相交于点O，连接，相交于点，取的中点M，连接BM与交于点T，与的延长线交于点N，由平面平面，可知M为和的交点，又由，可知，第9页/共18页又由，可得，又由，有，可得，不妨设，，，可得梯形的面积为，又由，，又由，可得，可得四边形的面积为，可得，又由，可得，又由，可得，可得，又由几何图形的对称性可知．四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.在中，内角所对的边分别为，且．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）2或第10页/共18页（2）【解析】1）结合正弦定理及余弦定理求解即可；（2）由正弦定理可得，由，可得，由两角和的余弦公式可求得，再由两角差的余弦公式求解即可.【小问1详解】由正弦定理及，有，又由余弦定理，有，代入，有，整理为，因式分解为，可得或，可得的值为2或；【小问2详解】由正弦定理及，有，又由，有，又由，有，即，代入，有，有.16.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，，M是第11页/共18页PB的中点．（1）证明：平面；（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）通过证明可完成证明；（21平面与平面的法向量，最后由空间向量知识可得答案.【小问1详解】如图，连接BD，与AC相交于点N，因四边形为矩形，对角线BD，AC相交于点N，则，又因M是PB的中点，则，因，，则，因，平面AMC，平面AMC，所以平面AMC；【小问2详解】因为平面平面，，平面平面，平面ABCD，所以平面，则以所在的直线分别为y轴，z轴，过点A，在平面内作AB的垂线为x轴，建立如图所示空间直角坐标系由，，，可得，可得点P的坐标为，第12页/共18页各点坐标如下：，，，，，设平面PCD的法向量为，由，，有，取，，，可得平面PCD的一个法向量为，设平面AMC的法向量为，由，，有，取，，，可得平面AMC的一个法向量为，又由，，，有，故平面PCD与平面AMC的夹角的余弦值为．17.大年初二起“灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众奉上文化大餐．年初二率先登场的《新春京剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英会”，上海昆剧团优秀青余下员卡积12分．假设每位票友观看计第13页/共18页划相互独立，视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均为0．（1）观看结束后，从票友中随机抽取3人，记3人会员卡的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；（2）观看结束后，从票友中随机抽取n个人（nn个人会员卡的合计积分是分的概率为，求数列的前n项和．【答案】（1）分布列见解析，期望为4；（2）.【解析】1）由题可得3人得分的情况为3，4，5，6，然后由题意可得分布列及数学期望；（2，然后由错位相减法可得答案.【小问1详解】由题可得X的值可得为3，4，5，6，则，，，.则分布列如下：3456则；【小问2详解】由题可得合计积分是分时，有可得，，，第14页/共18页则.则，两式相减可得：.则.18.已知点，，直线MA和MB的斜率的乘积为1，点M的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）过点的直线与轨迹C相交于P，Q两点，记直线BP，BQ的斜率分别为，，求的值；（3）在（2）的条件下，证明：直线AP与BQ的交点T在定直线上．【答案】（1）（2）－3（3）证明见解析【解析】1）利用两点斜率公式计算即可；（2）设直线PQ的方程为，及点坐标，联立直线与双曲线方程利用韦达定理及两点斜率公式化简计算即可；（3）利用第二问的结论及条件表达两条直线，联立直线方程计算交点即可.【小问1详解】设点M的坐标为，由直线MA和MB斜率的乘积为1，有，可得．又由，可得轨迹C的方程为；【小问2详解】第15页/共18页由（1）知，∴直线PQ的斜率不为0，故设直线PQ的方程为，点P，Q的坐标分别为，联立方程，消去x后整理为，有，，又由，故；【小问3详解】由直线PA和PB的斜率的乘积为1，可得直线PA的斜率为，可得直线PA的方程为，又由，有，可得直线BQ的方程为，将直线PA和BQ的方程联立消去y，有，解得，可得点T的坐标为，所以直线AP与BQ的交点T在定直线上．第16页/共18页【点睛】思路点睛：第二问求斜率之积，通法为联立直线与圆锥曲线，利用韦达定理化简求值；第三问，直线过定点，一个直接的思路是由第二问结论中的斜率关系，利用点斜式表示直线，联立求交点，根据某一坐标为定值确定定直线.19.已知函数．（1）若恒成立，求实数a的取值范围；（2）若是函数两个零点，证明：；（3）当且时，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】1）分离参数，构造函数，利用导数求其单调性及最值即可；（2）利用比值换元设，将问题转化为证，构造函数求导判定函数的单调性即可证明；（3用累加法计算即可证明.【小问1详解】由恒成立，有恒成立，令，有，解不等式可得，可得函数的增区间为，减区间为，可得的最大