辽宁省重点高中2025届高三下学期一模考试数学试题 含解析

年辽宁高考扣题卷（一）数学注意事项：．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效.．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由交集的运算可得.【详解】由题意可得，所以.故选：B.2.若复数，则（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分别求得，，然后得到结果.【详解】，，∴，故选：C第1页/共22页3.已知，点D满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由图形结合向量的加法法则可得.【详解】.故选：B4.圆台的上、下底面半径分别为2和4，一个球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知作图，然后得到其轴截面，根据题意得到线段长，由切线长得到圆台母线长，由等腰梯形求得梯形的高，即可得到求得半径，然后得到表面积.【详解】如图，则该几何体的轴截面如下：第2页/共22页所以，，∵与圆相切，点切点，∴，过点作与点，∴，∴，则，即球的半径，∴这个球的表面积，故选：D.5.已知实数，则使和最小的实数分别为的（）A.中位数；平均数B.中位数；中位数C.平均数；平均数D.平均数；中位数【答案】A【解析】【分析】结合绝对值的几何意义和二次函数，根据中位数和平均数的定义判断即可.【详解】，表示个绝对值之和，根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值，因为为奇数，所以取的中位数时，有最小值；为关于的一元二次函数，第3页/共22页故当时，有最小值，即为的平均数时，有最小值.故选：A6.已知双曲线，作垂直于x轴的垂线交双曲线于两点，作垂直于y轴的垂线交双曲线于两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题目条件建立方程化简即可求解.【详解】设，则，则由得：，化简得：，即点的轨迹是，故选：C7.若，若为偶函数，则（）A.B.C.0D.2【答案】A【解析】第4页/共22页【分析】先令解得的值，再利用定义检验为偶函数.【详解】，，若为偶函数，则，左右两边同时乘以得，，即，得，解得；检验：当时，，，则，故为偶函数.故选：A8.设函数，若恒成立，则的最小值为（）A.B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】找到的零点可得，构造函数，由导数分析单调性找到最小值即可.【详解】当时，，不满足恒成立；当时，令，可得或，函数的零点为和，因为恒成立，所以，所以，令，则，令，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，第5页/共22页则，所以的最小值为1.故选：D36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中同时满足：①在上是增函数；②最小正周期为的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据函数的解析式结合函数图像变换的规则逐个选项判断即可.【详解】对于选项A，在上是增函数，但不具有周期性，不合题意，A错误；对于选项B，在上是增函数，最小正周期为，符合题意，B正确；对于选项C，，最小正周期为，但在上是减函数，不符合题意，C错误；对于D选项，在上是增函数，最小正周期为，符合题意，D正确.故选：BD10.已知函数，则（）A.有两个零点B.在上是增函数C.有极小值D.若，【答案】BCD第6页/共22页【解析】【分析】令，得到出方程解的个数，然后判断A选项；对函数求导，然后得到函数的递增区间，判断B选项；由函数的单调区间得到函数的极值判断C选项；构造函数，由导函数得到函数的单调性，从而求出当时，的最小值，即能判断D选项.【详解】令，即，∵，∴只有一个解，即函数有一个零点，A选项错误;，令，，∵，∴，∴在上是增函数，B选项正确；在上单调减，在上单调递增，∴函数有极小值，C选项正确；令，，，令，则，，，∴当时，，即在单调递增，∴，即，在单调递增，∴，即，D选项正确.故选：BCD.已知点Q在圆上，中，．则（）A.记的轨迹方程为轨迹：B.的最大值为C.的最小值是D.（点O7【答案】ACD【解析】的A的最值，第7页/共22页从而得到角的范围，判断B选项；由抛物线的性质化简得，由的范围求得结果判断C选项；由图可知当在圆与轴的左交点处时，此时同时取最小，即可判断D选项.【详解】由题意可知，设，过点作轴于点，如图：则，，∴，即，∴，A选项正确；∵由对称性可假设点在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号，所以，∴，B选项错误；，∴，C选项正确；当在圆与同时取最小，∴的最小值为：7，D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知等比数列中，，，则______.第8页/共22页【答案】【解析】【分析】由等比中项的性质和等比数列的性质计算即可.【详解】由等比中项的性质可得，设等比数列的公比为，因为，所以，故答案为：6.13.已知，则_________．【答案】##【解析】【分析】由切化弦结合三角恒等变换和拆角可得.【详解】由可得，，，，，.故答案为：.14.如图1，把一个圆分成n（）个扇形，每个扇形用k种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有种方法．第9页/共22页如图2，有4种不同颜色的涂料，给图中的12个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有_________种（用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用已知条件可计算八个空格染色问题，剩下的可用分步分类计数即可.【详解】染色问题按以下步骤进行：第一步：给染色有4种方法；第二步：给染色，若与的颜色均不同，则可用颜色有3种，根据已知条件可知：种；若与其中一个的颜色相同，则有种方法；若与两个的颜色相同，则有种方法若与其中三个的颜色相同，则有种方法；若与颜色都相同，则有种方法：第三步：给染色，因为已经染了色，所以分以下两类:当与同色，给染色有：种；当与不同色，给染色有：种；利用分类分步原理可得：总有：种，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.的学习研究小组设计创新性学习活动，用来研究学生在创新性学习活动中体验到心流是否与性别有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生在创新性学习活动中体验到心流”，“抽取的学生为第10页/共22页女生”，．（1）求和，并解释所求结果大小关系的实际意义；（2）为进一步验证（1）中的判断，该研究小组用分层抽样的方法在该地抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握肯定（1）中的判断，试确定k的最小值．参考公式及数据：，．0.010.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1）答案见解析（2）4【解析】1）由对立事件的概率公式结合条件概率、全概率公式计算即可；实际意义由题干中结合所求概率可得；（2）完成列联表，计算卡方可得.【小问1详解】因为，所以由对立事件概率公式关系可得代入，所以，由全概率公式可得，即，所以.说明学生在创新性学习活动中是否体验到心流与性别有关.第11页/共22页【小问2详解】完成列联表如下：学生体验到心流学生未体验到心流合计男生女生总计，所以，所以的最值小值为4.16.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（1）求证：；（2）若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1角的范围即可证明；（2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，在中利用正弦定理求得关于角的表达式，构造函数，利用函数的单调性求解即可.小问1详解】因为，由正弦定理有：，所以，，，，第12页/共22页因为、，所以，又因为，所以，所以，因为，所以有：，，或，所以得证.【小问2详解】因为是锐角三角形，，所以，所以，解得，因为为的平分线，且，所以，所以，在中，，，由正弦定理有：，即，所以，因为，所以，令，则，，令，，根据函数解析式，上单调递减，第13页/共22页因为，，所以，所以.17.已知函数．（1）讨论函数在区间上的单调性；（2）证明：函数在上有两个零点．【答案】（1）在单调递增，在单调递减．（2）证明见解析【解析】1）求导，即可根据导数的正负求解，（2）根据三角函数的性质，结合导数即可求解函数的单调性，即可求解.【小问1详解】由函数，可得，当时，令，可得，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在单调递增，在单调递减．【小问2详解】，则，当时，故，此时在单调递增，第14页/共22页当时，记，则，由于，则故，因此在单调递减，由于，故存在唯一的使得，当单调递增，当单调递减，综上知：在单调递增，在单调递减，且，因此在上有两个零点.18.如图，在直三棱柱中，，，为的中点．的面积为；请从条件①、②中选择一个条件作为已知，并解答下面的问题：条件①：；条件②：点到平面的距离为．（1）求平面与平面夹角的余弦值；（2）点是矩形（包含边界）内任一点，且，求与平面所成角的正弦值的取值范围．【答案】（1）（2）第15页/共22页【解析】1）建立空间直角坐标系，根据已知条件，确定底面三角形得边长，再利用空间向量的方法求二个平面所成角即可；（2）根据已知条件分析确定点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设出点坐标，根据已知条件求出，利用空间向量的方法求出与平面所成角的正弦值表达式，根据范围即可求解.【小问1详解】根据题意建立如图所示以为坐标原点，、、为、、轴的空间直角坐标系，设，，因为三棱柱为直三棱柱，所以侧面为矩形，所以为直角三角形，，因为三楼柱为直三棱柱，所以平面，平面，所以，又因为，平面，平面，，所以平面，平面，所以，所以为直角三角形，因为的面积为，所以，若选条件①：，，，，，，第16页/共22页，，因为，所以，即，解得，代入，解得，所以，，，，，，设平面的法向量为，，所以，令，解得，所以，，设平面的法向量为，，所以，令，解得，所以，设平面与平面夹角为，所以，所以平面与平面夹角余弦值为：.若选条件②：点到平面距离为，，，，，第17页/共22页，，，设平面的法向量为，所以，，令，解得，所以，因为点到平面的距离为，所以，即，解得，代入，解得，所以，，，，，，设平面的法向量为，，所以，令，解得，所以，，设平面的法向量为，，所以，令，解得，所以，设平面与平面夹角为，第18页/共22页所以，所以平面与平面夹角余弦值为：.【小问2详解】取中点，连结、，则，因为，，所以，在，，所以，，平面，平面，所以，平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以，因为，，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设，则,，，因为，，所以，整理得：，由（1）知，平面的法向量为，设与平面的夹角为，则第19页/共22页，因为，所以，所以与平面所成角的正弦值的取值范围为.19.已知曲线“2~1椭圆群”．（1）若“2~1椭圆群”中的两个椭圆，对应的分别为，如图所示，直线与椭圆依次交于M，N，P，Q四点，证明：．（2）当时，直线与椭圆在第一象限内的交点分别为，设．（i）求证：为等比数列，并求出其通项公式；（ii）令数列，求证．【答案】（1）证明见解析；（2i）证明见解析，ii）证明见解析.【解析】1）根据题意联立方程组，利用韦达定理表示交点横坐标之和，可发现线段的中点与线段中点重合，根据线段长度的减法可证得结论；（2i）根据题意联立方程组，求出点和的横坐标，利用两点间距离公式求得，即证得结第20页/共22页ii）由已知条件得到，利用放缩法构造出