2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷（湘教版必修第二册）（全解全析）

2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷

(湘教版2019必修第二册)

(考试时间：120分钟,分值：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：湘教版(2019)必修第二册第1-2章平面向量+解三角形+三角恒等变换。

5.难度系数：0.68o

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设一书为非零向量,则“|司=同”是%=铲的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若同=|山，则乙刃模长相等，但它们的方向可以不同，故石=石不一定成立，

故同=国得不到五=b,

若五—b,则同=\b\,

故“|同=同”是％=例的必要不充分条件，

故选：B.

2.cosl05°cos45°+cosl5°sin45°=()

A--孚B-"C-1D•苧

【答案】C

【详解】cosl05°cos45°+cosl5°sin45°=cos(90°+15°)cos45°+cosl5°sin45°

=—sinl50cos450+cosl50sin450=sin450cosl50—cos450sinl50

=sin(45°-15°)=sin30°=

故选：C.

3.在△ABC中，|四|=|而|=|说+而I，则△48。是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【详解】由题意可得|同|=\BC\=\AC\,则△口(7为等边三角形.

故选：B.

4.向量a=(sinx,cosx),b=(V3,l)>若五〃5,则tanx=()

A.V3B.-V3C.D.-

【答案】A

—>

【详解】因为a=(sin%,cos%),b=(但1),a//b,

所以sirrr=A/^COSK,所以tanx=^.

故选：A.

5.在△ABC中，已知角4,B,。所对的边分别为a,b,ca=2,b=46,A=45°,则满足条件的三角

形有()

A.1个B.2个C.0个D.无法确定

【答案】B

【详解】bsinA=莉X孝=^3,**-bsinA<a<b.

,满足条件的三角形有2个.

故选：B.

,sin80°4.sc/\

6-要玄研Tsin40=()

A.-B.V3C.-1D.1

【答案】A

・、斗比rsf2sin40°cos40°...„sin40°…sin40O-2sin80°

【详解】原式=2c-40。一—4sln4°o。=

cos40°—4sm40gw

sin4()o-2sin(60o+40。)_sin40°-2cos40°+|sin40°)_-Bos40。__

cos40°cos40°cos40°

故选：A

7.在△ABC中，4B=4,sinC=f,点D在线段AC上，AD=3,BD=V19,则BC=()

A.3B.3V3C.6D.3V5

【答案】D

【详解】在△4DB中,由余弦定理可得cos/=-2AD-AB-

又/。=3,BD=月,AB=4,

ULr、IA9+16—1914/c、

所以C0S4=2X3X4=Z'又4e(0m)，

所以sin/=V1—cos2i4=

在△ZBC由正弦定理可得i^BC=AB--AT-sinA

sinAsmcsine

又sinC=逅，AB=4,sinA=叵，

34

所以BC=4x旧x芈=3V5.

4

故选：D.

8.如图，NPOQ=》点4B为射线OP上两动点，且力B=2,若射线0Q上至多有一个点C,使得N&CB=宏

则。4长度的取值范围为（）

【答案】D

【详解】以。为原点，0Q为x轴建立如图所示平面直角坐标系,

K

因为"0Q=*所以设4(依⑷,B/b,b),C(c,O),(h>a>0),

由ZB=2可得J(Ea—Eb)?+(a—b)2=2,解得b=1+a,

因为C4=(遮。一c,a),CB=(V3h—c,b),Z-ACB—

所以乙4-CB=(V3a—c)(V3h—c)+ab=0,整理得c?—(V3a+V36)c+4ab=0,

由题意可得关于c的一元二次方程c2-(V3a+V3b)c+4ab=。至多有一个解，

2

所以△=(V3a+V3/J)-16ab<0,将b=1+a代入整理得—4。2-4a+3<0,

解得所以|。*>1,

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列选项正确的是()

A.sinl00°cos40°-cosl00°sin40°^B.tan22°+ten3^^3

21—tan22tan38

C.sin22.5°cos22.5°D.cos215°-sin215°=1

【答案】AB

【详解】对于A,sinl00°cos40°—cosl00°sin40°=sin(100°—40°)=sin60°^故A正确；

对于B，匿费黑=tan(22°+38°)=tan60°=百，故B正确；

对于C,sin22.5°cos22.5°=|-2sin22.5°cos22.5°=|sin45°=|x故C错误；

对于D,cos215°—sin215°=cos(2x15°)=cos30°=故D错误.

故选：AB.

10.已知aABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是().

A.若sinA>sinB,则4>B

B.若a2+62>c2,则△ABC为锐角三角形

C.若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形

D.若b=2,4=会这样的三角形有两解，贝M的取值范围为（8,2）

【答案】AD

【详解】对于A,因为sin力〉sinB,由正弦定理可得a>b,所以4>B,故A正确；

对于B,由余弦定理cosC=>0,可知C为锐角，

但是无法判断角/和角2是否为锐角，所以无法判断△力BC是否为锐角三角形，故B错误；

对于C,因为acosA=bcosB,所以sin2cos4=sinBcosB,即sin22=sin2B,

又486（0万），所以24286（0,2n）,所以24=2B或24+2B=m

即A=8或4+B=3即△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；

对于D,因为三角形有两解，所以6sin4<a<b,即2x苧=VI<a<2,即a的取值范围为（心2）,故D

正确.

故选：AD.

11.如图，在四边形A8CD中，~BC=2AD,E为CD的中点，BE与AC交于点F,BD与4C交于点G,设同=2,

AD=b,则下列结论正确的是（）

C.BE=——a+—b

D.若BF—A.CL+〃/?,贝—〃=—1

【答案】AC

【详解】对于选项A,因为前=2而，所以AD〃BC,且4D=：BC,

所以GD=9BG所以方=河，故选项A正确，

对于选项B,若衣=元，贝肝为CG的中点，因为E为CD的中点,

所以EF〃DG,与EFQG相交于点B矛盾，故选项B错误，

对于选项C,因为后为⑺的中点，所以BE=*玩+而)=*2石+B—2)=—3+劣故选项C正确,

对于选项D,解法一：由题意可设/F=m/C,me(0,1),

所以BF=AF—AB=mAC—AB=m^AB+近)—AB=(m-1)AB+mBC=(m—1)2+2mh,

又3尸二强+而，所以4=1,[i=2m,所以24—〃=2(m—1)—27n=-2,故选项D错误，

解法二：因为4KC三点共线，所以丽=久瓦？+y前，且％+y=l,

5LXBA+yBC=-xa+2yb,BF=A.a+/zb,所以2=—%,〃=2y,24—〃=—2,故选项D错误，

故选：AC.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量五=(1,7)方=(—3,1),若(五+七石)13,则：=.

9

【答案】—p—0.4

【详解】依题意，a+kb=(1-3/C.7+/C).贝+庙)•加=—3(1—3k)+7+k=0,所以k=—

故答案为：—(

13.已知sin(a+；)=：,贝!]sin(2a+,)=.

【答案】—：/0.5

【详解】sin(2a+，)=sin[(2a+g)-1=—cos(2a+专)

=2sin2(a+])-1=2x(g)—1=—1.

故答案为：—g

14.在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且B=?若点M是BC的中点，AM=\AC,则/=.

【答案】3

【详解】

在△力BM中，因BM=；1a,B=T~T,由余弦定理可得：AM12=AB2+BM2-2AB-BMcosB=c2+"1-a2-^1-ac,

2342

在中，由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2—2AB•BCcosB=c2+a2—ac,

因为ZM=^AC,即=4/M2,

可得+a2—ac=4(c2+-a2--ac)=4c2+a2-2ac,解得孑=3.

'42，c

故答案为：3.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)已知ere2是平面内两个不共线的非零向量，4B=2ei+e2，BE=—ei+%e2，EC=—2ei+02,

且4E,C三点共线.

(1)求实数4的值；

(2)已知瓦=(2,1),皈=(2,—2)，点。(3,5),若4B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点N的坐标.

【详解】(1)由题意，族=四+左=(2万+无)+(-瓦+4*)=瓦+(1+4)专，

由4E,C三点共线，存在实数上，使得族=k或，(3分)

即方+(1+4)*=fc(-2万4-杳),得(1+2k)瓦=(k-l-4)变,

・•・由,专是平面内两个不共线的非零向量，

•­•{\t2fc=i°，解得k=-1,2=-|.(6分)

(2)BC=BE+EC=-3e^-^=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2),(7分)

由4BCD四点按逆时针顺序构成平行四边形，则而=就，(9分)

设4(x,y),则前=(3—x,5—y),BC=(-7,-2),(11分)

所以怎二:二二，，解得{官学即点/的坐标为(10,7).(13分)

16.(15分)在△ABC中，角4B,C的对边分别为火瓦c,且V^asinB+bcosA=2b

(1)求4

(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.

【详解】(1)因为gasiriB+bcosA=2b,

所以由正弦定理得A/^siiVlsinB+sinBcosA=2sinB,(2分)

因为sinB片0,所以d^sin4+cos4=2,(3分)

整理得2sin[+S=2,即sin(a+3=l.(5分)

因为ae(0,71),所以4+'9,?),(6分)

所以a+?=*即(7分)

(2)在△48C中，a=2,由余弦定理得a2=炉+c2—2bccos4,(9分)

所以4=b2+c2—be>2bc—be=be,

当且仅当b=c=2时等号成立，(11分)

所以S44BC=/csinA=fbcW苧x4=俗(14分)

即△4BC面积的最大值为g.(15分)

17.(15分)己知函数/'(x)=2«sin久cos(x+)+1.

⑴求/(»

(2)把y=f(x)图象上的所有的点向右平移的单位，得到函数y=g(X)的图象，求y=g(x),xe碌，弱的值域.

【详解】(1)

/(%)=27^皿2"+a}1"-7)十1=鱼sin(2x+)(4分)

/6)=V2sin(1+^)=V2(sin^cos^+cos^sin^)=^±^/2=(7分)

(2)g(x)=V2sin(2(x—+^)=V2sin(2x—^TT),x6,(10分)

二2工一工e£等，sin(2x+)e[孝,1](13分)

■1•/W=V2sin(2x+^)6[1,V2].(15分)

18.(17分)如图，点G是△OAB重心，P、Q分别是边。4、。8上的动点，且P、G、Q三点共线.

(1)设丽=4万，将耐用2、OP,而表示；

(2)设方=久万tOQ=yOB,1^：3+；是否是定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由;

T

⑶在(2)的条件下，记△OAB与△OPQ的面积分别为S、T,求I的取值范围.

【详解】(1)OG^~OP+PG^OP+APQ-OP+2(OQ-OP)=(1-X)OP+WQ,(3分)

（2）^1+-1=3,理由如下：

由（1）可知无=（1—冷而+2而，又加=而2,0Q=yOB,

所以而=（I—2）无万？+旬而，（5分）

因为点G是△Q4B重心，

所以无=|由=|x*方+而）=河+到，（8分）

(1—A)x=1i=3-3A

而04,。8不共线，所以解得xi1=3A

y

所以!+；=3；（10分）

/r、7画质|sinzPOQ\op\[OQ\

（3）?=:词|函sin〃OB=两*同=町'

由（2）知y=晟p

所以孙=w=枭-"—）+Y（D+马+a©分）

由点P、Q分别是边。4、。8上的动点，G为重心且P、G、Q三点共线,

所以3WxWl,|<y<1,贝咕Wx—岸|,（10分）

设。=%一』则£=短+9,ae[|<|l,

因为当。喂小时，函数单调递减，当aeg|]时，函数单调递增，（13分）

当。号时，即x=|,y=|,5有最小值，最小值为

a=：时，即％='|,y=1,当a=（时，即久=1,y=|,*=（15分）

所以！的最大值为《（16分）

所以白牌].⑴分）

19.（17分）在平面直角坐标系久0y中，对于非零向量五=（%i，yi）3=（%2，丫2），定义这两个向量的“相离度”

为以五3）=容易知道五万平行的充要条件为以林）=0.

vxi+yi'vx2+y2

（1）已知五=（1,2）3=（4,—2）,求d@B）；

（2）①已知4的夹角为和遍的夹角为。2,证明：d（a,b）=或泡）的充分必要条件是sin®=sin02；

②在△4BC中，AB=2,AC=4,角/的平分线与8c交于点。，且力。=$若方+而+元=6,求

d（PA,PB）.

【详解】（1）因为五=（1,2）3=（4,一2）,

.|lx（-2）-2x4|10

所以