2024-2025学年广东省河源市高一年级上册10月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省河源市高一上学期10月考数学质量

检测试题

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

一、单选题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合'={乂,利，八{乂2》<。},若ZUB=Z,则0的取值范围是()

A.(-00,-4]B.(-oo,-l]

C.[1,+℃)D.[4,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】先解一元二次不等式，再根据集合间的关系求参.

【详解】A=(-00,-2]o[2,+oo),5=

H

由NU5=Z可以推出8uZ,所以一V—2,a<-4.

一2

故。的取值范围是卜¥,-4u.

故选：A.

2.若集合2={1,9,叫，5={9,3a},则满足=3的实数0的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】利用4n3=8,知求出。的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案.

【详解】因为=所以8口4,

即3。=1或者3a=",解之可得。=!或。=0或a=3,

3

当Q=g时，4=U，9,g,，5={9,1}符合题意；

当a=0时，4={1,9,0},8={9,0}符合题意；

当a=3时，Z={1,9,9},8={9,9}根据集合元素互异性可判断不成立。

所以实数。的个数为2个.

故选：B

3.已知集合4={（》/）|y==》=叼+1,加eR},4c8=C,若C为单元素集合

时，贝I（）

A.m=—B.m=2

2

C.机=0或〃z=—D.机=0或加=2

2

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；

【详解】因为集合/=y==x=my+\,m^,A^B=C,若C为单元素集

合，

y=x2-1

则方程组只有唯一解，

X-my+\

所以y=（即+1）2_1,整理可得加2/+（2加-l）y=0,

当加=0时，方程变为-y=0Dy=0,止匕时x=l,符合题意；

21

当加W0时，D=（2M-1）-4m2,0=0m=~^

所以加=0或加=L,

2

故选：C.

i3

4.命题“ice[-1,2],。NO”为真命题的一个必要不充分条件是（）

A.a<0B.a<lC.a<2D.a<3

【答案】D

【解析】

iaia

【分析】参变分离可得。三万一+工一^,令/（力=2》2+》—2，xe[-i,2],结合二次函数的性质求出

。的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

「I1o313

【详解】若1,2],—x+x-------a20,则QV—x0+x—,

L」2222

令/（x）=—x2+x-—,xe[-1,2],

因为/（x）=3%2+x--|=^-（x+l）2-2,

所以/（X）在[-1,2]上单调递增，所以/（X）的最大值是/（2）=|,

故。《之，则的一个必要不充分条件是aW3,故D正确；

22

13

a<0>a4l、°42均为命题“玉：€[—1,2],十工一万一。2.”为真命题的一个充分不必要条件，故

A、B、C错误.

故选：D.

5.若a>6>0,则下列不等式中一定成立的是（）

bb+11,11,12a+ba

D.-------->-

aa+1abbaa+2bb

【答案】C

【解析】

【分析】对ACD,根据不等式的性质以及作差法比较大小即可判断；对B,根据不等式的性质以及作差法,

再对赋值法即可判断.

bb+1b-a,bb+1b-a八即2<2担，故

【详解】对于A,丁因为。>6>0,故[°,

aa+1

A错；

对于B,ClH-----(6H)=(Q—6)(1------)不确定符号，取Q=l,6=一则—<b+—,故B错误;

abab2ab

对于C,61+--(bH—)=(Q—6)(1H--),因为Q>b>0,

baab

故。+工一(6+工)=(1一/?)(1+工)>0,BP«+—>/7+—,故C正确；

baabba

2a+ba3+Q)(6-Q)

对于D,因为a>b>0,

a+2b~b(a+2b)b

2a+bai(i<0,即—

故---------故D错误.

a+2bb(a+2b)ba+2bb

故选：C

6.已知a,6为正实数且a+6=3,则介+9的最小值为（）

ab

A.2V2+1B.276C.3D.2V2+2

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得.

ab

【详解】因为。/为正实数且。+6=3,

在ab6b2a+2bb2alb2a。。后。

所以一+—=—+-------=—+—+2>2-------+2=212+2,

ababab\ab

当且仅当?=彳，即。=3卜历—1))=3(2—后)时等号成立.

故选：D.

7.定义集合运算幺―5={x|xeZ且XW8}；将=（N—8）U（8—么）称为集合/与集合3的对称差,

命题甲：/n（8AC）=（/n8）A（/nC）；命题乙：/U（8AC）=（/UB）A（/UC）则下列说法正确的

是（）

A,甲乙都是真命题B,只有甲是真命题

C,只有乙是真命题D.甲乙都不是真命题

【答案】B

【解析】

【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将Zc（BAC）变形即可判断命题甲；对于乙，画出

Zu（BAC）和（ZuB）A（ZuC）的图示即可判断.

【详解】对于甲，Nc（8AC）=Nc（8uC-8cC）=Nc（8uC）—/c（8cC）

=（Nc8）u（NcC）一（Nc8）c（ZcC）=（Nc8）A（ZcC）,故命题甲正确；

对于乙，如图所示：

^U(5AQ(^U5)A(v4UQ

所以，NU（8AC）H（ZU8）A（NUC）,故命题乙不正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形

结合判断.

8.设0<Z）<a+l,若关于X的不等式（x-〉（办『的解集中的整数解个数恰为3个，则满足条件的实

数。所在区间可以是（）

A.（-1,0）B,（0,1）C,（1,3）D.（3,5）

【答案】C

【解析】

【分析】同时开方将不等式化为两绝对值函数的大小形式，数形结合计算即可.

【详解】原不等式等价于卜一司>|。乂，不妨设不等式的解集为（马，王），

作出函数歹=|x—耳）=同的图象如图所示，

易知当时41,此时不等式的解集不只有三个整数解，

要满足题意需时>1,

又。+1>0=。〉一1,所以Q>1,

f7b7b

则。x=b—x=>M=---<1，-ax=b-x=>x.=----，

Q+11-a

此时还需—3V上<—2,整理得2a—2<6W3a—3n2a—2<b<a+lnl<a<3,

1—a

此时C正确，其余选项错误.

故选：C.

二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分.

9.下列命题中是真命题的是（）

A.“x>1”是“一>1”的充分不必要条件

B.命题“X/x20,都有—V+INO”的否定是“*o<O,使得一"+1<0”

Y—3

C.不等式一一>0成立的一个充分不必要条件是x<-1或X>4

2x+l

3x—2y+1=0

D.当Q=-3时，方程组12「有无穷多解

ax-by=a

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可.

【详解】解：对A,“/>1”可以推出“>>1”,而>1”推出x>l或者x<—1,所以“x〉l”是

>1”的充分不必要条件，故A正确；

对B,命题“X/x20,都有+120”的否定是“叫）20,使得一只+1<0"，故B错误;

x—31x—3

对C,不等式——20成立，即x23或X<——,所以不等式-----20成立的一个充分不必要条件是

2x+l22x+l

x<-4或x>4,故C正确;

3x-2y+1=03x—2v+1=0

对D,当a=—3时，方程组《2二等价于C/，八，所以方程组有无穷多解，故D正确.

ax-by=a[3x-2y+l=0

故选：ACD.

10.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是（）

A.ab>lB.a2+b2>2C.yfa+y[b<V2D.-H—>2

ab

【答案】BD

【解析】

【分析】根据基本不等式判断ABD,举反例可判断C.

【详解】因为a+b=222j拓，则当且仅当。=人=1时取等号，故A错误；

因为=2,当且仅当a=b=l时取等号，故B正确;

令。=3=1,则、石+痣三也不成立，故C错误;

111(a+ba+by1(..ba\.1(b1.\ba

m因为_+—=_|----+-----=-1+1+—+—=1+-—+—>l+-x2.---=2,n当且仅当

ababJ2ab)21abJ2Vab

a=Z?=l时取等号，故D正确.

故选：BD

11.若平面点集，满足：任意点（》/）€〃，存在正实数"都有（九小）€/，则称该点集为“方阶集”,

则下列说法正确的是（）

A.若〃=｛（》,力^=2｝是“阶集"，则[=1

X

B.若〃=｛（%,>）|>=2%｝是“/阶集”，贝!R为任意正实数

C.若儿f=｛（》/）|/<4训是“邛介集”，贝1]0</41

D.若河=｛（》/）|〉2&｝是“阶集"，贝心<1

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据“方阶集”的定义，逐项进行判定即可.

【详解】对于A,若M=｛（》/）=二｝是，”阶集"，则小=工，所以/=1，

Xtx

因为，>0,所以，=1,故A正确；

对于B,若/=｛（x,y）|y=2x｝是“方阶集"，则小=2及，贝/为任意正实数，故B正确；

对于C,若/=｛（羽力/44叫是，”阶集，，，贝联女）244卬，由/>0得出笈2V令，

当0</41时，tx2<x~<4y,所以田244^,当，>1时，取x=l,y-0.25,满足

但是比2=/〉1=令，所以为使》2<外成立时，tx2<4y,正实数f的取值范围是0</<1,故C是正

确；

对于D,若M=｛（x,y）|yN4｝是“/阶集”，则勿2而，

当/=工，y=4,x=3时，4tx=^=-=—>-,故小2而不成立，故D错误.

9V3399

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型

来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，

实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义

的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

三、填空题：本大题3小题，每小题5分，共15分.

12.二次函数>="2+区+。（。。0）的图象如图所示，则不等式竺心<0的解集是__________.

CX~I-Q

【分析】根据给定的图象用。表示"。，再代入不等式求解即得.

hr

【详解】由题图知，1和2是方程以2+瓜+。=0的两个根，且a>0,则——=3,—=2,

aa

即b=—3a,c=2a,a>0,因此不等式竺土々<0为竺也<0,即上二<0,

cx+alax+a2x+1

整理得(x—3)(2x+l)<0,解得—；<x<3,

所以不等式竺王<0的解集是{x|-，<x<3}.

cx+a2

故答案为：{x|—；<x<3}

41

13.已知正数a,6满足a+2b=l,则——+-的最小值为.

a+1b

【答案】3+2亚

【分析】根据题意，得出。+1+26=2,再利用乘“1”法，结合基本不等式，即可求解.

41421r42、

【详解】由题意得“+1+26=2,则----+—=---7+—"=~----r+-(a+1+26)

a+1ba+12b2(a+l2b/7

18ba+l~|1|18ba+1'

=—x6H--------1------>—x6+2.=%x(6+4⑹=3+2行,

2a+1b2VQ+1bj

。=3-2行

当且仅当「时取等号，故-+的取小值为3+2血.

b=y/2-l，z+lb

故答案为：3+2夜.

14.设aeR,若x>0时，均有［(a—2)x—1］俨—⑪―1"0成立，则实数a的取值集合为

’3+"

【答案】《

2

【解析】

【分析】可得aW2时，不等式不恒成立，当a>2,x=’必定是方程x?-ax-1=0的一个正根,

0-2

由此可求出a.

【详解】当aW2时，贝I(。一2八一1<0,由于y=Y—a》—1的图象开口向上,

则［(a—2)x——ax—1)20不恒成立,

当a>2时，由(。一2卜一1=0可解得x=^—>0,

Q—2

而方程必—初一1=0有两个不相等的实数根且异号,

所以，x=---必定是方程x?-ax-1=0的一个正根,

a-2

则=则可解得。=3±走,

(a-2)yci-2)2

‘3+6

故实数a的取值集合为1>.

故答案为：<

【点睛】关键点点睛:

本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先判断aW2,再得出当a>2,x=^—必定是方程

a—2

x2-ax-l=0的一个正根.

四、解答题：本大题5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设全集U=R,集合Z={x,+4x+a=()},5=|x|x2+6x-2=o1.

(1)若集合A恰有一个元素，求实数a的值；

(2)若2GB,-3&A,求(dZ)cB.

【答案】(1)a=4

(2)(aZ)c8={2}

【解析】

【分析】(1)依据题意可得△=(),计算即可.

(2)根据2e8,-3e/分别计算出仇。，然后得到集合4台，最后根据补集、交集进行运算即可.

【小问1详解】

•••集合/恰有一个元素，A=16-4a=0,解得：a=4；

【小问2详解】

;2e5={x|X?+bx-2=0},

，4+2b—2=0=>6=—1；

又：-3eZ={x|/++口=o},

，9—12+Q=0=>Q=3；

即/=3/+4》+3=0}={_1,_3},5={%|%2-%-2=0}={-1,2}

.•.(dZ)cB={2}

16.比较下列各组中两式的大小：

(1)已知a>6>0,试比较”4与空白的大小；

a2-b2a-b

(2)已知x<l,比较d—1与2/—2x的大小.

22

r冰心、一、a+ba+b

【答案】(1)———<----；

cr-b"Fa-b

(2)X3-1<2X2-2X.

【解析】

【分析】(1)(2)利用作差法比较大小即得.

【小问1详解】

a2+b2a+b-2ab

依题意,,由a>b>0,得a?〉/)?>。，

a2-b~a-bcr-b2

OA

则。2—配〉0,且一ab<0,即

a"-o'

a~+b~a+b

所以———-<-----

cr-ba-b

【小问2详解】

依题意，x'—1—(2x~-2x)=x，—2x~+2x—1

3

+-<0,

4

所以丁―1<2/—2x.

17.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x

吨与年促销费用/万元之间满足函数关系式x=2———（左为常数），如果不开展促销活动，年销量是1

1+2

吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，

通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一

半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.

（1）求左值；

（2）将下一年的利润歹（万元）表示为促销费f（万元）的函数；

（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

【答案】⑴k=2

（3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.

【解析】

【分析】（1）依题意当片0时，x=l代入计算可得；

（2）依题意求出当年生产无吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润;

（3）由（2）可得＞鸟+丁］+?,利用基本不等式计算可得.

【小问1详解】

由题意可知，当方=0时，1=1,所以1=2-解得左=2；

2

【小问2详解】

由于k=2，故x=2-----,

/+2

2

由题意知，当年生产无吨时，年生产成本为：32x+3=322-+3,

t+2

当销售x吨时，年销售收入为：132f2-2C1

+3H—t,

t+22

由题意，2+3+$—32(2~2

J=|3212-+3—t,

t+2t+2

321

即,v=—+*o).

t+22

【小问3详解】

32167

由(2)知：y=------------1+

t+222

32t+26932t+269

Bpy------------------1--=+-----+一

-t+222t+222

32t+269“u

<-2-----x------+—=26.5，

t+222

32t+2

当且仅当——二——，又，+222,即％=6时，等号成立.

/+22

此时，Nmax=26.5.

该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.

18.已知函数/(x)=(机+1)/+.

(1)当机＜0时，解关于x的不等式/(x)23x+%-2；

(2)若存在xe[0,2],使得不等式/(x)Vx2+2x—1成立，求实数加的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)(-«?,1]

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集；

（2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值.

【小问1详解】

由（机+l）x?—（机一l）x+机一123X+M—2n（机+机+2）》+120=（》一1）[（加+1）%一1]20.

若机+1=0即加=—1,上式可化为：x—iWOnxWl；

若加+1<0即加<一1,上式可化为：（x-l）xWOn--—<x<1；

[_m+ljm+1

若机+1>0即—1<加<0,上式可化为：（x—1）x------20,

Lm+1

因为一1<根<0=>0（加+1<1=>一一>1,所以：或xN---.

m+1m+1

综上可知：当机<-1时，原不等式的解集为：-^-,1；

m+1_

当机=-1时，原不等式的解集为：（-co,l]；

当—1<0时，原不等式的解集为：^-oo,l]o[—^-j,+co^.

【小问2详解】

不等式/（x）<X?+2x—1即（机+l）x?—（m一l）x+机一1<X?+2x-lnm^x2-x+1）Vx,

Y

因为——x+i〉o恒成立，所以：m<—---------.

X-x+1

问题转化为：存在xe[o,2],使得机—成立，所以加W,",，

X--X+1I》-X+1人xa

设g（x）=^Z^~<xe[0,2]

XX十1

当x=0时，g（O）=O；

q（X）=—=—I—1

2

当0<xW2时，>x-x+l11,因为x+—22（当且仅当％=1时取等号），所以

%+1X

X

g（x）«L

所以加<1

综上可知：阳的取值范围是（-8』

【点睛】求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或

存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解.

19.已知集合/={%,。2，%，，“，。"}(0＜％＜。2＜。3＜一＜%)具有性质：对任意%.+4与

%-一4•至少有一个属于A,称其为“团结集合”.

(1)分别判断”={1,2,3}与3={0,2,4}是否是“团结集合”,并说明理由;

(2)若集合P={%,电,%}是“团结集合”，且。2=2023,求集合尸；

Q

(3)设函数/(〃)=-----------------