2024-2025学年广东省惠州市高二年级上册第一次月考数学阶段检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省惠州市高二上学期第一次月考数学阶段

检测试题

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.点尸（3,4,-5）关于xOz平面对称的点的坐标是（）

A.（3,4,5）B.（3,—4,—5）C.（—3,4,—5）D.（—3,—4,5）

2.已知空间向量G=（-1,加,2）,b=（2,-1,2）,若万.5=3，则cos〈原3〉=（）.

A.—B.—C.—D.—

6543

3.经过圆/+/+例=0的圆心且与直线3x+4y+2=0垂直的直线方程是（）

A.3x+4v+8=0B.4x+3y+6=0C.4x-3j-2=0D.4x-3y-6=0

4.若直线/》+了_1=0的斜率大于_4,则。的取值范围为（）

A.（-2,2）B.（―2,0）u（0,2）C.（—°°,2）D.—2）u（2,+s）

5.^（-1,-1）,5（3,1）,直线/过点（1,2）,且与线段N3相交，则直线/的斜率取值范围是（）

A.mB.IT。

cK4]u[r+C0]D-+00）

6.已知直线4,4的斜率是方程/-川-2=0的两个根，则（）

A./11Z2B.〃〃2

c.4与相交但不垂直D.4与4的位置关系不确定

7.二面角a—/为60。，/、8是棱/上的两点，AC,AD分别在半平面a、△内，AC11,

BDLl,S.AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为（）

C

I)

A

A.GQB.2缶C.45aD.2a

8.已知在正方体ZBC。-44GA中,尸为线段CA上的动点，则直线3G与直线ZP所成角

余弦值的范围是（）

V6@

D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.以下四个命题中正确提（）

A.空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示

B.若｛a,及曾为空间向量的一组基底，则Z，b＞，全不是零向量

C.纵坐标为0的向量都共面

D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

10.下列说法错误的是（）

A.平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示

B.直线了=航+6与y轴的交点到原点的距离为例

C.在x轴、y轴上的截距分别为a,6的直线方程为菱+5=1

D.两条直线中，斜率越大则倾斜角越大

11.已知圆心为C的圆/+/-4x+6y+ll=0与点/（0,-5）,则（）

A.圆C的半径为2

B.点A在圆C外

C.点A与圆。上任一点距离的最大值为3a

D.点A与圆C上任一点距离的最小值为④

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12•点(1,2)到直线3x-4y-3=0的距离为.

13.已知平面。的法向量0=(1,-2,向，直线/的方向向量〃=(3」,-2),若/〃a,贝！］

m=.

14.若尸为圆C：/+/-取-67+9=0上任意一点，点。(1,2),则|尸。|的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(1)求直线3x-4y+l=0与x+y-2=0的交点的坐标；

(2)求两条直线3x-4y-6=0与6x-8y+14=0间的星巨离.

16.已知空间中三点次2,-1,1),5(1,1,0),。(4,-3,3).设万=次,b=AC.

⑴求忸-可；

⑵若2标与万+小互相垂直，求实数上的值.

17.圆C过点/(6,0),5(1,5),且圆心在直线/:2x-7y+8=0上.

(1)求圆。的方程；

(2)P为圆C上的任意一点，定点。(8,0),求线段P。中点M的轨迹方程.

18.如图，在三棱锥尸-48C中，尸/_L平面4BC,ZBAC=90°,D,E,尸分别是棱NB,

BC,C尸的中点，AB=AC=\,PA=2.

P

(1)求点尸到直线EF的距离

(2)求直线尸月与平面。斯所成角的正弦值；

(3)求点P到平面DEF的距离.

19.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面N3C。为直角梯形，AD//BC,ZADC=90°,平面

底面48CD,0为4D的中点，M是棱尸C上的点，P4=PD=2,BC=^AD=1,

CD=y/3.

(1)求证：平面_L平面P4D；

(2)若尸”=；PC,求异面直线/P与3所成角的余弦值；

(3)在线段PC上是否存在一点M,使二面角W-8Q-C大小为30。？若存在，请指出点河的

位置，若不存在，请说明理由.

1.B

本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.

【详解】解：因为点（x,%z）关于xOz平面对称的点的坐标是（x,-Hz）,

所以点尸（3,4,-5）关于xOz平面对称的点的坐标是（3,-4,-5）,

故选：B.

本题考查求点关于坐标平面对称的点的坐标，是基础题.

2.A

【分析】根据数量积求得/=-1,再根据向量的夹角公式求得答案.

【详解】由展石=3得，-1x2-%+2x2=3,解得加=-1,

则同=（_］）2+22=瓜,问=商+㈠丁+22=3,

a-b_3旦

所以cos〈扇6〉=

\a\]b\~3而~6~

故选：A.

3.D

【分析】求出圆x2+y2+4y=0的圆心坐标，根据所求直线与3x+4y+2=0垂直，求其斜率,

根据点斜式写出直线方程.

【详解】圆Y+/+4y=o的圆心的坐标为（0,-2）,

设所求直线斜率为左，

因为所求直线与直线3x+4y+2=0垂直，

所以左义（_土］=_1,故左=g,

所以直线方程为y+2=］（x-0）,即4x-3y-6=0

故选：D.

4.A

【分析】化一般式为斜截式得到直线的斜率，进而列出不等式求解即可.

【详解】直线。2工+了-1=0,BPj;=-a2x+l,

则直线的斜率为-〃，

BP-a2>-4,解得-2<a<2.

所以。的取值范围为(-2,2).

故选：A.

5.C

【分析】首先求出直线P/、必的斜率，然后结合图象即可写出答案.

【详解】解：直线尸/的斜率后直线尸8的斜率〃=罟=-；,

结合图象可得直线/的斜率上的取值范围是匕1或鼠

故选：C.

P

B

-4-3-2-123

A

本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题.

6.C

【分析】由左/?=-2可知两直线不垂直，且左二心知两直线不平行，由此可得结论.

【详解】设直线44的斜率为《&，则上住=-2,

•.•桃2片一1，不垂直，A错误；

若左=%2，则桃2=左；20,与桃2=-2矛盾，；.左产左2，不平行，B错误；

,・Y，不平行，也不垂直，，4,相交但不垂直，c正确，D错误.

故选：C.

7.D

【分析】由已知条件和空间向量加法可得丽=0+与+而，再根据向量模和数量积的关系

।uuruuruuu\2

可得\CDAB+BD],由此能求出CD的长.

【详解】因为二面角a—/—。为60。，N、8是棱/上的两点，AC.分别在半平面a、〃内,

AC11,BDLI,

uuuiuuu____kk„

所以</C,BQ〉=60。，ACBA=0^AB-BD=0

XCD=CA+AB+BD

lUUDTiI/TutrW~~uuarX2jdrr^~noon_uuor2""uuruur__uinruuur__uuruur

所以c。\=J\CA+AB+BD\<CA+AB+BD+£A,AB+2ABBD+EABD

/uir^~~urn^~~uuruur=-^a2+a2+(2a)"+2-a-2acos120°=2a.

=\CA+AB+BD+2CABD

所以CD的长为2a.

故选：D.

本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.

8.A

【分析】设正方体/BCD-44C4的棱长为1,以。4。。,他所在直线分别为x轴，y轴，z

轴建立空间直角坐标系，可设尸(0J,1)(0,,G),从而得到方=(-1/1),5Ci=(-1,0,1),再根

据向量的夹角公式即可求出cos〈后，画〉=6^,求函数值域即可.

【详解】设正方体/BCD-4gG4的棱长为1，如图所示，以。4OC,Z)4所在直线分别为X

轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系,则有41,0,0),3(1,1,0)6(0,1,1).

设尸(0,f,l)(0,J,1),则万=(_"1),5CI=(-1,0,1),

—1x(—1)+，x0+lxl

所以cos〈4P,8C]〉=

7(-i)2+?2+i2x7(-i)2+o2+i2

又因为0,,t„1,所以，”cos<AP,SQ\,1.

故选：A.

本题主要考查利用向量解决直线与直线所成角问题，意在考查学生的数学运算能力，属于基础

题.

9.BC

【分析】根据空间向量的基底的定义:任何三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基底,

逐次分析A、B、D三个选项，可得出结论，纵坐标为0的向量都在平面无。z中，可以判断C.

【详解】空间的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示，

A中忽略了基底必须为三个“不共面的向量”这个限制条件，故A错误；

若而石,"｝为空间向量的一组基底，则三者中任意两个都不共线，

故任何一个都不能为零向量，选项B正确；

纵坐标为0的向量都在平面xoz中，所以都共面，故选项C正确；

任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，三个向量不共线时可能共面，

故D错误.

故选：BC.

10.ACD

【分析】对于A选项，利用垂直于x轴的直线；对于B选项，根据直线＞与y轴的交

点坐标为(0,6)判断；对于C选项，利用直线过坐标原点时不满足判断；对于D选项，举例两

条直线的倾斜角分别为(，金判断.

【详解】解：对于A选项，垂直于x轴的直线不能用斜截式表示，故错误；

对于B选项，由于直线了=h+。与y轴的交点坐标为(0,6),故原点的距离为例，故正确；

对于C选项，当直线过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距均为0,不能用方程±+4=1表

示，故错误.

对于D选项，若两条直线的倾斜角分别为引，则斜率分别为百厂6,显然不满足，故错

误.

故选：ACD

11.BCD

【分析】把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答.

【详解】依题意，圆C：。-2)2+3+3)2=2,则圆心c(2,-3),半径r=&,A不正确；

因点/(0,-5),贝IJMq=2JI>7^,点A在圆C外，B正确；

因点A在圆。外，在圆。上任取点P,贝1]|尸/|引尸。|+|。|=厂+&|=36',当且仅当点尸，C,

/共线，且P在线段NC延长线上时取“=”，C正确；

在圆C上任取点则|九回2口川-卜0，当且仅当点C,M,N共线，且M在

线段C4上时取“=”，C正确.

故选：BCD

8

12'?

【分析】利用点到直线的距离公式计算得解.

,|3xl-4x2-3|8

【详解】点(1,2)到直线3x-4y-3=0的距离为d=飞不二广=》.

痂8

故二

13.-##0.5

2

【分析】由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解.

【详解】则££=0，即lx3-2xl-2加=0,解得加=；.

答案：(

2

14.[2一行,2+用

【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解.

【详解】圆C：/+/-4苫-67+9=0化为标准方程，得(x-2『+(y-3『=4,

因为(l-2『+(2-3『=2<4,

所以点。(1,2)在圆的内部，且|C0|=J(1-2丫+(2-3):后,

所以|尸。|的取值范围为上一|。。|“+|。。口=[2—62+6].

故12-+y/2~^

13

15.(1)(1,1);(2)y.

【分析】(1)联立直线方程求解即可得交点；

(2)将方程6x-8y+14=0化为3x-4y+7=0,由平行直线间的距离公式求解.

3%-4〉+1=0'曰Jx=l

【详解】(1)联立x+y-2=0'倚jy=]

故直线3x-4y+l=0与x+y-2=0的交点的坐标为(1,1).

(2)方程61一8>+14=0可化为3%-4>+7=0,

13

所以两条直线无一》一与间的距离

346=06x—8>+14=01=T,

16.(1)2717

(2)±告

【分析】(1)求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可;

(2)先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可.

【详解】(1),•1^(2,-1,1),5(1,1,0),C(4,-3,3),a=AB>b=AC，

5=(―1,2,—1),b=(2,—2,2)>

于是2G-B=(-2,4,-2)-(2,-2,2)=(-4,6,-4),

:.\2a-b\=7(-4)2+62+(-4)2=2后.

(2)2加-5=(-2左,4左,一2左)一(2,-2,2)=12左一2,4k+2,-2左一2),

a+kb=(-1,2-1)+(2k,-2k,2k)=(2k-1,2-2k,2k-1),

又2版-分与N+序互相垂直，二(2版+威=0,

即(-2k-2)(2左-1)+(4k+2)(2-2k)+(-2k-2)(2左-1)=0,

.#=?，解得左=±变.

22

B

17.(1)(x-3>+(y-2>=13；(2)+QT)2=

4

【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线/方程联立，求得圆心C的坐标，由|C4|

求得半径，由此求得圆C的方程.

（2）设出M点坐标，由此求得尸点坐标，将尸点的坐标代入圆C的方程，化简求得M点的

轨迹方程.

【详解】（1）直线的斜率后=—=-1,

1-6

所以的垂直平分线m的斜率为1.

48的中点的横坐标和纵坐标分别为x=W=（,y=W=2

2222

因此，直线冽的方程为=.即x-y-1=0.

又圆心在直线/上，所以圆心是直线加与直线/的交点.联立方程组

x-y-1=0

2%—7y+8=0

[x=3

解得c

[y=2

所以圆心坐标为C（3,2）,又半径r=|C4上而,

则所求圆的方程是（x-3）2+0-2）2=13_

（2）设线段尸。的中点M（x,y）,P（x0,v0）

x+8

--n--二x

2

M为线段尸。的中点，贝！I

2

x=2x-8

解得0

乂=2y

/(2x-8,2y)代入圆C中得(2x-8-3y+(2y-2y=13,

22

即线段P。中点M的轨迹方程为+(y-D=y

4

本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.

?/s

18.（1）—；

10

⑵%

⑶冬

【分析】(1)根据给定条件，求出等腰三角形腰尸8上的高即可求出点尸到直线所的距离.

(2)依题意建立空间直角坐标系，求出直线P4的方向向量及面。EF的法向量，利用向量的

夹角公式，即可求出直线及与平面DE厂所成角的正弦值;

(3)利用向量法可求出点P到平面。斯的距离.

【详解】(1)三棱锥尸-N8C中，尸/，平面A8C,A8,NCu平面A8C,则尸/，A8,P/，/C,

又NBAC=9Q°,AB=AC=\,PA=2,则BC=C,PB=PC=也,

-BCi3

/219sinZ.PBC=--j=

cosZPBC=——二r='Jfo

PB痴

3

于是等腰八PBC腰5。上的高〃=8CsinZPBC=,

由£,尸分别是棱BC,C尸的中点，得EF//PB,跖是△尸3C的中位线,

所以点尸到直线川的距离为工"=拽

210

(2)依题意：以/为坐标原点，直线分别为xj,z轴建立空间直角坐标系,

又。，E,尸分别是棱N8,BC,C尸的中点，AB=AC=1,PA=2,

得/（0,0,0）,P（0,0,2）,C（0』,0）,尸（0,；』）,£＞（；,0,0）,5（1,0,0）,E（；,g,0）,

则=（0,0,2）,而=（一；,g,1）,反=（0,；,0）,设平面DEF的法向量为元=（x,y,z）,

_—►11

n-DF=——xH-y+z=0

22

则,-，取z=l,则为=（2,0,1）,

-----I

n•DE=—y=0

2

\n-AP\2

设直线PA与平面DEF所成角为6，则sin。=|cos〈万,AP)|=

|列西-V5x2-5'

所以直线尸”与平面DM所成角的正弦值为。

—1/、

（3）由（2）知尸尸=（0,5，-1）,万=（2,0,1）,

点P到平面DEF的距离d=底m=J==正,

\n\A/55

所以点尸到平面DEF的距离为也.

5

19.（1）证明见解析

⑵工

10

（3）存在，点M位于靠近点C的四等分处

【分析】（1）由面面垂直证8。，平面尸4D,再证平面平面P4D；

（2）以。为原点，QA,QB,。尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系.由向量法求线线角；

（3）设两=2定，0W4W1,由向量法利用二面角建立方程求解.

【详解】（1）证明：因为ND〃3C,BC=^AD,0为ND