2024-2025学年下学期初中数学八年级第十八章A卷

第十八章A卷

选择题（共10小题）

1.（2024秋•禅城区期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别

为1、4、7（单位：cm）,则CD的长度为（）

2.（2024秋•南海区期末）在团A3CD中，AC.3。是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使图A3CD

成为矩形，那么添加的条件是（）

A.AC=BDB.ACLBD

C.AB^BCD.AC平分NBA。

3.（2024秋•南海区期末）若菱形ABC。的边A3的长为25，则菱形ABC。的周长为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

4.（2024秋•红古区期末）如图，正方形A2C£＞的对角线相交于点。，则NAOB的度数是（）

B.45°C.60°D.90°

5.（2024秋•莱西市期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词,

“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明

用四根细木条a,b,c,d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方

案正确的是（）

A.测量是否有三个角是直角

B.测量对角线是否相等

C.测量两组对边是否分别相等

D.测量对角线是否互相垂直

6.（2024秋•莲湖区期末）如图，菱形的对角线AC,2。相交于点。，E是的中点.若BC=4,则

的长为（）

A.4B.3C.2V3D.2

7.（2024秋•成都期末）下列选项中，正方形具有而菱形不具有的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分D.四个角都是直角

8.（2024秋•渝北区期末）如图，将平行四边形ABCZ）的一边8C延长至点E,若/。CE=55°,则的/

84。度数为（）

9.（2024秋•英德市期末）如图，在矩形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,若AO=3,则8。的长

A.3B.4C.5D.6

10.（2024秋•长沙期末）如图是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽，由其主体图案中相邻两个

直角三角形组合而成.作菱形CZJER使点。，E,尸分别在边OC,OB,8C上，过点E作即，A8于

EH

点H,若A3=BC,ZBOC=30°,则一=（）

OA

A

H

图2

B.V2.-V3C.1：2D.4：9

二.填空题（共5小题）

11.（2024秋•南岸区期末）如图，正方形A8CD的对角线AC,3。相交于点。，点M是8C边上一点,

连接OM,过点。作ONLOM,交CD于点、N,若正方形A2CZ）的边长为2,则四边形OMCN的面积

是

12.（2024秋•兴庆区校级期末）如图，矩形A2C。的对角线AC、2。相交于点。，若AB=6CMI,BC=8cm,

则△ABO的周长是cm.

13.（2024秋•顺德区期末）若。是直角三角形4BC斜边AB的中点，且AC=3,8C=4,则CD

14.（2025•深圳模拟）已知矩形的边长分别为3和4,则该矩形的对角线长为

15.（2024秋•英德市期末）如图，在RtZkABC中，。是AC的中点，AC=4,则BO的长是

三.解答题（共8小题）

16.（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC<AC,C3是斜边A8上的高线，CE

是斜边48上的中线.

（1）若BD=ED,求证：ZA=30°；

(2)若4D=4BO=8,求CD的长.

在回ABC。中，对角线AC与BO相交于点。，AB=AD^10,BD=12,

18.（2024秋•莱芜区期末）如图,回ABC。的对角线AC,2。相交于点O,过点。的直线EP分别交AD、

19.（2024秋•府谷县期末）如图，四边形ABC。是平行四边形，AB=BC,点E是边CO的延长

线上的动点.连接AE.过点C作CBLAE于点?

（1）求证：四边形ABC。是正方形；

（2）当点/是AE的中点，且CE=8/时，求四边形ABC。的面积.

20.（2024秋•永寿县校级期末）如图，在△ABC中，AO是BC边上的高，E,E分别是边AB,AC的中点,

AB=6,AC=8,BC=10.求△OEF的周长.

BDC

21.(2024秋•洪雅县期末)如图，在△ABC中，AB=AC,DE//AB,分别交BC、AC于点。、E,点尸在

的延长线上，且

(1)求证：△CEF是等腰三角形；

(2)连接A。，当AO_LBC,BC=8,ZkCEF的周长为16时，求△£>£1p的周长.

22.(2022•绿园区校级一模)如图，在国ABCD中，点。是对角线AC,8。的交点，EF过点。且垂直于

AD.

(1)求证：OE=OF；

23.(2024秋•浦东新区期末)如图，△ABC中，是边BC上的高，C尸是边AB上的中线，DC=BF，

点E是C尸的中点.

(1)求证：DE1CF；

(2)求证：ZB=2ZBCF.

DB

第十八章A卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案DADDADDADA

选择题（共10小题）

1.（2024秋•禅城区期末）如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、8对应的刻度分别

为1、4、7（单位：cm）,则CO的长度为（）

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可.

【解答】解：由题意可知：AB=6cm,AD—DB,

在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD是△ABC的中线，

1

：.CD=jAB=3（cm）,

故选：D.

【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

2.（2024秋•南海区期末）在回ABC。中，AC、3。是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使回ABCZ）

成为矩形，那么添加的条件是（）

A.AC=BDB.AC±BD

C.AB=BCD.AC平分/8A。

【考点】矩形的判定；平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】由矩形的判定对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A、由能判定回ABCD为菱形，故此选项符合题意；

B、由ACLBZ）,能判定团为菱形，故此选项不符合题意；

C、由能判定团ABCD为菱形，故此选项不符合题意；

。、AC平分/BAD,能判定回A8CO为菱形，故此选项不符合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定和菱形

的判定是解题的关键.

3.（2024秋•南海区期末）若菱形ABC。的边的长为2cm,则菱形ABC。的周长为（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

【考点】菱形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】D

【分析】根据菱形的性质即可得到结论.

【解答】解：•菱形ABC。的边4B的长为25，

.,.AB=BC=CD=AD=2cm,

菱形ABC。的周长为4X2=8（cm）,

故选：D.

【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的周长公式是解题的关键.

4.（2024秋•红古区期末）如图，正方形A8C。的对角线相交于点。，则NAO8的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【考点】正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据正方形的性质对角线互相垂直可求解.

【解答】解：•••四边形A8CL）为正方形,

C.ACVBD于点0,

：.ZAOB=90°,

故选：D.

【点评】本题主要考查正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键.

5.（2024秋•莱西市期末）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，

“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明

用四根细木条a,b,c,d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方

案正确的是（）

A.测量是否有三个角是直角

B.测量对角线是否相等

C.测量两组对边是否分别相等

D.测量对角线是否互相垂直

【考点】矩形的判定.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是

矩形，进行判断即可.

【解答】解：：有三个角是直角的四边形是矩形，

...要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角；

故选：A.

【点评】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键.

6.（2024秋•莲湖区期末）如图，菱形的对角线AC,2。相交于点。，E是的中点.若BC=4,则

的长为（）

D

A.4B.3C.2V3D.2

【考点】菱形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据菱形的性质和直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：：四边形ABC。是菱形，

：.CB=CD=4,AC±BD,

.\ZCOD=90°,

是CO的中点，

11

：.OE=^CD=^x4=2,

故选：D.

【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

7.（2024秋•成都期末）下列选项中，正方形具有而菱形不具有的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分D.四个角都是直角

【考点】正方形的性质；菱形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可.

【解答】解：正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定是直角.

故选：D.

【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌正方形的性质是解题的关键.

8.（2024秋•渝北区期末）如图，将平行四边形ABCZ）的一边延长至点E,若/OCE=55°,则的/

瓦⑦度数为（）

AD

【考点】平行四边形的性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】A

【分析】根据平行四边形的性质即可得到结论.

【解答】解：•••/Z）CE=55°,

.•.ZDCB=180°-ZDCE=180°-55°=125°,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.ZBAD=ZDCB=125°,

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

9.（2024秋•英德市期末）如图，在矩形A8CD中，对角线AC,2。相交于点。，若AO=3,则BD的长

A.3B.4C.5D.6

【考点】矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】D

【分析】根据矩形的性质得出AC=3D,AO=CO,求出AC,再求出8。即可.

【解答】解：：四边形ABC。是矩形，

：.AC=BD,AO=CO,

：AO=3,

：.CO=3,

，AC=3+3=6,

：.BD^AC^6,

故选：D.

【点评】本题考查了矩形的性质，能熟记矩形的对角线互相平分且相等是解此题的关键.

10.(2024秋•长沙期末)如图是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽，由其主体图案中相邻两个

直角三角形组合而成.作菱形CDER使点E,尸分别在边。C,OB,BC上,过点E作即，于

EH

点X,若NBOC=30°,则一=()

OA

【考点】菱形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】设CD=a,根据菱形的性质得，CD=DE=EF=FC=a,DE//CB,在RtZ^OOE中根据N20C

DD-1

=30°得。£>=2cz,OE=V3a,则0c=3°,进而得BC=疯，OB=|V3tz,从而得6a,然后证

EH

和△BOA相似可得则一的值.

0A

【解答】解：设CD=a,

'：四边形CDEF为菱形，

:.CD=DE=EF=FC=a,DE//CB,

「△OBC和△03A为直角三角形，且NOBC=NA=90°,

：.ZOED=ZOBC=90°,

在RtzXOOE中，/B0C=3G,

：・OD=2DE=2a,

由勾股定理得：OE=V002-OF2=V3a,

OC=OD+CD=2a+a=3〃，

在RtZ\05C中，ZBOC=30°,0C=3m

3

:・BC=严，

由勾股定理得：OB=VOC2-BC2=1V3a,

.,.EB=OB-OE=275a-V3a=）V^a,

'：EH±AB,ZA=90°,

：.EH//OA,

.♦.△BEHs^BOA,

.EHEB|V3a1

"0A~OB~|V3a-3.

故选：A.

【点评】V3

二.填空题（共5小题）

11.（2024秋•南岸区期末）如图，正方形ABC。的对角线AC,2。相交于点。，点M是2C边上一点，

连接0M,过点0作ONLOM,交CD于点N,若正方形ABCD的边长为2,则四边形OMCN的面积

是1

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】1.

【分析】先证N80M=NC0N,再证△BOM和△CON全等，得出和的面积相等，再证

得四边形OMCN的面积与△BOC的面积相等，即可得出答案.

【解答】解：；四边形ABC。是正方形，

：.AC1BD,OA=OC=OB=OD,NOBM=NOCN=45°,

.-.ZBOC=90°,

：.ZBOM+ZCOM=9Q°,

ONLOM,

：.ZMON=9Q°,

：.ZCON+ZCOM=90°,

：.ZBOM=ZCON,

在△BOM和△CON中，

rZOBM=/OCN

'OB=0C，

、乙BOM=乙CON

:•△BOM"ACON(ASA),

S/\BOM=SACON,

11

.'.S四边形OMCN=SACOM+SACON=SACOM+SABOM=SABOC=4S正方形ABCD=4x22=1,

故答案为：L

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，得出S^BOM=SACON是解题的关键.

12.(2024秋•兴庆区校级期末)如图，矩形ABC。的对角线AC、3。相交于点O,若AB=6c",BC=8cm,

则△ABO的周长是16cm.

【考点】矩形的性质；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】16.

【分析】由在矩形ABCD中，对角线AC,8。相交于点。，若对角线AB=6c〃z,BC=8cm,即可求得

。4与OB的长，然后利用勾股定理，求得A8的长，即可求得答案.

【解答】解：在矩形ABCZ)中，对角线AC,8。相交于点。，AB=6cm,BC=8cm,

：.ZABC^90°,OA^OB=^AC,

：.AC=7AB2+BC2=10(cm),

.\AO=BO=5cm,

•••△ABO的周长为。A+OB+A3=16(cm).

故答案为：16.

【点评】此题考查了矩形的性质以及勾股定理.此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.

13.(2024秋・顺德区期末)若。是直角三角形48。斜边42的中点，且4。=3,2。=4,则。=2.5.

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】2.5.

【分析】由勾股定理得求出AB=y/AC2+BC2=5,由直角三角形斜边中线的性质得到CD=%B=2.5.

【解答】解：由勾股定理得：AB=^AC2+BC2=V32+42=5,

1/D是直角三角形ABC斜边AB的中点，

1

：.CD=^AB=2.5.

故答案为：2.5.

【点评】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是直角三角形斜边中线的性质推出CD=^AB.

14.（2025•深圳模拟）已知矩形的边长分别为3和4,则该矩形的对角线长为5.

【考点】矩形的性质；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】5.

【分析】根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：,••矩形的边长分别为3和4,

该矩形的对角线长=V32+42=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

15.（2024秋•英德市期末）如图，在RtZkABC中，。是AC的中点，AC=4,则BD的长是2.

【考点】直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】2.

【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此得到

【解答】解：：及△ABC中，。是斜边AC的中点,

.•.B£)=|AC=1x4=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

三.解答题（共8小题）

16.（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，ZACB=90°,BC<AC,CD是斜边A8上的高线，CE

是斜边上的中线.

（1）若BD=ED,求证：NA=30°；

（2）若4£»=4BD=8,求CD的长.

【考点】直角三角形斜边上的中线；含30度角的直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】（1）证明见解答过程；

（2）4.

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得到CE==即=AE，证明△C8E为等边三角形,

得到/8=60°,再根据直角三角形的性质求出/A=30°；

（2）根据题意求出2D,根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CE,再根据勾股定理计算即可.

【解答】（1）证明：在△ABC中，ZACB=90°,CE1是斜边AB上的中线，

1

贝!JCE=^AB=EB=AE,

•；BD=ED,CDLEB,

:・CE=CB,

：.CE=BE=CB,

•••△CBE为等边三角形，

：.ZB=60°,

VZACB=90°,

ZA=90°-60°=30°；

(2)解：V4BD=8,

：.BD=2,

：.AB^ID+BD^IO,

由（1）可知：CE=BE=^AB=5,

：.DE=BE-BD=3,

由勾股定理得：CD=VC£2-DE2=7s2-32=4.

【点评】本题考查的是直角三角形斜边上的中线、含30度角的直角三角形的性质，在直角三角形中，

斜边上的中线等于斜边的一半.

17.（2024秋•南海区期末）如图，在团中，对角线AC与8。相交于点O,AB=AD=10,BD=U,

求AC的长.

【考点】平行四边形的性质；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】16.

【分析】根据平行四边形的性质和勾股定理即可得到结论.

【解答】解：；四边形ABC。是平行四边形，

1

:・OB=OD=^BD=6,AC=2AO.

9

：AB=ADf

：.AO±BD,

：.AO=7AB2—OB2=V102-62=8,

：.AC=2AO=16.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关

键.

18.（2024秋•莱芜区期末）如图，团A3CD的对角线AC,8。相交于点O,过点。的直线跖分别交AD、

C3的延长线于点E,F.求证：OE=OF.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】证明见解析.

【分析】根据平行四边形的性质可得AO=C。，AD//BC,进而可得再根据对顶角相

等可得ZAOE=ZCOF从而证明△AOE经△COF,证得结论.

【解答】证明：•..四边形ABC。是平行四边形，

.,.得AO=CO,AD//BC,

:./EAO=NFCO,

在△AOE和△(%＞尸中，

'ZEAO=ZFCO

-AO=CO，

^AOE=4COF

：.AAOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF.

【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边

形的性质.

19.(2024秋•府谷县期末)如图，四边形ABC。是平行四边形，AB=BC,A3LBC,点E是边CO的延长

线上的动点.连接AE.过点C作CPLAE于点?

(1)求证：四边形ABC。是正方形；

(2)当点尸是AE的中点，且CE=8或时，求四边形ABC。的面积.

【考点】正方形的判定与性质.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】(1)答案见解答过程；

(2)64.

【分析】(1)根据四边形42。是平行四边形，42=BC得平行四边形ABC。为菱形，再根据A3LBC

即可得出结论；

(2)连接AC,根据CF±AE于点F,点、F为AE的中点得CF为线段AE的垂直平分线，则AC=CE

=8J2,在RtZ\AC。中由勾股定理得A£>2=64,据此可得四边形A8CZ)的面积.

【解答】(1)证明：：四边形ABC。是平行四边形，AB=BC,

，平行四边形ABC。为菱形，

菱形ABCD为正方形，

(2)连接AC,如图所示：

•?CFLAE于点F,点F为AE的中点，

：.CF为线段AE的垂直平分线，

；.AC=CE=8J2,

:四边形A8CO为正方形，

\'AD=BC,ZA£>C=90°,

在RtZWCD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2,

.•.AZ)2=|AC2=IX(8V2)2=64,

，四边形ABCD的面积=AZ)2=64.

【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质是解决问题的关键.

20.(2024秋•永寿县校级期末)如图，在△ABC中，是BC边上的高，E,尸分别是边AB,AC的中点,

AB=6,AC=8,BC=10.求△OEF的周长.

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】12.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE、DF,根据三角形中位线定理求出EF,再

根据三角形周长公式计算即可.

【解答】解：是边上的高，

AZADB=ZADC=90°,

在中，E是边A8的中点，AB=6,

则DE=%B=3,

1

同理可得：DF=^AC^4,

,:E,歹分别是边AB,AC的中点，

是△ABC的中位线，

:.EF=]BC=5,

:.丛DEF的周长=£>E+DF+E/=3+4+5=12.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第

三边的一半是解题的关键.

21.(2024秋•洪雅县期末)如图，在△ABC中，AB^AC,DE//AB,分别交3C、AC于点。、E,点尸在

BC的延长线上，且CV=OE.

(1)求证：△CEE是等腰三角形；

(2)连接A。，当AO_LBC,BC=8,ZkCEF的周长为16时，求的周长.

【考点】直角三角形斜边上的中线；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)利用等腰三角形的性质可得然后再推出/ECZ)=NEDC,进而可得DE=

CE,再结合条件可得CE=CR进而可得结论；

(2)根据三线合一可得CQ的长，再根据△。以1周长=QE+OF+EF,利用等量代换可得△DEF的周长

=CE+E/+CD+Cr=周长+CQ,进而可得答案.

【解答】(1)证明：:△ABC中，AB=AC,

：.ZB=ZACBf

,:ED〃AB,

：.ZEDC=ZB,

：.ZEDC=ZECD,

:.DE=EC,

CF=DE,

：.CE=CF,

•••△CE/是等腰三角形；

(2)连接A。，当AD_LBC时，

9

：AB=ACf

1

:.BD=CD=扣C=4,

•；LDEF周长=DE+DF+EF,

DE=CE,DF=CF+CD,

：.缸DEF的周长=CE+EF+C£)+CB=Z\。所周长+C£)=16+4=20.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，关键是掌握等角对等边，等边对等角，以及等腰三

角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一.

22.(2022•绿园区校级一模)如图，在团A8C。中，点。是对角线AC,8。的交点，过点。且垂直于

AD.

(1)求证：OE=OF；

(2)若SEIABCD=63,OE—3.5,求AD的长.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】综合题；几何直观.

【答案】(1)证明见解析；

(2)9.

【分析】(1)运用ASA证明△AE。g△CFO即可得到结论；

(2)由(1)得EF=7,再根据平行四边形的面积计算公式求解即可.

【解答】(1)证明：：四边形ABC。是平行四边形，

J.AD//BC,OA=OC,

：.ZEAO=ZFCO,

在△AEO和△CFO中，

；NEAO=NFCO,OA^OC,ZAOE^ZCOF,

：.AAEO^ACFO,(ASA)

：.OE=OF；

(2)解：・：OE=OF,O£=3.5,

:.EF=2OE=7,

y."：EF.LAD,

SBABCD=ADXEF=63,

：.AD=9.

【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，

平行四边形的对角线互相平分，全等三角形的判定方法有SAS,ASA,44S,SSS等,本题主要考查了学

生运用定理进行推理的能力.

23.(2024秋•浦东新区期末)如图，△A8C中，是边8c上的高，CF是边4B上的中线，DC=BF,

点E是b的中点.

(1)求证：DELCF-,

(2)求证：NB=2NBCF.

【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)连接DF,根据直角二角形的性质得到DF=%B=BF,进而证明OC=。尸，根据等腰二

角形的三线合一证明结论；

(2)根据三角形的外角性质得到/如8=2/。"，根据等腰三角形的性质证明结论.

【解答】证明：(1)连接。R

是边8C上的高，

ZADB=90°,

:点尸是A8的中点，

:.DF=%B=BF,

:DC=BF,

:.DC=DF,

:点E是CF的中点.

：.DE±CF；

(2)'：DC=DF,

：.ZDFC=ZDCF,

：.ZFDB=ZDFC+ZDCF=2ZDFC,

,:DF=BF,

：.ZFDB=ZB,

：.ZB=2ZBCF.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等

于斜边的一半是解题的关键.

考点卡片

1.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

2.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

3.等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中

线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解

决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的

思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决.

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