2024-2025学年下学期初中数学八年级第十六章A卷

第十章六A卷

选择题（共10小题）

1.（2024秋•正定县期末）下列计算正确的是（）

A.V8-V2=V2B.V2+V3=V5C.4A/3-4A/3=1D.3+2/=

2.（2024秋•泉港区期末）下列各式中，化简结果正确的是（）

A.V16=4B.V9=±3

C.7（-4）2=-4D.V64=8

3.（2024秋•天府新区期末）下列运算，结果正确的是（）

A.V2+V3=V5B.3A/5—V5=3C.--=VJD.V6xV2=2V3

4.（2024秋•正定县期末）已知,=正口+斤蒜+3,则乙的值为（）

x

4A33

A.—B.--QC.—D.—-T

3344

5.（2024秋•锦江区期末）下列各式中，正确的是（）

A.J（-2尸=-2B.（-V3）2=9

C.±V9=±3D.V3-V2=1

6.（2024秋•沙坪坝区校级期末）估计（4g+鱼）x¥的值在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

7.（2024秋•法库县期末）下列运算正确的是（）

A.V4=±2B.V20=4V5C.V3+V2=V5D.J（—3尸=3

8.（2024秋•浦东新区校级期末）下列各式中，与后是同类二次根式的是（）

A.2vHB.C.V8aD.V2«2

9.（2024秋•浦东新区校级期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.V18C.726abD.Vx2-2x+1

10.（2024秋•浦东新区校级期末）下列计算正确的是（）

A.V4—V2=V2B.3V3+2V3=5V3

V18/—

c@电=停D.——=V6

3

二.填空题（共5小题）

11.（2024秋•泉港区期末）最简二次根式7^二1与2遍可以合并，则％=

12.(2024秋•长宁区校级期末)当实数x时，J-磊有意义.

13.(2024秋•锦江区期末)定义：因为(6+迎)(6-向)=(返)2-(死)2=。-6,可以有效的去掉根

号，我们称(VH+VF)与(VH-VF)为一对"对偶式”.若V18—%—V11—%=1,则V18—%+

V11—X=.

14.(2024秋•浦东新区校级期末)6+VF的有理化因式是.

15.(2024秋•浦东新区校级期末)二次根式4-2的有理化因式可以是.

三.解答题(共8小题)

16.(2024秋•昆都仑区期末)计算：

(1)2V3+3V2-5V3-3V2；

(2)(V5+V2)(V5-V2)-(V3-V2)2.

17.(2024秋•拱墅区期末)已知。是-8的立方根，b是兰的算术平方根.

25

(1)直接写出。，6的值，并比较。与6-1的大小.

(2)求代数式a?+5xV7-5(2b+V7)的值.

18.(2024秋•罗湖区期末)计算：

(2)V75-(2024-7T)°+|2-V3|.

19.(2024秋•泉州期末)如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25.

(1)大正方形的边长是，小正方形的边长是

(2)求图中阴影部分的周长.

20.(2024秋•大庆期末)定义两种新运算，规定：a^b=4a-b,a^,b=y/a+b,其中a,b为实数且a

20.

(1)求(5^1)(5^1)的值；

(2)化简(?★«)□☆w).

21.(2024秋•新城区期末)【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根

式，那么这两个代数式互为有理化固式.

例如:V5xV5=5/(V5+1)(V5—1)=4,我们称遮和愿互为有理化因式，(遥+1)和(V5—1)

互为有理化因式.

【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分

母中不含根号，这种变形叫作分母有理化.例/产誓=Vs+2.

V5—2(V5—2)(V5+2)

结合上述材料，解决问题：

(1)"U的有理化因式是，V10+3的有理化因式是；

(2)利用分母有理化化简"7^.

V17+4

22.(2024秋•碑林区校级期末)已知刀=b+四，y=V3-V2,求/-孙+y的值.

23.(2024秋•长沙期末)我们约定：关于x的代数式A,B,若不论x为何值，都有|A-2|=机(机为常数)，

则称代数式A,8互为“差值代数式”，机为“差值”.例如：A=X2+2X+3,B=X2+2X+1,因为|A-8|=2,

所以A,8互为“差值代数式"，“差值”为2.根据该约定，解答下列问题.

(1)判断下列各式是否互为“差值代数式”.若是，则在括号中的划“J”，若不是，则划“X”.

+1与—1；

②(x+2)2与/+2x；

x+32x+3

③——与-------------.

XX

(2)已知关于龙的整式M=(x-fl)2,N=*-2ax+5,若M,N互为“差值代数式”，且“差值”为

4,求。的值；

(3)已知关于尤的整式S=/+6x+c,T=j^+dx,若S,T互为“差值代数式”，且满足(尤+2)(x+3)(x+4)

(x+5)=S2-1.

①求b,c,d的值；

T

②求代数式=的最小值.

第十章六A卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案AADCCCDCCB

选择题（共10小题）

1.（2024秋•正定县期末）下列计算正确的是（）

A.V8-V2=V2B.V2+V3=V5C.4百一4百=1D.3+

【考点】二次根式的加减法.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】A

【分析】根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可.

【解答】解：A、V8-V2=2V2-V2=V2,故此选项符合题意；

B、夜与日不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；

C、4V3-4V3=0,故此选项不符合题意；

D、3与2/不能合并，故此选项不符合题意；

故选:A.

【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2.（2024秋•泉港区期末）下列各式中，化简结果正确的是（）

A.V16=4B.V9=±3

C.J（—4尸=—4D.V64=8

【考点】二次根式的性质与化简；立方根.

【专题】实数；二次根式；运算能力.

【答案】A

【分析】根据二次根式的性质、立方根的知识点进行解题即可.

【解答】解：A、V16=4,正确，符合题意；

B、V9=3,不正确，不符合题意；

C、J（一4尸=4,不正确，不符合题意;

。、V64=4,不正确，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查二次根式的性质与化简，立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键.

3.（2024秋•天府新区期末）下列运算，结果正确的是（）

A.V2+V3=V5B.3V5—V5=3C.f=V4D.V6xV2=2V3

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】D

【分析】利用二次根式的混合运算法则一一计算判断即可.

【解答】解：A、鱼与而不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意；

B、3事）-事）=2事）,本选项错误，不符合题意；

C、j=V2,本选项错误，不符合题意；

D、V6xV2=V12—2y[3,本选项正确，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则.

,____,____V

4.（2024秋•正定县期末）已知y=后口+W^+3,则一的值为（）

4A33

A.—B.-5C.—D.--T

3344

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式.

【答案】C

【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案.

【解答】解：由题意可得：尤=4,

贝！Jy=3,

则上的值为：

X4

故选：C.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出尤的值是解题关键.

5.（2024秋•锦江区期末）下列各式中，正确的是（）

A.7(-2)2=-2B.(-V3)2=9

C.±V9=±3D.旧一&=1

【考点】二次根式的混合运算；平方根.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】c

【分析】利用二次根式的性质一一计算判断即可.

【解答】解：A、曲取=2,本选项错误，不符合题意；

B、（-V3）2=3,本选项错误，不符合题意；

C、±V9=±3,本选项正确，符合题意；

D、次与鱼不是同类二次根式，不能合并，本选项错误，不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方根，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则.

6.（2024秋•沙坪坝区校级期末）估计（4冉+/）x孝的值在（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】将原式计算后进行无理数的估算即可.

【解答】解：原式=2遥+1=旧+1,

V4<V24<5,

.•.5<V24+1<6,

即原式的值在5和6之间，

故选：C.

【点评】本题考查二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握相关运算法则及无理数估算的方

法是解题的关键.

7.（2024秋•法库县期末）下列运算正确的是（）

A.V4=±2B.V20=4V5C.V3+V2=V5D.J（—3）2=3

【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法.

【专题】计算题；二次根式；运算能力.

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质与化简，二次根式的运算法则计算判断即可.

【解答】解：A、V4=2,故此选项不符合题意；

B、V20=2V5,故此选项不符合题意；

C、V3+V2^V5,故此选项不符合题意；

D、7（-3）2=3,故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键.

8.（2024秋•浦东新区校级期末）下列各式中，与岳是同类二次根式的是（）

A.2VaB.C.V8aD.

【考点】同类二次根式；二次根式的性质与化简.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可.

【解答】解：A、2vH与衣不是同类二次根式，不符合题意；

B、上=畔,与伍不是同类二次根式，不符合题意；

C、y/8a=V4X2a=2V2a,与后是同类二次根式，符合题意；

D、E=也,与后不是同类二次根式，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是同类二次根式,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同，

就把这几个二次根式叫做同类二次根式.

9.（2024秋•浦东新区校级期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.V18B.C.726abD.Vx2-2x+1

【考点】最简二次根式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】C

【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这

样的二次根式叫做最简二次根式，分母中含有二次根式的也不是最简二次根式，由此判断即可.

【解答】解：A、V18=3V2,不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

B、/=¥，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

c、而F是最简二次根式，故此选项符合题意；

D、V%2-2%+1=y/（x-I）2=II，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键.

10.（2024秋•浦东新区校级期末）下列计算正确的是（）

A.V4-V2=V2B.3V3+2V3=5V3

C.V3-J|=^D-?=加

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】B

【分析】根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；

根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断.

【解答】解：A.V4-V2=2-V2,所以A选项不符合题意；

B.3V3+2A/3=5A/3,所以3选项符合题意；

C.V3xJ|=j3x|=V5,所以C选项不符合题意；

D.~~=-=V2,所以。选项不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则

是解决问题的关键.

—.填空题（共5小题）

11.（2024秋•泉港区期末）最简二次根式折口与2g可以合并，则尸5.

【考点】同类二次根式；最简二次根式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】5.

【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：由题意可知：最简二次根式与2次是同类二次根式，

贝Ux-2=3,

解得：x=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查的是同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同,

就把这几个二次根式叫做同类二次根式.

12.（2024秋•长宁区校级期末）当实数x<7时,J-磊有意义.

【考点】二次根式有意义的条件.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】<-1.

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得：一系20,

2

:一中力。,

2

则x+l<0,

解得：x<-1,

故答案为：<-1.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题

的关键.

13.（2024秋•锦江区期末）定义：因为（6+迎）（迎-VF）=（6）2-（迎尸=a-6,可以有效的去掉根

号，我们称（VH+啊与乐-迎）为一对“对偶式”.若A/18—X-Vil-x=1,则U18—x+V11-%=

7.

【考点】二次根式的化简求值.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】7.

【分析】在等式“8-乂一41=1的两边乘+一、）可得结论.

【解答】解：：同=W—"1=^=1,

（V18—x-Vl1—x）（V18—x+V11—x）=V18—x+V11—x,

.W18-x+Vil-x=18-x-（ll-x）=7.

故答案为：7.

【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

14.（2024秋•浦东新区校级期末）孤+VF的有理化因式是Va-Vb

【考点】分母有理化.

【专题】计算题；二次根式.

【答案】见试题解答内容

【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子，据此作答.

【解答】解：+(VH-VF)=(Va)2-(乃)2—a-b,

VH+VF的有理化因式是VH-Vb,

故答案为：VS—Vb.

【点评】本题考查了二次根式的有理化.根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.二次根式有

理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.即一项

符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.

15.(2024秋•浦东新区校级期末)二次根式叮-2的有理化因式可以是役+2.

【考点】分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】依+2.

【分析】根据分母有理化因式的特征进行解答即可.

【解答】W：V(Vx-2)(Vx+2)=x-4,

.,.二次根式«-2的有理化因式可以是《+2,

故答案为：〃+2.

【点评】本题考查分母有理化，掌握分母有理化因式的特征是正确解答的关键.

三.解答题(共8小题)

16.(2024秋•昆都仑区期末)计算：

(1)2V3+3V2-5V3-3V2；

(2)(V5+V2)(V5-V2)-(V3-V2)2.

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】⑴-3V3；

(2)2V6-2.

【分析】(1)直接合并同类二次根式即可；

(2)先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可.

【解答】解：(1)原式=-38；

(2)原式=5-2-(3-2V6+2)

=5-2-5+2V6

=2遥-2.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式

是解决问题的关键.

17.(2024秋•拱墅区期末)已知。是-8的立方根，b是兰的算术平方根.

25

(1)直接写出。，6的值，并比较a与6-1的大小.

(2)求代数式a?+5xV7-5(2b+V7)的值.

【考点】二次根式的混合运算；立方根；实数大小比较.

【专题】二次根式；运算能力.

4

【答案】(l)a=-l,b=a<b-1；

(2)-4-10V7.

【分析】(1)根据立方根，算术平方根的定义求出a,6可得结论；

(2)把a,6的值代入计算即可.

【解答】解：(1)是-8的立方根，万是”的算术平方根，

4

27

〃---

‘P-

5

4

7仁

P-1---=

=5

.\a<b-1；

(2)原式=(-2)2-5V7-5(-+g)

=4-5V7-8-5V7

=-4-10V7.

【点评】题考查二次根式的混合运算，立方根，实数的大小比较，解题的关键是掌握二次根式的混合运

算法则.

18.(2024秋•罗湖区期末)计算：

V24xV6

⑴

(2)V75-(2024-7T)°+|2-V3|.

【考点】二次根式的混合运算；实数的运算.

【专题】实数；运算能力.

【答案】⑴4V3；

(2)4V3+1.

【分析】(1)先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的乘法法则计算，最后根据二次根式的

性质化简即可；

(2)先根据二次根式的性质、零指数累、绝对值的性质计算，再合并即可.

【解答】解：(1)立等生

=V24XV2

=V48

=4遍；

(2)V75-(2024-兀)°+|2-V3|

=5V3-1+2-V3

=4V3+1.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

19.(2024秋•泉州期末)如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为18和25.

(1)大正方形的边长是5,小正方形的边长是

(2)求图中阴影部分的周长.

【考点】二次根式的应用.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】(1)5,3V2；

(2)20.

【分析】(1)根据题意可得小正方形边长为3a,大正方形边长为5,即可求解;

(2)根据大小正方形的边长为3注和5,列式即可求解.

【解答】解：(1)..•大正方形的面积为25,小正方形的面积为18,

大正方形边长为后=5,小正方形边长为VIm=3V2,

故答案为：5,3V2；

(2)♦.•大正方形边长为5,小正方形边长为3VL

.•.阴影部分的周长4(5-3V2)+4x3a=20.

【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算的应用，明确题意，求出大小正方形的边长是解题的关键.

20.(2024秋•大庆期末)定义两种新运算，规定：crkb=Va-b,ai^b=y/a+b,其中a,b为实数且a

》0.

(1)求(5*1)(5☆1)的值；

(2)化简(2★心(2祗n).

【考点】二次根式的混合运算.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】⑴4；

(2)2-层.

【分析】根据题意列式计算即可.

【解答】解：(1)原式=(V5-1)(V5+1)

=5-1

=4；

(2)原式=(V2-w)(V2+n)

=2-

【点评】本题考查二次根式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键.

21.(2024秋•新城区期末)【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根

式，那么这两个代数式互为有理化固式.

例勿7：V5xV5=5,(V5+1)(V5-1)=4,我们称小和有互为有理化因式，(花+1)和(有一1)

互为有理化因式.

【材料二】如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分

1lX(V5+2)

母中不含根号，这种变形叫作分母有理化.例=Vs+2.

Vs-2(V5—2)(V5+2)

结合上述材料，解决问题:

(1)VIU的有理化因式是V10+3的有理化因式是3

⑵利用分母有理化化简备.

【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；分母有理化.

【专题】二次根式；运算能力.

【答案】(1)V10,V10-3；

(2)V17-4.

【分析】(1)根据有理化因式的定义求解；

(2)利用平方差公式分母有理化即可.

【解答】解：(1)的有理化因式是内，旧+3的有理化因式是“U-3.

故答案为：V10,V10—3；

(2)原式=­,——-^=—=VT7—4.

(717+4)(717-4)

【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则.

22.(2024秋•碑林区校级期末)已知x=,+VLy=V3-V2,求/-孙+y的值.

【考点】二次根式的化简求值.

【答案】见试题解答内容

【分析】把所求的式子变形成(x+y)2-3町的形式，然后代入数值计算即可.

【解答】解：原式=(x+y)2-3孙，

当久=8+a,丫=百一/时，原式=(2V3)2-3(V3+V2)(V3-V2)

=12-3

=9.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是关键.

23.(2024秋•长沙期末)我们约定：关于x的代数式A,B,若不论x为何值，都有|A-8|=机(机为常数)，

则称代数式42互为"差值代数式",M2为"差值".例如:A=X2+2X+3,B=X2+2X+1,因为|A-3|=2,

所以A,2互为“差值代数式"，“差值”为2.根据该约定，解答下列问题.

(1)判断下列各式是否互为“差值代数式”.若是，则在括号中的划“J”，若不是，则划“义”.

①爪+1与《—1V；

②(x+2)2与/+2尤X；

X+32%+3

③一与——V.

xx

(2)已知关于x的整式(x-a)2,N=/-2办+5,若〃，N互为“差值代数式”，且“差值”为

4,求。的值；

(3)已知关于尤的整式S=/+6x+c,T=x1+dx,若S,T互为''差值代数式”，且满足(尤+2)(x+3)(x+4)

(x+5)=S2-1.

①求b,c,d的值；

T

②求代数式定的最小值.

【考点】二次根式的加减法；整式的加减；多项式乘多项式；平方差公式.

【专题】整式；分式；运算能力.

【答案】(1)①②义，③

(2)a=l或a=-1或。=3或a=-3；

AQ

(3)①。=7,c=11,d=7；②—2^.

【分析】(1)根据“差值代数式”以及“差值”的定义以及计算方法进行解答即可；

(2)根据“差值代数式”以及“差值”的定义以及计算方法得到5|=4,进而得至!］。2一5=4或，2

-5=-4,求出〃的值即可；

(3)①根据(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=S?-1可化为(/+7x+根)(/+7x+12)=(/+Zzx+c+l)(/+fcv+c

-1),进而求出8=7,c=ll,再根据“差值代数式”以及“差值”的定义以及计算方法可得到b=d；

Ty2।yY［人

②将S=x2+bx+c,代入一^可得一5-----------进而得到1——2,当7+7尤+16的值最小

S+5X2+7X+16/+7%+16

时，原式的值最小，求出7x+16的最小值即可.

【解答】解：⑴①立+1-(々―1)|=2,所以«+1与近—1互为“差值代数式"，“差值”为2,

故答案为：V；

②|(x+2)2-(7+2x)|=|/+4工+4-/-2工|=|2五+4］,所以(x+2)2与/+2x不是(尤+2)2与/+2x,

故答案为：X；

丫-|-2?丫-|~2Q2丫_|-2QV-L*2

③I——-——1=|1+|-2-1|=1,所以当无W0时，——与——互为“差值代数式"，“差值”为1,

XXXXXX

故答案为：V；

(2),・,关于］的整式M=(x-4z)2,N=/-2〃x+5,若M,N互为“差值代数式”，且“差值”为4,

A\M-N\=\(%-4)2-(x2-2ox+5)|=4,

即id-5|=4,

-5=4或。2-5=_%

当〃2-5=4时，即/=9,所以〃=3或〃=-3；

当〃2-5=-4时，即〃2=1,所以。=1或〃=-］；

综上所述，4=1或〃=-1或4=3或4=-3；

(3)①:关于％的整式S=/+bx+c,T=/+公，若s,T互为“差值代数式”，

A\j?+bx+c-x2-的结果是常数，

:.b=d,且“差值”为Id,

又：(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=S2-1,

(/+7x+10)(7+7尤+12)=(/+6x+c+l)(x2+bx+c_1),

:.b=1,c=ll,

答：b=l,c=ll,d=7；

工=-+7X=]16

S+5%2+7X+16X2+7X+16，

当7+7元+16的值最小时，原式的值最大,

4X1X16-4915

1.,X2+7X+16的最小值为

4X14

.•扁的最小值1-骨=-篝

【点评】本题考查平方差公式，多项式乘多项式二次根式的加减法，掌握平方差公式的结构特征，多项

式乘多项式的计算方法是正确解答的关键.

考点卡片

1.平方根

(1)定义：如果一个数的平方等于。，这个数就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

(2)求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数。的正的平方根表示为“g负的平方根表示为“-迎”.

正数a的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作份.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，。的立方根是

0.

2.立方根

(1)定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果/=a,

那么x叫做。的立方根.记作：VH.

(2)正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

(3)求一个数。的立方根的运算叫开立方，其中。叫做被开方数.

注意：符号狐中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一

个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，。的立方根是

0.

3.实数大小比较

实数大小比较

(1)任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负

实数比大小，绝对值大的反而小.

(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在

原点左侧，绝对值大的反而小.

4.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

5.实数的运算

(1)实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，

又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

(2)在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算

加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数(特别是负整数指数，0指数)运算、根式运算、特殊三

角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运

算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

6.整式的加减

(1)几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项.

(2)整式的加减实质上就是合并同类项.

(3)整式加减的应用：

①认真审题，弄清已知和未知的关系；

②根据题意列出算式；

③计算结果，根据结果解答实际问题.

【规律方法】整式的加减步骤及注意问题

1.整式的加减的实质就是去括号、合并同类项.一般步骤是：先去括号，然后合并同类项.

2.去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是时，

去括号后括号内的各项都要改变符号.

7.多项式乘多项式

(1)多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

(2)运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项

之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.

8.平方差公式

(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.

(a+b)(.a-b)—a2-b2

(2)应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

②右边是相同项的平方减去相反项的平方；

③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；

④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便.

9.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

(1)二次根式的概念.形如G(a20)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

(3)二次根式具有非负性.VH(a20)是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的

非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根