2024北师大版七年级数学下册第一章 整式的乘除 单元测试A卷

北师大版（2024）数学七下第一章整式的乘除单元测试A卷

一'选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.一种细胞的直径约为0.0000032米，将0.0000032用科学记数法表示为（）

A.3.2X10-6B.3.2X106C.32X10-5D.0.32XIO"

2.下列计算正确的是（）

A.（a3『=B.a?-a—2a4C.（ab）3=a3bD.a8-?a2=a4

3.下列各式计算结果为的是（）

A.a2--a3B.a3+a3c.a12-a2D.（可.小

4.已知整式a/+力％+。分解因式得一（2%一3）（%-1）,则a、b、c的值分别（）

A.-2,5,—3B.-2,-53C.2,—5,3D.2,5,—3

5.若a—b=6,ab=16,则小+/的值为（）

A.68B.52C.20D.4

6.已知多项式4=%2+4%+n2,多项式B=2%2+6%+3n2+3.

①若多项式%2+4%+彦是完全平方式，则九=2或—2；

@B-A>2；

③若4+B=2V10,A-B=-6,则力-B=±8；

2

④代数式5/2+9B-12A-B-6A+2031的最小值为2022.以上结论正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.如果a,b,c,d都是非零实数，且满足小+/=1,/+&2=1,敬+/^=0,下列结论中，（1）

a2+c2=1（2）ab+cd=0（3）ad+be=0,则一定成立的命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

8.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1〜9填入如图所示的“幻方”中，使得每

个圆圈上的四个数字的和都等于21,若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C,且4+

B+C=411.如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、x+y,贝ky的值为（）

A.6B.10C.14D.18

二、填空题(本题有5小题，每小题3分，共15分)

9.三个连续偶数，中间一个数为n,则这三个数的和为.

10.若。帆=2,an=3,贝！la?优f的值是.

11.若％+y=3,xy=I，则(久一丫尸的值为.

12.计算：(2+1)(22+1)(24+1)...(232+1)+1=.

222

13.若a=2005,b=2006,c=2007,^a+b+c-ab-be-ac=.

三'解答题(本题共7小题，第14题6分，第15题6分，第16题6分，第17题10分，第

18题12分，第19题10分，第20题11分，共61分)

14.计算:

(1)a3-a4-a+(a2)4+(—2a4)2;

(2)(x—y)(x2+xy+y2).

15.先化简，再求值：—2ab—r)+b—(a+b)(a—b),其中a=0,5,b——1.

16.通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式。如图，将一个边长为

a+b的正方形图形分割成四部分(两个正方形和两个长方形)，请观察图形，解答下列问题：

(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公

式：;

(2)如果图中的a,b(a〉b>0)满足a2+b2=70,ab=15,求(a—b>的值.

17.某学习小组学习了嘉的有关知识后发现：根据a"=b,知道机的值，可以求6的值.如果知

道。、万的值，可以求加的值吗？他们为此进行了研究，规定：若。机=乩那么7(a,b)=m.例

如，那么7(3,81)=4.

(1)填空：7(2,32)=；呜,8)=;

i

(2)计算：T(1,27)+T(-2,16);

18.先计算，然后根据计算结果回答问题：

(1)计算:

①（1x102）x（2x104）=

②（2X104）X（3X107）=

③（3X107）X（4X104）=

④（4x105）x（5x1O10）=

（2）已知式子（axion）x（bxiom）=cxiop成立，其中a,b,c均为大于或等于1且小于10

的数，m,n,p均为正整数，请你说出m,n,p之间存在的等量关系

19.先阅读下列材料，再解答后面的问题.

一般地，n个相同的因数a相乘的积记作a”,

即一如23=8,此时，3叫作以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）.一般

axaxxa=a71

地，若an=b（a>0且/1,b>0）,则n叫作以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）,如34=

81,则4叫作以3为底81的对数，记为log381（BPlog381=4）.

问题：

（1）计算以下各对数的值：

log24=,log216=,log264=；

（2）通过观察（1）,思考：log2%log216,log264之间满足怎样的关系式？

20.乘法公式的探究及应用.

数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边

长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片

两张拼成如图2的大正方形.

图1图2

（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积.

方法1：;方法2：.

（2）观察图2,请你写出下列三个代数式：（a+b）2,a2+b2,ab之间的等量关系.—；

（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2

（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a+b=5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知(%—2020)2+(久—2022)2=34,求(％-2021)2的值.

答案解析部分

L【答案】A

【解析】【解答】解：将0.0000032用科学记数法表示3.2x10-6,

故答案为：A

【分析】科学记数法的表示形式为ax10。的形式，其中lW|a|<10,n为整数，表示时关键要正确

确定a的值以及n的值.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与

小数点移动的位数相同.

2.【答案】A

【解析】【解答】A..3)3=a%原计算正确，故符合题意，A正确；

B.a3-a=a\原计算错误，故不符合题意，B错误；

c.(ab)3=(13b3,原计算错误，故不符合题意，C错误；

D.a^a2=a6,原计算错误，故不符合题意，D错误；

故选：A.

【分析】本题考查同底数嘉的乘法、塞的乘方、积的乘方及同底数嘉的除法.利用嘉的乘方进行计

算可得：(a3『=a9,据此可判A选项；利用同底数嘉的乘法：底数不变，指数相加可得：a3-a=

a4,据此可判断B选项；利用积的乘方进行计算可得：(ab)3=a3/，据此可判断C选项；利用同

底数曷的除法：底数不变，指数相减可得：。8+02=。6,据此可判断D选项；

3.【答案】D

【解析】【解答】解：A、a2-a3^as,A错误；

B、a3+a3=7.0?,B错误；

C、cz12a2-a10,C错误；

D、(a2)4-?a2=a8-?a2=a6,D正确；

故选：D.

【分析】A同底数幕相乘，底数不变，指数相加；B利用合并同类项求解；C同底数幕相除，底数不

变，指数相减；D同底数幕的乘方，底数不变，指数相乘，再按同底数幕除法计算即可.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：V-(2%-3)(%-1)=-2x2+3%+2%-3=-2x2+5x-3,

/.ax2+bx+c=—2x2+5%—3,

••CL=2,b=5,c=3,

故选：A

【分析】本题考查多项式乘以多项式，以及多项式相等时对应各项系数相等，利用整式的乘法去括

号合并同类项可得：—(2%—3)(%—1)=-2x2+3%+2%—3=—2x2+5%-3,对比各项系数相等

进而可求出a,b,c的值.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：・・・q—b=6,

(a—b)2=36,

•,a?-2ab+b?=36，

把ab=16代入十一2ab+b2=36可得：a2-2x16+b2=36,

解得:a2+b2=68;

故答案为：A.

【分析】利用完全平方公式及a—b=6,ab=16,求出次—2x16+房=36，再求出小+必=

68即可.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：①若多项式/+4%+小是完全平方式，则层=4,解得：ri=2或—2；

故①正确，符合题意；

②力=/+4%+几2,8=2/+6%+3n2+3,

-A=2x2+6%+3n2+3—(%2+4%+n2)

=x2+2x+2n2+3

=(%+I)2+2n2+2,

V(%+l)2>0,2几2>0,

/.(x+l)2+2n2+2>2,即B一力之2,

故②正确，符合题意；

③:力+B=2V1U,A-B=-6,

・•・Q4-8)2=(4+8)2-4AB=40+24=64,

由②可得：B-A>2,

：.A-B<2,

A-B=-8,

故③错误，不符合题意；

④542+9B2-12A-B-6A+2031

=4X2+9B2-12A-B+A2-6A+9+2022

=(2A-38)2+(人-3)2+2022,

'/(2A-3B)2>0,(A—3尸>0,

(2A-3B)2+(A-3尸+2022>2022,

即代数式5^2+9B2-12A-B-6A+20代的最小值为2022,

故④正确，符合题意；

综上：正确的有①②④，共3个，

故选：C.

【分析】根据完全平方的两个公式可求出n的值，即可判断①；再代入计算B-4并将其结果进

行配方，根据平方的非负性，即可判断②；③根据完全平方公式的得出(4-B)2=Q4+B)2-

4AB=40+24=64,结合②中的结论，即可判断③；将代数式转化为=(24—3B)2+(A—3A+

2022,利用平方的非负性，即可判断④；综上所述可得到正确结论的个数.

7.【答案】C

【解析1【解答1解：(1)va2+b2-1,c2+d2=1,ac+bd-0,

...b2=1—a2,d2=1—c2,ac=—bd,

■■■b2d2—1—a2—c2+a2c2,

(bd)2—1—a2—c2+(ac)2,

；.(bd)2=1—a2—c2+(—bd)2,

•••(bd)2=1—a2—c2+(bd)2,

•••a2+c2=1,

(2)a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,

/.ac=-bd,

ab+cd

=ab(^c2+d2)+cd(a2+b2)

=abc2+abd2+cda2+cdb2

=ac-bc+ad-bd+ac-ad+be-bd

=-bd-bc+ad-bd+(-bd)-ad+be-bd

=0；

(3)a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,

/.ac=-bd,

2

(ad+be)

=a2d2+2ad・be+b2c2

=a2d2+2ac•bd+b2c2

=Q2d2+ac-bd+ac-bd+b2c2

2

-a2d2+ac.(—ac)+(—bd)•bd+bc

=a2d2-a2c2-b2d2+b2c2

=a2(d2-c2)-b2(d2-c2)

=(d2-c2)(a2一b2)

•.•只有当d=±c或a=±b时,

(d2—c2)(a2—b2)=0,

即只有当d=±c或a=土b时，(ad+be)2=0,

/.ad+bc=0不成立.

综上所述，有2个命题正确.

故答案为：C.

【分析】解题题目条件，利用整式的乘法计算，逐项判断即可解题.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：・・•每个圆圈上的四个数字的和都等于21,

・•・三个大圆圈上的数字之和为：21x3=63,

丁各小圆圈的数字N和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

为什么63W45,这是因为％、y、％+y都加了两次，

・,・%+y+%+y=63—45,

・•・2x+2y=18,

.・・%+y=9,

-A+B+C=411,

而各圆圈的数字的平方和为仔+22+32+42+52+62+72+82+92=285,

为什么411中285呢？

这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次，

(%+y)2+x2+y2=411-285=126,

.1.x2+2久y+y2+x2+y2=126,

2(久2+y2+xy)=126,

•••x2+y2+xy—63,

x+y=9,

(%+y)2=92,

x2+2xy+y2=81,

%2+y2=81—2xy,

将/+y2=81—2久y代入/+y2+=63得81—2xy+xy=63,

xy=81—63=18,

•••xy=18.

故选：D.

【分析】本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，以及乘法公式，根据题意，得到每个圆

圈上的四个数字的和都等于21,则三个大圆圈上的数字之和为63,可得x+y=9,结合A+B+

C=411,得到/+y2=81—2久y,再有X+y=9,进而求得久y=18,即可求解；

9.【答案】3n

【解析】【解答】解：••・三个连续偶数，中间一个数为几

.•.前一个偶数为：n-2,后一个偶数为：n+2

.•.三个数的和为：(n-2)+n+(n+2)=3n

故答案为：3n.

【分析】本题考查平方差公式、单项式乘多项式.设中间一个数为n,根据连续偶数之间的差值为2

可得：前一个偶数为：n-2,后一个偶数为：n+2,据此可得三个数的和为：(九―2)+n+5+

2),再进行计算可求出答案.

10.【答案】1

【解析】【解答】解：：。7"=2,必=3,

：.a2m-n=a2m+那=(出"A+必=4+3=$

故答案为：J

【分析】由题意，逆用幕的乘方法则和同底数幕的除法法则把原式变形，然后整体代换计算即可求

解.

11.【答案】4

【解析］【解答】解：原式=x2—2xy+y2=x2—2xy+y2+2xy—2xy=(x+y)2—4%y,

把％+y=3,xy=东代入得

原式=3?—4xa=4,

故答案为：4.

【分析】根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,进行变形后，把题目所给条件整体代入即可求

出答案.

12.【答案】264

【解析】【解答］解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)…阴+i)+i

=(22-1)(22+1)…(232+1)+1

=(24-1)(24+1)-(232+1)+1

=264-1+1

=264；

故答案为：26匕

【分析】在原式前面乘以(2-1)构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可。

13.【答案】3

【解析】【解答】解：a2+b2+c2—ab—be—ac=^(2a2+2b2+2c2—2ab—2bc—2tic)

1

-

22—2ab+b2)+(b2—2bc+c2)+(a2—lac+c2)]

1

-1

2-b)2+(b-c)2+(a-c)2]=5X[(2005-2006)2+(2006-2007)2+(2005-2007)2]

=3

故答案为：3.

【分析】根据目标代数式的结构，直接代入计算量过于庞大，联想完全平方公式，为配凑中间项的

系数2,可先将原代数式提取会后逐项完成配平方差并代入计算即可.

14,【答案】⑴解：a3"a+(a2)4+(—2a4『

=a8+a8+4a8

=6a8；

(2)解：(%—y)(x2+xy+y2)

=x3+x2y+xy2—x2y—xy2—y3

=x—y.

【解析】【分析】(1)根据整式的运算法则，先进行幕的运算，再合并同类项，进行加减运算，即可

解答；

(2)根据多项式与多项式的乘法法则，多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘以另

一个多项式每一项，再把所得的积相加，其中多项式乘以多项式就是利用乘法分配律进行计算，即可

解答.

(1)解：a3..a+(a2)4+(-2a4)2

=a8+a8+4a8

=6a8；

(2)解：(%-y)(%2+xy+y2)

=x3+x2y+xy2—x2y—xy2—y3

=x3—y3.

15.【答案】解：(a2/?—2ab—/)+b—(a+b)(a—b)

=a2—2a—b2—(a2—b2)

=a2-2a-b2-a2+b2

=—2a,

当a=0.5时，原式=-2x0.5=-1.

【解析】【分析】本题考查整式的化简求值.先利用多项式除以单项式的计算法则和平方差公式去括号

可得：原式=/一2。—入2—(十一^2),再去括号可得：原式==一2。一炉一02+^2,再合并同

类项可求出原式，再将a=0.5代入原式可求出答案.

16.【答案】(1)(a+b)2=a2+2ab+b2

(2)解：(a-b)2=a2+b2-2ab=70-2x15=40.

【解析】【解答］解：(1)大正方形的面积为：(a+b)2；四个部分的面积和：a2+2ab+b2，

(a+b)2=a2+2ab+b2

故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2.

【分析】(1)分别表示出大正方形的面积，四个部分的面积和，可得答案；

(2)由(1)得(a—b)2=a?+b2—2ab,代数求解即可.

17.【答案】(1)5；-3

(2)解：G)-3=27,(—2)4=16

1

・・・呜27)=-3,7(-2,16)=4

・・・7(右27)+7(-2,16)=-3+4=1

【解析】【解答】解：⑴V2532,

，T(2,32)=5,

••,&)3=8，

­,•T(|,8)=-3.

故答案为：5,—3.

【分析】(1)根据乘方和负整数次幕的运算法则，即可得到答案；

(2)根据乘方和负整数次幕的运算法则，即可得到答案.

18.【答案】(1)2x106；6X1011；1.2X1012；2xl016

(2)观察(1)的计算结果，可知(axl£)n)x(bxiom)=axbxiom+n=cxiop,因为a,b,C均为大于

或等于I且小于10的数，

所以当lWaxb〈10时，p=m+n；当axbNlO时，p=m+n+l.

【解析】【解答】(1)(1)(1x102)X(2x104)=1X2X102+4=2X106;

②(2X104)X(3X107)=2X3X104+7=6X1011；

③(3X107)X(4X104)=3x4x104+7=12x1011=1.2x1012；

@(4x105)X(5x1O10)=4X5X105+1°=20x1015=2x1016

(2)由(1)可得(axlO°)x(bx10m)=axbx10m+n=ex10p.

因为a,b,c均为大于或等于1且小于10的数，

所以当lWaxb〈10时，p=m+n；当axbNlO时，p=m+n+l.

故答案为：(1)①2X106,②6x1011,③1,2X1012,④2X1016；⑵当lWaxb<10时，

p=m+n；当axbNlO时，p=m+n+l。

【分析】(1)利用乘法交换律和乘法结合律进行计算可得答案；

(2)利用乘法交换律和乘法结合律可得(axl(r)x=axbxlom+n=cxlOP,因为a,b,c

均为大于或等于1且小于10的数，则当iWaxbvlO时，p=m+n；当axbNlO时，p=m+n+l.

19.【答案】(1)2；4；6

(2)解:由⑴可知：log24=2,log216=4,log264=6.

因为2+4=6,

所以Iog24+log216=logz64

【解析】【解答】解：：22=4,即10