2024-2025学年重庆市南岸区高一年级上册第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年重庆市南岸区高一上学期第一次月考数学检测试题

一、选择题:共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合N={2,3,5,6},集合8={1,3,4,6},则集

合/n((喇=()

A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,

6}

2.设xeZ,集合A是偶数集，集合8是奇数集.若命题0：—贝1]()

A.~^p:X/xe4x-1e5B.~^p:\/xA,x-1^B

C.~^p:BxA,x-leBD.:3xG24,x-15

3,下列各组函数中，表示同一函数的是()

V

A./(x)=l,g(x)=-

B.f(x)=Vx-1-Jx+1,g(x)=Vx2-1

C./(x)=x,g(x)=(Vx)2

r2-l

D./(%)=-,g(x)=x+1(x^1)

x-1

4,函数y=x+j2—x的值域为()

A.(-oo,2]B.[2,+co)

/、\x_2-(7

5.已知函数为奇函数,

A/4-X2

RG

JD.----C.2D.-2

3

-x2-ax-9,x<1

6.已知函数/(x)=<a在R上单调递增，则实数Q的取值范围为

一,x>1

X

A.[-5,0)B.(-oo,-2)

C.[-5,-2]D.(-00,0)

7.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出

优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图2

是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，贝1]“心形''在x轴

上方的图象对应的函数解析式可能为()

图1图2

A.y=|%|，4一/B.y=x"-X，

C.y=y1~x2+2|x|D.y=V-X2+2x

12

8.已知x〉y〉0且4x+3y=1,则:-----+----丁的最小值为()

2x-yx+2y

A.10B.9C.8D.7

二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知定义域为。的函数/(x),若存在正数对任意xe。，都有"(x)l一成立，则

称函数/(x)是定义域。上的有界函数.下列选项中是有界函数的是()

5_____Q+Y

A.--B.f(x)=A/1-x2C./(x)=-D.

2x-4x+3八>4-x

/(x)=\-4x

10.定义域为R的奇函数/(x),满足/(x)=12x-3,下列叙述正确的是

x2-2x+2,0<x<2

A.存在实数左，使关于x的方程/(、)=左有3个不同的解

B.当一1<国<%2<1时，恒有/(再)>/(%2)

C.若当xe(O,a］时，/(x)的最小值为1,贝i|ae1,1

333

D.若关于X的方程/(x)=二和/(x)=%的所有实数根之和为0,则加=-不或加=-抵

11.设函数/(X)的定义域为R,/(x+l)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xe［l,2］时，

f(x)=ax2+b,若/(0)+/⑶=12,下列叙述正确的是()

A./(I)=0B./(x)关于x=l对称C./(x)关于x=2对称D.

a=-4,Z?=4

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数y=+3%的单调递减区间为_•

13.已知不等式心牢-2*+2>0对于xe(-oo,(y|恒成立，则实数a的取值范围是

14.对于函数/(x),如果存在区间［加河，同时满足下列条件：①/(x)在［加河上是单调的；

②当/(x)的定义域是［加,时，/(x)的值域是［3加,3句，则称［加,〃］是该函数的“倍值区间”.

若函数/(x)=而I+a存在“倍值区间”，则a的取值范围是.

四、解答题：共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.

r］91

15.已知M=|x|X2-4X-1230),N=x|x--£—}

(1)求N.

(2)求M惹V,(寤V)(RM).

2x-1

16.不等式：——<1的解集为A.

x+2

(1)求集合A；

(2)若不等式依之+(4-1)》一1<0的解集为B,且=求a的取值范围.

17.已知/(x)=/-2ax+3

(1)若函数g(x)=/(x)-x在(-8,1)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)当xe［0,2］,求/(x)的最小值”(a).

18.已知定义在区间(0,+8)上的函数/(x)满足/(9)=/(x)+/(y),且当x>l时，

/(x)>0.若"3)=1.

(1)判断并证明/(x)的单调性；

(2)解关于x的不等式/(3x+6)+/(：］〉2.

19.对于在某个区间［a,+8)上有意义的函数/(x),如果存在一次函数g(x)=Ax+6使得对

于任意的Xe［a,+8),有|/(x)-g(x)|<l恒成立，则称函数g(x)是函数/(x)在区间

［a,+8)上的弱渐近函数.

(1)判断g(x)=x是否是函数/(x)=J7二J在区间［1,+8)上的弱渐近函数，并说明理由.

(2)若函数8。)=3%+1是函数/(刈=3*+?在区间［4,+8)上的弱渐近函数，求实数加

的取值范围；

(3)是否存在函数g(x)=kx,使得g(x)是函数/(x)=正在区间［1,+8)上的弱渐近函数？

若存在，求出实数4的取值范围；若不存在，说明理由.

2024-2025学年重庆市南岸区高一上学期第一次月考数学检测试题

一、选择题:共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合4={2,3,5,6},集合8={1,3,4,6},则集合/n(C必)

=()

A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6}

【答案】A

【解析】

【分析】先求出0/8，再求/C(Cu8)即可.

【详解】解：由已知C〃={2,5},

所以/n(C4)={2,5}.

故选：A.

【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，是基础题.

2.设xeZ,集合A是偶数集，集合8是奇数集.若命题贝I]()

A.~~'p：WxeA,x-l&BB.：\/X史金B

C.~^p:3x^A,x-\eBD.-'p:Hxe任8

【答案】D

【解析】

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题求解.

【详解】因为命题?：Vxe4x-是全称量词命题，

所以其否定是「pHxeZ,》—1任8.

故选：D.

【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

3.下列各组函数中，表示同一函数的是()

A./(x)=l,g(x)=-B.f(x)=-s/x-1-Vx+1,g(x)=Vx2-1

X

Lv-2_1

C./(x)=x,g(x)=(«)2D./(x)=——-,g(x)=x+1(x^1)

x-1

【答案】D

【解析】

【分析】根据同一函数的定义，结合定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数/(x)=l的定义域为R,函数g(x)=—的定义域为回XHO},

X

两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；

对于B中，函数/(x)=Vx-1-Vx+1的定义域为{Mx>l},

函数的定义域为{"1或X21},

两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；

对于C中，函数/(x)=x的定义域为R,函数g(x)=(«y的定义域为{x|x»0},

两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；

对于D中，函数/(x)=^_^=x+l的定义域为{xlXW1},

x-1

函数g(x)=尤+l(x*1)的定义域为{x|XW1},定义域和对应关系都相同,

以两个函数是同一函数.

故选：D.

4.函数y=x+J2-X的值域为()

C9一9

A.(-co,2]B.[2,+oo)C,-co,—D.-?+oo

I4j4

【答案】C

【解析】

【分析】利用换元法转化为二次函数求解值域即可.

【详解】根据题意知函数定义域为(-8,2],令

所以y=x+=_/+/+2=+(,

当/=5时，乂皿=4,所以函数的值域为1-8].

故选：C.

/、lx—2|—(2(

5.已知函数/(x)=1]为奇函数,贝1/彳等于()

A/4-X212J

A.--B.—C.2D.-2

33

【答案】A

【解析】

【分析】先求函数的定义域，根据定义域化简函数，然后根据函数为奇函数，利用奇函数的定义求解.

【详解】已知函数/(x)=l,

A/4-X2

所以4—、2>0,解得—2<x<2,所以函数的定义域为(—2,2),

r/\—21一Q2—x—a

所以

又因为/(X)为奇函数，所以/(-X)=-/(%),即2尸一：=，+胄,

A/4-XA/4-X

则/(亡上

即2—a——2+a,解得a=2,

”1)*

所以/

故选：A.

【点睛】本题主要考查奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

—x2—ax—9,xV1

6.已知函数/(x)=a在R上单调递增，则实数°的取值范围为()

—,X>1

、X

A.[-5,0)B.(—*—2)

C.[-5,-2]D.(-co,0)

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.

【详解】由题意，xeR,

—x2—ux—9,xV1

在/(x)=<a中，函数单调递增,

一,x>1

x

—ci

―7—7^1

2x(-1)

a<0,解得：一5<a<-2,

-l-a-9<—

1

故选：c.

7.心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧

度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图2是由此抽象出来的一

个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成,则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可

能为（）

y=xJ4-x2

y=V-x2+2x

【答案】C

【解析】

【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.

【详解】A选项：团』=百＞1,故A错误；

B选项：记/(x)=xyl4-X?,则/(-X)=-x"-/故/（x）为奇函数,

不符合题意，故B错误；

C选项：记〃（x）=J-x?+2国,贝!I〃（一x）=+2国=,

故了=）—4+2区为偶函数,

当x20时，y=y/-x2+2|x|=yj-x2+2x=+1，

此函数在（0,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减，

且〃（0）=0,〃⑴=1,〃（2）=0,故C正确;

D选项：记g(x)=V-x2+2x>则g(-x)=V-x2-2xR-g(x)，

故g(x)既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误.

故选：C.

12

8.已知x〉y>0且4x+3y=1,则;-----+----丁的最小值为()

2x-yx+2y

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【解析】

【分析】令a=2x-y,b=x+2y,结合4x+3y=1可得a+26=1,由此即得

127I2、，”、

-——+——=(-+-)(«+2b),展开后利用基本不等式即可求得答案.

2x-yx+2yab

【详解】由题意x〉y>0得，2x-y>0,x+2y>0,

■^-a=2x-y,b=x+2y,则a+26=4x+3y,

由4x+3y=1得a+2b=1,

12/2、,CL、「2b2a

故^7+百=?+3)伍+2')=5+丁+石

>5+2=9,

当且仅当一二上，结合。+26=1,即。=6=—时取等号,

ab3

也即2x—y=—,x+2y=—,即工=—,y=—时，等号成立,

33515

12

故万g+F的最小值为9,

故选：B

二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知定义域为。的函数/(x),若存在正数对任意xe。，都有M成立，则称函数/(x)

是定义域。上的有界函数.下列选项中是有界函数的是(

5____3+x

A.〃X)=2X2_4X+3B-=C.f(x)=^—D.f(x)=l-&

【答案】AB

【解析】

【分析】分别求四个函数的值域，根据题干给出的“有界函数”的概念即可判断.

【详解】对于A,因为/(x)=k4-.=»：2-所以0</(x)<5,所以"(x)|<5,故A

2x-4x+32(x-l)+1

符合题意；

对于B,因为/(乃="二］，所以OW/(x)Wl,|/(x)|<1,故B符合题意；

3+x-(4—x)+77

对于C,因为/(')=——=△——1—二-1+——，显然函数无最大值，故C不符合题意；

4—x4—x4—x

对于D,因为/(x)=l-«<1,函数无最小值，故D不符合题意.

故选:AB.

10.定义域为R的奇函数/(x),满足/(x)=r2x—3'，下列叙述正确的是()

x2-2x+2,0<x<2

A.存在实数上，使关于x的方程/(%)=左有3个不同的解

B.当-1<占<%<1时，恒有/(不)>/(》2)

C.若当xe(0,a］时，/(x)的最小值为1,则ae

333

D.若关于龙的方程/(x)=二和"X)=M的所有实数根之和为0,则机=—或加=一9

228

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据奇函数，可得/(x)在对称区间上的函数解析式，然后结合函数的图象分析各选项的正误,

即可确定答案.

【详解】对于A,因为/(X)是奇函数，所以f(—x)=—/⑶，

2?

当x<—2,则—x>2,所以/(—x)=F_-=所以/(%)=——--

—2x—32x+3

当一2«x<0,则0<—x<2,

所以/(-x)=x2+2x+2=-/(%),所以/(%)=—f—2x—2,

如下图，画出歹=/(x)的大致图象，结合图象,

当一2〈左＜—1或1＜人＜2时，函数y=/(x)与函数y=后的图象有3个交点.

当人=±1,函数y=/(x)与函数y=左的图象有2个交点，

当左=±2,或—1(左＜1,函数歹=/(x)与函数y=左的图象有1个交点，

故A正确；

yt

2

左

对于B,如图，当-1＜者＜迎＜1时，函数不是减函数，故B错误;

25

对于C,由-----=1解得》=一,由/-2x+2=1解得x=1,

2x-32

故当/(x)的最小值为1时，ae1,-|,故C正确;

wx)

32313

对于D,若/(x)==时，由7~=|■解得石=一，

22x—326

由工2―2x+2=5解得x2=1+,%2=1-

区1+走+325

所以玉+x2+x3=

622~6

3

若使/(x)=：与/«=机所有实根之和为0,

23、

--------------=----3

则当x<—2时，由025°8,得加=一9,

-2x——+38

6

则当—2Wx<0时，由抛物线对称性可得/(x)=-必一2x—2与y=加的

两个交点横坐标之和为-1,

219

所以y=加与/(X)=50的交点的横坐标为-1，

23

m=--------------=-----

此时-2x0+35,

6

故D正确.

【点睛】关键点点睛：本题解题关键点在于利用奇偶性得到/(x)的解析式，并画出图象，而方程有解的

问题就转化成两个函数的交点问题，通过数形结合逐个判断.

11.设函数/(x)的定义域为R,/(x+l)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xe[l,2]时,

f{x}=ax2+b,若/(0)+/(3)=12,下列叙述正确的是()

A./(1)=0B./(x)关于x=l对称C./(x)关于x=2对称D.。=一41=4

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用奇偶性得到恒等式，再利用赋值思想即可判断选项.

【详解】因为/(x+1)为奇函数，所以/(》+1)=—/(一》+1),则可推出/0)关于(1,0)对称，即

/⑴=0,故A正确，B错误；

因为/(x+2)为偶函数，所以/(x+2)=/(—x+2),则/(x)关于x=2对称，故C正确；由

/(x+1)=—/(—x+1),令X=1得，/(0)=-/(2),

由/(x+2)=f(-x+2),令x=1得，/(3)=/⑴，

所以/(0)+/(3)=-/(2)+/(I)=—4。-6+。+6=12,所以。=—4,

又因为/(1)=0,则。+6=0,所以6=4,故D正确，

故选：ACD.

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数y=Jx2+3x的单调递减区间为

【答案】(—8,—3］

【解析】

【分析】由根式内部的代数式大于等于0,求得原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，即可得到原

函数的减区间.

【详解】由％2+3%20，得、<一3或

令/=/+3%，该函数在(-8,-3］上单调递减，而了=於是定义域内的增函数，

；•函数y=VX2+3X的单调递减区间为(-吗-3］•

故答案为：(-<»,-3］.

13.已知不等式人4工—2*+2>0对于xe(-°°,0卜恒成立，则实数。的取值范围是.

【答案】(-1,+s)

【解析】

【分析】依题意可得不等式。•(2)2—2工+2〉0对于xe(-吗0卜亘成立，令/=2”可得不等式

32一7+2〉o对于/e(O』恒成立，参变分离可得。对于，w(0,1］恒成立，再根据二次函数的性质

求出二2的最大值，即可求出参数。的取值范围.

r

［详解］不等式a.4、—2、+2>0对于xe(一℃,0"亘成立，

即不等式a-(2工y—2*+2〉0对于xe⑼恒成立，

令/=2。贝"«0』，所以不等式才—/+2〉0对于，e(O可恒成立，

所以a〉y=—2］：|+：对于/w(O』恒成立，

令机=1,则加e［l,+8),=-2m2+m=-2^m—:］在［1,+s)上单调递减，

所以(—2/+加)=-1,即一2「］+-=-1,

''ax⑺t

--Imax

所以。＞一1,即实数。的取值范围是(—1,+8).

故答案为：(-1,+°°)

14.对于函数/(x),如果存在区间［加,川，同时满足下列条件①/(x)在［加，耳上是单调的②当/(x)

的定义域是［m,n］时,/(%)的值域是［3m,3»］,则称［m,n］是该函数的“倍值区间”.若函数

f(x)=Vx+1+a存在“倍值区间”，则a的取值范围是.

【答案】［*,-3：

【解析】

/、3m=s/m+1+a

【分析】根据函数新定义及/(x)的单调性质，存在-14机＜〃，使得一，应用换元法，

3n=y/n+l+a

问题化为二次函数g(x)=3f-x-3-a在［0,+s)卜.有两个零点，进而求参数范围.

【详解】由函数/(%)=4^1+。单调递增，且函数/(x)存在“倍值区间”，

3m=yjm+l+a

存在一1＜根＜为，使得J---，

3〃=J〃+1+Q

u=Jm+1>0m=u2-13"2-3-a=0

设＜I----，则0<“<v,且<2，所以

v=+l>0n=v-13V2-v-3-6z=0

因此二次函数g(x)=3》2一%一3-a在［0,+8)上有两个零点“，V且Z/CV,

g（0）=-3-a>0

137

则~—~>0，解得一Y^<a4一3,

2x312

A=l+12（3+o）>0

故答案为:*

四、解答题：共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知M={x|x2-4x-1230},N={x|x-i£

(1)求跖N

(2)求/巨N,(QN)C(QM).

【答案】(1)/={x|xW—2或x26},N={x\4<x<5}

(2)AfuN=(—oo,—2]u[4,5]u[6,+co),(^Af)Q(^)=(-2,4)E(5,6)

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式求出河，解绝对值不等式求出N；

(2)由并集，交集，补集的运算求出即可.

【小问1详解】

因为f-4x-12=(x-6)(x+2)>0,解得xN6或xV—2,

所以/={x|x<-2或x26},

91191

因为％一77Vx—1，解得4<x<5,

22222

所以N={x|44x<5},

【小问2详解】

由(1)可得〃uN=(-00,-2]U[4,5]D[6,+8),

因为QM=(—2,6),々N=(—8,4)D(5,+8),

所以(QM)Q(^7V)=(-2,4)E(5,6).

2Y-1

16.不等式：-----<1的解集为A.

x+2

(1)求集合A；

(2)若不等式。必+(。—1卜一140的解集为2,且=求a的取值范围.

【答案】(1)(-2,3]；(2)a>|.

【解析】

【分析】(1)分式不等式转化为整式不等式求得解集

(2)分类讨论，当aWO时，不符合题意，当a>0时，求得8=[—1,工]

a

利用8口4得到

【详解】(1)

・••在工],2—”0,工o,

x+2x+2x+2

(x-3)(x+2)<0且％+2w0

/.-2<x<3,4=(-2,3]

(2)-AC\B=B,BA

当。=0时，5=[-1,+»),不符合题意，舍去；

当a>0时，不等式可化为：(x+l)(x—工)三0,注意到—1<0<1，

aa

•*.B—[―1,—],，一V3,a2—

aa3

当a<0时，不等式可化为：(x+l)(x-工)20,注意到无论，与-1大小关系，均包含趋于+应-8部

aa

分，一定不符合，舍去.

综上可知：a>-

3

【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据

(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项

系数为正的形式.

(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式A与0的关系.

(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形

式.

17.已知/(x)=x?-2ox+3

(1)若函数g(x)=/(x)—X在(一叫1)上单调递减，求实数a的取值范围；

(2)当xe[0,2],求/(x)的最小值〃(a).

3,a«0

1

【答案】(1)。式于+⑹；(2)%(。)=产—9

7-4/。>2

【解析】

【分析】(1)由二次函数的性质：区间单调性及对称轴，即可求参数。的取值范围；

(2)应用分类讨论的方法，讨论/(x)对称轴x=a与区间[0,2]的位置，求最值即可.

【详解】(1)由题意，g(x)=x?-(2a+l)x+3在(一叫1)单调递减，且g(x)对称轴为x=a+；,

aH—21,即a2—，故aG[—,+oo).

222

(2)由题意得：/(x)开口向上且对称轴为x=a,

①a之2时，人(。)=/(2)=7-4a,

②afO时，〃(a)=/(0)=3,

③0<a<2时，/z(tz)=f(a)=3—a2,

3,a<0

h(a)=<3-a2,0<a<2,

7-4a,a>2

18.已知定义在区间(0,+8)上的函数/(x)满足/(孙)=/(x)+/(y),且当x>l时，/(x)〉0.若

/⑶=1.

(1)判断并证明/(x)的单调性；

(2)解关于光的不等式/(3x+6)+/>2.

【答案】(1)在(0,+8)上为增函数，证明见解析

⑵（0,1）

【解析】

/\

【分析】(1)由题意得/(石)-/(%)=/—，然后根据单调性的定义证明;

\X2)

(2)利用单调性解不等式.

【小问1详解】

设演>々>0,则F>1,•••f(xy)=/(x)+f(y)

(\

AXXA

—■x2-fg=f+/(2)-/(2)=/

\X2))

又当x>l时，/(x)>0,.,./—>0

\X2J

.-./(x1)>/(x2),.,./(x)在(0,+GO)上为增函数.

【小问2详解】

在/(xj—/(%)=/-中，令再=9,%=3,则/(9)—/(3)=/(3).

1*2)

・・・/(3)=l,.-J(9)=2不等式/(3x+6)+/>2,可转化为

/(3x+6)+/[-i>/(9),.-./(3x+6)>/(9)-/(-),即f(3x+6)>/