2024人教版七年级数学下册 第9章 平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】（含答案）

平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】

A题型梳理

【题型1与两坐标轴围成的图形面积】............................................................1

【题型2一边在坐标轴上的图形面积】...........................................................1

【题型3平行于坐标轴的图形的面积】...........................................................2

【题型4各边都不在坐标轴上的图形的面积】.....................................................3

【题型5由面积之间的关系求坐标】.............................................................5

【题型6直线分面积求值1..........................................................................................................5

【题型7新定义问题中的面积】..................................................................6

【题型8面积中的规律问题】....................................................................8

►举一反三

【题型1与两坐标轴围成的图形面积】

【例1】(24-25七年级•吉林长春•期中)已知A(.a,0)和8点(0,10)两点，且与坐标轴围成的三角

形的面积等于20,则«的值为()

A.2B.4C.0或4D.4或-4

【变式1-1](24-25七年级广东清远•七年级统考期末)已知4(0,4),点8在x轴上，A3与坐标轴围成的三

角形面积为2,则点B的坐标为()

A.(1,0)B.(1,0)或(一1,0)C.(-1,0)D.(0,—1)或(0,1)

【变式1-2](24-25七年级上•安徽安庆•期末)平面直角坐标系中，我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝

对值之和叫做点PO,y)的勾股值，记为：rPj,即FPJ=|x|+|y|.

(1)求点2(-1,3)的勾股值M7；

(2)若点B在第一象限且满足FBJ=3,求满足条件的所有8点与坐标轴围成的图形的面积.

【变式1-3](24-25七年级•江苏南通•阶段练习)已知点&(a,0)和点B(0,5),且直线AB与两坐标轴围成的

三角形的面积等于10,则o的值是()

A.4B.4或一4C.-4D.2

【题型2一边在坐标轴上的图形面积】

【例2】(24-25七年级•江西南昌・期中)如图是一块不规则的四边形地皮48C0,各顶点坐标分别为4(-2,6),

B(-5,4),C(-7,0),。(0,0)(图上一个单位长度表示10米)，则这块地皮的面积是()m2.

【变式2-1］（24-25七年级•安徽亳州•阶段练习）如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中,

其中C（—4,4）.则三角形ABC的面积是（）

A.4B.6C.8D.12

【变式2-2］（24-25七年级•海南省直辖县级单位•期中）如图，已知:4（4,3）,8（6,0）,E（5,2）,求△AOE的

【变式2-3］（24-25七年级•安徽亳州•阶段练习）已知点4（1,0）,B（0,2）,点P在久轴上，且三角形P4B的面积

是3,则点P的坐标是（）

A.（0,-4）B.（-2,0）C.（0,一4）或（0,8）D.（4,0）或（一2,0）

【题型3平行于坐标轴的图形的面积】

【例3】（24-25七年级•湖北武汉•期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形A8CD的四个顶点A,

B,C,。是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形A8CD的面积是（）个平方单位.

A.yB.15C.10D.无法计算

【变式3-1］（24-25七年级•北京顺义•阶段练习）由坐标平面内的三点4（1,1）,8（3,1）,C（l,-3）构成的△48C的

面积是.

【变式3-2］（24-25七年级•福建龙岩•期末）在平面直角坐标系中，由点4。2）,B（a-2,2）,C@,-2）组

成的三角形4BC的面积是（）

A.4B.6C.8D.10

【变式33］（24-25七年级•福建厦门•期中）如图，在平面直角坐标系xOy中,已知点3（2,n+2）,B（k,n+2）,

C（4,n+4）,D（2,n+fc）.则四边形ABC。的面积=（用含有左的式子表示）

【题型4各边都不在坐标轴上的图形的面积】

【例4】（24-25七年级•上海静安・周测）如图，三角形A8C的面积等于（）

y

X

A.12B.12-C.13D.13i

22

【变式4-1](24-25七年级•重庆长寿•期末)己知点4(2,2),5(1,0),点C在坐标轴上，且三角形48c的面积

为2,请写出所有满足条件的点C的坐标.

【变式4-2](24-25七年级•湖北鄂州•期中)如图，直角坐标系中，三角形力BC的顶点都在网格点上，其中

点C的坐标为(1,1).

(1)写出点A,8的坐标A(),B()；

(2)将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形49广，则点4,B，，厂的

坐标分别是4()，B'(),C()；

(3)计算三角形ABC的面积.

【变式4-3](24-25七年级•湖北武汉•期中)如图在平面直角坐标系中，点4(2,3),点B(-3,-2),点C(4,-3),

则三角形ABC的面积是()

C.21D.21.5

【题型5由面积之间的关系求坐标】

【例51（24-25七年级•北京西城・期中）在平面直角坐标系xOy中，己知三角形的三个顶点坐标分别是4（0,1）,

C（l,2）,点尸在y轴上，设二角形2BP和二角形力BC的面积相等，那么点尸坐标是.

【变式5-1］（24-25七年级•江西南昌•期中）己知点4（3,0）,8（0,4）,点C在x轴上，且△80C的面积是△力8c的

面积的3倍，那么点C的坐标可以为.

【变式5-2］（24-25七年级•福建福州•期中）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点力、B、C的坐标分别

为（6一2,几），（m—2,几+2023）,（5,1+2022）,若△AB。的面积为△力8c面积的2倍，则m的值为

【变式5-3］（24-25七年级•四川达州•期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点8在x

轴正半轴上，。4=2,。3=1,点C是第一象限内一点且4。|无轴，将线段48经过一定的平移得到线段CD,

点A的对应点为点。，点B的对应点为点C,连接AD,S—CD=6,点尸为y轴上一动点，当5心的=；S-OD

时，点P的坐标为.（注：S-CD表示AACD的面积）

【题型6直线分面积求值】

【例6】（24-25七年级•湖北十堰・期中）如图，4（一2,0）、B例,3）、C（2,4）、0（3,0）,点P在久轴上,直线CP将

四边形力BCD的面积分成1:2两部分，贝UOP的长为.

【变式6-1](24-25七年级•辽宁葫芦岛•期中)如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形

组成的，B(3,3),4(a,0)是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于()

cD

3-i-1

【变式6-2](24-25七年级•四川凉山・期末)如图，在平面直角坐标系中，点力在久轴上，点C在y轴上，CB||0A,

且。4=12,0C=BC=4.

(2)若动点P从原点0出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形04BC分成面积相

等的两部分时，求点P的运动时间;

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在一点Q,连接PQ,使ACPQ的面积与四边形。4BC的面积相等？若存

在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式6-3](24-25七年级•北京西城•期中)在平面直角坐标系中，己知三角形的三个顶点坐标分别是

4(0,1),C(l,2),点P在y轴上，设三角形4BP和三角形4BC的面积相等，那么点P坐标是

【题型7新定义问题中的面积】

【例7】(24-25七年级•广东河源•开学考试)在平面直角坐标系久。了中，对于任意三点4B,C的“矩面积”,

给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”也任意两点纵坐标差的最大值，则“矩

面积"S=ah.例如：三点坐标分别为4(1,2),B(—3,1),C(2,—2),则“水平底”a=5,“铅垂高”九=4,

“矩面积"S=ah=20.若。(1,2)、E(-2,1)、F(0,t)三点的“矩面积”为18,则t的值为()

A.-3或7B.-4或6C.一4或7D.一3或6

【变式7-1](24-25七年级•北京•期中)中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉

族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，却

可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，

①双扭线围成的面积小于6；

②双扭线内部(包含边界)包含11个整数点(横坐标、纵坐标都是整数的点)；

③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；

④假设点P为双扭线上的一个点，A,8为双扭线与无轴的交点，则满足三角形P4B的面积等于3的P点有

4个.

A.①②③B.②③C.②③④D.①②③④

【变式7-2](24-25七年级•福建厦门•期末)在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，

现有以下结论：

①第一象限内有无数个“吉祥点”；

②第三象限内不存在“吉祥点”；

③己知点4(-2,1),B(-2,-3),若点P是“吉祥点”且在坐标轴上，则点P到直线4B的距离为8；

④已知点C(—1,—1),D(3,—1),若点Q是第一象限内的“吉祥点”三角形QCD的面积记为S,贝眨<S<14.其

中正确的是()

A.①②B.①②③C.③④D.①②④

【变式7-3](24-25七年级•黑龙江牡丹江•期中)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点「(右,为)，<?(x2,y2),

定义两点的“分解距离”为：若％—加2|yi—%1，则⑶―引为尸，0的“分解距离”，即d分解(P,Q)=

1

|Xi-x2\；若l%i—犯1<一月1，贝-为P，。的“分解距离”，即d分解(P,Q)=|为一丫2「定义两点

的"和距禺”为：区—X2I与M—yzl的和，即d和(P,Q)=|%i—右1+—Vzl•

根据以上材料，解决下列问题：

(1)已知点4(2,1),则d分解(4。)=,d和Q4,。)=

(2)若点8(久,4一支)在第一象限，且d分解(B,0)=3,求点8的坐标；

(3)若点CO,y)(x>0,y>0),且d和(C,0)=3,写出三个符合条件的点C的坐标，并判断这些点是否在

一条直线上，若在一条直线上，请直接写出这条直线与坐标轴围成的面积；若不在，请说明理由.

【题型8面积中的规律问题】

【例8】(24-25七年级•辽宁抚顺•期中)如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动,

第1次从原点运动到点P(l,—1),第2次运动到点4(2,0),第3次运动到点4⑶2),第4次运动到点4(4,0),

第5次运动到点4式5,-1),…，按照这样的规律运动下去，则三角形。P4023的面积是.

yi

x

Z44

【变式8-1](24-25七年级•浙江宁波・期末)如图，在一单位长度为Ion的方格纸上，依如所示的规律，设

定点4、4、4、44、4、4、4、…41，连接点。、&、4组成三角形，记为41，连接。、①、&组

成三角形，记为42…，连0、An,4n+1组成三角形，记为(n为正整数)，请你推断，当n为50时，的

面积=()cm2

A.1275B.2500C.1225D.1250

【变式8-2](24-25七年级•湖南邵阳•期中)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点

O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m,其行走路线如图所示，第1次移

动到点第2次移动到点4……第〃次移动到点4”则△042^2026的面积是()

【变式8-3](24-25七年级•全国•专题练习)如图所示，在平面直角坐标系中，第一次将三角形048变换成

三角形。①⑹，第二次将三角形变换成三角形。42&，第三次将三角形。42比变换成三角形。①①，

已知A(1,2),Ai(2,2),A2(4,2),4(8,2)；B(2,0),Bi(4,0),B2(8,0),B3(16,

0).

(1)观察每次变换前后的三角形有何变化？找出规律，按此规律再将三角形。43以变换成三角形。4为，则

4的坐标是，8/的坐标是；

(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行〃次变换，得到三角形OAnBn,推测An的坐标是

Bn的坐标是.

(3)求出△OAwB"的面积.

参考答案与试题解析

平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】

A题型梳理1

【题型1与两坐标轴围成的图形面积】1

【题型2一边在坐标轴上的图形面积】............................................................1

【题型3平行于坐标轴的图形的面积】...........................................................2

【题型4各边都不在坐标轴上的图形的面积】.....................................................3

【题型5由面积之间的关系求坐标】.............................................................5

【题型6直线分面积求值】......................................................................5

【题型7新定义问题中的面积1....................................................................................................................................6

【题型8面积中的规律问题】....................................................................8

►举一反三

【题型1与两坐标轴围成的图形面积】

【例1】(24-25七年级•吉林长春•期中)已知4(a,0)和8点(0,10)两点，且AB与坐标轴围成的二角

形的面积等于20,则a的值为()

A.2B.4C.0或4D.4或-4

【答案】D

【分析】根据点A、B的坐标可找出02的长度，再根据三角形的面积公式即可得出关于a的含绝对值

符号的一元一次方程，解之即可得出结论.

【详解】VA(a,0),B(0,10),

/.OA=\a\,OB=10,

/.SAAOB=|OA,OB=|,10|CI|=20,

解得：a=±4.

故选D.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积公式列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是

解题的关键.

【变式1-1](24-25七年级广东清远•七年级统考期末)已知4(0,4),点B在x轴上，与坐标轴围成的三

角形面积为2,则点B的坐标为()

A.(1,0)B.(1,0)或(一1,0)C.(-1,0)D.(0,—1)或(0,1)

【答案】B

【详解】：三角形的面积W<4X|O2|=2,

：.\OB\=l,

：.B(1,0)或(-1,0).

故选：B.

【点睛】此题主要考查了平面图形与坐标的关系，利用三角形的面积求出08的长是关键，特别是要明确注

意：在x轴上到原点的距离为一个定值的点有两个.

【变式1-2］（24-25七年级上•安徽安庆•期末）平面直角坐标系中，我们把点P（x,y）的横坐标与纵坐标的绝

对值之和叫做点P（x,y）的勾股值，记为：fPj,即FPJ=|x|+|y|.

（1）求点4-1,3）的勾股值M7；

（2）若点B在第一象限且满足FBJ=3,求满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积.

【答案】⑴4:（2）|

【分析】（1）由勾股值的定义即可求解；

（2）设B点的坐标为（x,y）,由「B」=3,得至U方程|x|+|y|=3,得到y=—久+3,于是得到所有点B围成

的图形是边长为3的三角形，则面积可求.

【详解】解：（1）l~Aj=|—+|3|=4；

（2）设由［Bt=3知,|x|+|y|=3,

又B在第一象限，%>0,y>0,得久+y=3,

即y=-%+3（%>0,y>0）,

故所有点B组成的图形与坐标轴交点坐标分别为：（3,0）,（0,3）,

故其面积为：|x3x3=|.

【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键.

【变式1-3］（24-25七年级•江苏南通•阶段练习）已知点2（a,0）和点B（0,5）,且直线AB与两坐标轴围成的

三角形的面积等于10,则o的值是（）

A.4B.4或一4C.-4D.2

【答案】B

【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个.

根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a取正负数都符合题意.

【详解】解：直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10,A{a,0）,B（0,5）

那么5X|。力|+2=10,

解得：。4=4,

所以a=4或a=-4.

故选：B.

【题型2一边在坐标轴上的图形面积】

【例2】（24-25七年级•江西南昌・期中）如图是一块不规则的四边形地皮ABC。，各顶点坐标分别为力（-2,6）,

【答案】C

=4+15+6

=25

V图上一个单位长度表示10米，

A25x10x10=2500m2,

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键.

【变式2-1](24-25七年级•安徽亳州•阶段练习)如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中,

其中C(-4,4).则三角形ABC的面积是()

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】底AB=4,高是点C到x轴的距离，根据三角形面积公式求得即可.

【详解】解：由图象可知，A(0,0),B(4,0),

：.AB=4

VC(-4,4),

点C到x轴的距离是4,△ABC的高就是4,

.,.^ABC=|x4x4=8,

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式2-2](24-25七年级•海南省直辖县级单位•期中)如图，已知：4(4,3),B(6,0),E(5,2),求AAOE的

面积()

【答案】A

【分析】根据点的坐标，^OC,AC,OD,DE,CD,根据S-OE=S-OC+S梯形ACDE—SMOE进行计算即可求解•

【详解】解：・・・4(4,3),B(6,0),E(5,2),

・・・OC=4,AC=3,OD=5,DE=2,

・•・CD=1

则S“OE=S”0C+S梯形4C0E—S^DOE

111

=—x4x3H—(2+3)x1—x5x2

22v72

=3.5

故选A

【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键.

【变式2-3](24-25七年级•安徽亳州•阶段练习)已知点8(0,2),点P在％轴上，且三角形P4B的面积

是3,则点P的坐标是()

A.(0,-4)B.(-2,0)C.(0,一4)或(0,8)D.(4,0)或(一2,0)

【答案】D

【分析】根据三角形的面积求出2P的长，再分点P在点4的左边与右边两种情况讨论求解.

【详解】解:•••点以0,2）,

1

SAPAB=34Px2=3,

解得力P=3,

若点P在点力的左边，则。P=4P—O4=3—1=2,

此时，点P的坐标为（-2,0）,

若点P在点4的右边，则。P=4P+。4=3+1=4,

此时，点P的坐标为（4,0）,

综上所述，点P的坐标为（4,0）或（一2,0）,

故选：D.

【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观.

【题型3平行于坐标轴的图形的面积】

【例3】（24-25七年级•湖北武汉•期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形A8CD的四个顶点A,

B,C,。是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形ABCD的面积是（）个平方单位.

C.10D.无法计算

【答案】B

【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到力Dllx轴，X£»=4-(-l)=5,高为1一(-2)=3,利用面

积公式直接计算可得.

【详解】解：：四边形力BCD是平行四边形，4(-l,2),B(0,l),C(5,l),D(4,-2),

做轴,AD=4-(-1)=5,高为1—(—2)=3,

平行四边形2BCD的面积=5x3=15,

故选：B.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键.

【变式3-1](24-25七年级•北京顺义•阶段练习)由坐标平面内的三点4(1,1),8(3,1),。(1,-3)构成的2\48(7的

面积是•

【答案】4

【分析】根据4(1,1),8(3,1),。(1,—3)得48=2,43||万轴，AC=4,AC||继而得到直角三角形C4B,计

算面积即可，本题考查了点的坐标特征与坐标轴的关系，熟练掌握判定坐标与坐标轴的关系是解题的关键.

【详解】771(1,1),C(l,-3)

：.AB=2,AB||x轴，AC=4,AC||y轴,

.♦.△CAB是直角三角形，

：.-AB•4C=1x2x4=4,

22

故答案为：4.

【变式3-2](24-25七年级•福建龙岩•期末)在平面直角坐标系中，由点4(a,2),B(a-2,2),C(6,-2)组

成的三角形ABC的面积是()

A.4B.6C.8D.10

【答案】A

【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段4B的长，再根据点C的纵坐标，可得以AB为底的△力8C的

高，从而△力BC的面积可求.

【详解】解析：由点4(a,2),B(a-2,2),得AB=2,

点C在直线y=-2上，4B与直线y=-2平行，且平行线间的距离为4,

.".S=-x2x4—4.

2

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是

解题的关键.

【变式33](24-25七年级•福建厦门•期中)如图，在平面直角坐标系xOy中,已知点3(2,n+2),B(k,n+2),

C(4,n+4),D(2,n+k).则四边形4BCD的面积=(用含有左的式子表示)

【答案】2k—4/—4+2k

【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长B4交y轴于点E,过点C作CF1y轴于点F,延长4D交CF于点H,

过点C作CG_L4G于点G,根据4(2,几+2),B(k,n+2),C(4,n+4),D(2,n+k),得出CH=4—2=2,

AH=n+4—(n+2)=2,DH=n+4-(n+k)4-k,BG=4-k,利用割补法求出四边形的面积即

可.

【详解】解：延长B4交y轴于点E,过点C作CF1y轴于点F,延长4D交CF于点H,过点C作CG14G于点

G,

V4(2,n+2),B(k,n+2),C(4,n+4),D(2,n+/c),

.•.ADIIy轴，48||x轴，

：.AH\\CG,CH\\EG,

：.CH=4-2=2,AH=n+4-(n+2)=2,

DH=n+4—(n+fc)=4—fc,

BG=4—k,

・•・四边形ABC。的面积为：

11

2x2—~x2x(4—k)——x2x(4—k)

=4—4+k—4+k

=2fc—4.

故答案为：2fc-4.

【题型4各边都不在坐标轴上的图形的面积】

【例4】(24-25七年级•上海静安・周测)如图，三角形ABC的面积等于()

【答案】D

【分析】过点A作4。1%轴于利用S4ABe=S樗癖004—S^BOC—Sd/co，求出S祷形BOQA，S480c和S^ACO进

而进行求解即可.

【详解】过点A作/D1%轴于。，如图所示:

AD=6,CD=3,

：.0D=6,

•*^AABC=S梯形BODA~^ABOC~^AACDf

111

=-(BO+AD)-OD---BO•OC---CD-AD

111

=—(3+6)x6——x3x3——x3x6

_54918

2-T

_27

二5，

即邑ABC=万，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键.

【变式4-11(24-25七年级•重庆长寿・期末)已知点4(2,2),8(1,0),点C在坐标轴上，且三角形ABC的面积

为2,请写出所有满足条件的点C的坐标.

【答案】(-1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6)

【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键.分

点C在%轴上和点C在y轴正半轴上和点C在y轴负半轴上上三种情况，利用三角形的面积公式求出或。。的

长度，即可求解.

【详解】解：若点C在光轴上，贝IJSAABC=|xBCx2=2,

解得BC=2,

所以，点C的坐标为(1+2,0)或(1一2,0),即(3,0)或(一1,0),

若点C在y轴正半轴上，贝！JSACAB=|x(OC+2)x2-|xOCxl-jx(2-l)x2=2,

解得OC=2,

所以，点C的坐标为(0,2),

若点C在y轴负半轴上，则SACAB=|x(OC+2+OC)x1+|xOCx1-|x(2+OC)X2=2,

解得。C=6,

所以，点C的坐标为(0,—6),

综上所述，点C的坐标为(一1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6),

故答案为：(一1,0)或(3,0)或(0,2)或(0,-6).

【变式4-2](24-25七年级•湖北鄂州•期中)如图，直角坐标系中，三角形2BC的顶点都在网格点上，其中

点C的坐标为(1,1).

(1)写出点A,B的坐标A(),B()；

(2)将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形ABC,则点4,夕，的

坐标分别是4(),B'(),C()；

(3)计算三角形4BC的面积.

【答案】⑴(2,-2),(4,2)

(2)(0,-3),(2,1),(-1,0)

(3)5

【分析】本题考查了坐标与图形、平移等知识点，掌握相关结论即可.

(1)根据直角坐标系中4三点的位置即可求解；

(2)根据平移方向和距离即可求解；

(3)利用“割补法”即可求解；

【详解】(1)解：根据直角坐标系中4B,C三点的位置可得：力(2,-2),B(4,2),

故答案为：(2,-2),(4,2)；

(2)解：•.•将三角形2BC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，

：.4(2—2,—2—1),B'(4—2,2—1),C'(l—2,1—1),

即：4(0,-3),Cz(-l,0),

故答案为：(0,-3),(2,1),(-1,0)；

(3)解：三角形力BC的面积=3x4—Txlx3-Txlx3—|x2x4=5.

【变式4-3](24-25七年级•湖北武汉•期中)如图在平面直角坐标系中，点4(2,3),点B(-3,-2),点C(4,-3),

则三角形ABC的面积是()

A.19B.20C.21D.21.5

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质.过点A作DE||x轴，过点8作EF||y轴，过点C作

CD||y轴，过点C作CF||x轴，根据题意可得AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7,即可求解.

【详解】解：如图，过点A作DE||x轴，过点8作EF||y轴，过点C作CD||y轴，过点C作CF||x轴，

:点4(2,3),点B(—3,—2),点C(4,-3),

：.AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7,

...三角形ABC的面积是：6x7-|x2x6-|x5x5-|xl7-42-6-y-1=20.

故选：B

【题型5由面积之间的关系求坐标】

[例5](24-25七年级•北京西城•期中)在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点坐标分别是4(0,1),

C(l,2),点尸在y轴上，设三角形48P和三角形48C的面积相等，那么点尸坐标是.

【答案】(0,-1)或(0,3)

【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键.设点P坐标是(0,a),先分别求出三角

形力8P和三角形力BC的面积，再根据三角形4BP和三角形48C的面积相等建立方程，解方程即可得答案.

【详解】解：如图，由题意，设点P坐标是(0,a),

：.BC=2,AP=\a-l\,三角形ABC的BC边上的高为1,

三角形ABC的面积为[x2x1=1,三角形4BP的面积为|x1•|a-1|=等，

•.•三角形4BP和三角形48c的面积相等，

•1

••—J.,

2

解得a=-1或a=3,

则点P坐标是(0,-1)或(0,3),

故答案为：(0,—1)或(0,3).

【变式5-1](24-25七年级•江西南昌•期中)已知点2(3,0),8(0,4),点C在x轴上，且△80C的面积是△力8C的

面积的3倍，那么点C的坐标可以为.

【答案】go)或G，o)

【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点。(久,0),则有力C=|x-3|,OB=4,然

后根据△BOC与A48c的面积关系可进行求解.

【详解】解:设点CJ,O),则有4C=|x—3|,OB=4,OC=|%|

,/△BOC的面积是小ABC的面积的3倍,

x4x|%|=3x|x4x|x-3|

解得：久=1或

点。6，。）或G，。）；

故答案为C，o）或G，o）.

【变式5-2］（24-25七年级•福建福州•期中）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，点4、B、C的坐标分别

为（6一2,几），（m—2,几+2023）,（5,1+2022）,若△2B。的面积为△力8c面积的2倍，则m的值为

【答案】12或日

【分析】由4B点的横坐标相等，得出ABIIy轴，AB=2023,点C到AB的距离为-7］,根据△AB。的面积

为△力BC面积的2倍，建立方程，解方程即可求解.

【详解】解：B、C的坐标分别为⑺一2,"）,0—2,Ji+2023）,（5/+2022）,

.♦.ABIIy轴，AB=n+2023-n=2023,

点C到4B的距离为|血-2-5|=|m-7|

,/若44B。的面积为44BC面积的2倍，

x2023x|m-2|=2x|x2023x|m-7|

即—2|=2x—7|

解得zn=12或m=y

故答案为：m=12或?71=

【点睛】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解题的关键.

【变式5-3］（24-25七年级•四川达州•期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x

轴正半轴上，。/=2,。8=1，点。是第一象限内一点且ACII%轴，将线段经过一定的平移得到线段CD,

点A的对应点为点。，点B的对应点为点C,连接AD,SAACD=6,点尸为y轴上一动点，当$心的

时，点尸的坐标为.（注：SMCD表示△AC。的面积）

【答案］(o,或(o,g.

【分析】根据三角形的面积求出AC=6,然后利用平移的性质可求点。坐标，由三角形的面积公式可求解.

【详解】解：如图，过点。作DE14C于点E,在y轴取点P,连接PB,

.FCIIx轴，将线段4B经过一定的平移得到线段CD,OA=2,

,.DE=OA=2,

,SA4co=6,

*.-AC-DE=6,

2

,.AC=6,

•.点C(6,2),

..将线段48进行适当的平移得到线段CD,0B=1,

*.CE=0B=1,

•.点。(5,4),

•S^PAB=4Su。。'

111

*--i4Pxl=-x-x2x5,

242

\AP=~,

2

.•点a(0,2),

8（。，4）或「（。，）

故答案为：一m或

【点睛】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性

质是解题的关键.

【题型6直线分面积求值】

【例6】（24-25七年级•湖北十堰・期中）如图，4（一2,0）、5（0,3）,1（2,4）、0（3,0）,点P在%轴上，直线CP将

四边形2BCD的面积分成1:2两部分，则。P的长为.

【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作CElx轴，CP与无轴交于点P,用分割法求出四边形的

面积，分类讨论求出APDC的面积，再求出PD的值，进而可得。P的值，根据坐标与图形的性质，用分割法

求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键.

【详解】解：如图，作CElx轴，CP与％轴交于点P,

由题意可得，SA4BO=R4-OB=：X2X3=3

S^OECB=I(OB+CE)-OF=1X(3+4)X2=7,

S^EDC=lED-C£=|xlx4=2,

,・S四边形ZBC。=S-BO+S梯形OECB+S^EDC=3+7+2=12,

•S^pcD=-PD-CE=-PDx4=2PD

22f

・WPCO：S四边形/Be。=2PD：12=PD：6,

①当SAPCD：S四边形ABCD=1：3时，即PD：6=1：3,

解得PD=2,

二点P的坐标为(1,0),

：.OP=1；

②当SAPCD:S四边形4BCD=2：3时，即PD：6=2：3,

解得PD=4,

.•.点P的坐标为(一1,0),

：.OP=1；

综上所述，OP=1,

故答案为：L

【变式6-1](24-25七年级•辽宁葫芦岛•期中)如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形

组成的，B(3,3),4(a,0)是x轴上的动点，当A8将图案分成面积相等的两部分时，a等于()

D

301-i

【答案】A

【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程SMBC=|>>C-BC=|(3-a)x3=|x6xM并求解即可.

【详解】解：如下图，当AB将图案分成面积相等的两部分时,

则有4谢；=|"-8。="6义12,

即13—a)x3=3,解得a=l.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关键.

【变式6-2](24-25七年级•四川凉山・期末)如图，在平面直角坐标系中，点4在久轴上，点C在y轴上，CB||0A,

且。4=12,0C=BC=4.

(1)直接写出点4,B,C的坐标；

(2)若动点P从原点。出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形02BC分成面积相

等的两部分时，求点P的运动时间；

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在一点Q,连接PQ,使ACPQ的面积与四边形。4BC的面积相等？若存

在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴A(12,0),B(4,4),C(0,4)；

(2)4

(3)Qi(0,20),Q2(0,-12)

【分析】此题是三角形综合题，主要考查了线段长的求法，点的坐标的确定，三角形四边形面积的计算，解

本题的关键是△OPC面积的计算.

(1)根据线段的长和线段的特点确定出点的坐标；

(2)先求出S四边形OABC=32,从而得到30Px4=16,求出OP,即可得到答案；

(3)根据四边形OABC的面积求出ACPQ的面积是32,最后求出点Q的坐标.

【详解】(1)解：：点A、C在x轴上，0A=12.

；.A(12,0),

在y轴上，0C=4,

/.c(o,4),

VCB||OA,CB=4,

AB(4,4)；

(2)解：四边形OABC=(4+^=32,

设运动时间t秒,

.".OP=2t,

2tx4=32x士

22

At=4；

(3)解：设Q(O,y),

**SACPQ=S四边形OABC，

AI|y-4|X4=1X(4+12)X4=32

•・Yi=20,y2——12,

•••Qi(O,20),Q2(0,-12).

【变式6-3](24-25七年级•北京西城•期中)在平面直角坐标系久Oy中，已知三角形的三个顶点坐标分别是

4(0,1),C(l,2),点尸在y轴上，设三角形48P和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标是.

【答案】(0,—1)或(0,3)

【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键.设点P坐标是(0,a),先分别求出三角

形4BP和三角形ABC的面积，再根据三角形4BP和三角形4BC的面积相等建立方程，解方程即可得答案.

【详解】解：如图，由题意，设点P坐标是(0,a),

：.BC=2,AP=\a-l\,三角形ABC的BC边上的高为1,

...三角形力BC的面积为^X2xl=1,三角形4BP的面积为之xl“a-1|=@U，

•.•三角形力BP和三角形力BC的面积相等，

・_]

解得a=-1或a=3,

则点P坐标是(0,-1)或(0,3),

故答案为：(0,-1)或(0,3).

【题型7新定义问题中的面积】

【例7】(24-25七年级•广东河源•开学考试)在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点4B,C的“矩面积”,

给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，贝卜矩

面积"S=ah.例如：三点坐标分别为4(1,2),8(—3,1),C(2,-2),则“水平底”a=5,“铅垂高”h=4,

“矩面积"S=ah=20.若0(1,2)、E(-2,1)、F(0,t)三点的“矩面积”为18,则t的值为()

A.-3或7B.-4或6C.—4或7D.-3或6

【答案】C

【分析】根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，即可求得t的值.

【详解】由题意可得，

"水平底"a=1—(—2)=3,

当t>2时,h=t—1,

贝i|3(t—l)=18,

解得，t=7,

故点F的坐标为(0,7)；

当lWtW2时，h—2—1—1=^6,

故此种情况不符合题意；

当t<1时，h—2—t,

则3(2-t)=18,

解得t=—4,

故选：C.

【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题.

【变式7-1](24-25七年级•北京•期中)中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉

族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复