2024人教版数学七年级下册专项训练：平行线的判定与性质 培优练习（学生版+解析版）

专项训练3平行线的判定与性质提升练习

选择题

1.如图，在下列给出的条件中，不能判定尸的是（）

A./A=N3B.ZA+Z2=180°C.Nl=/4D.N1=NA

2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同,

所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，Zl=53°,Z2=110°,则N3+N4=（）

A.164°B.117°C.123°D.107°

3.如图，已知长方形纸片A5CD,点〃在AD边上，点、F,G在BC边上，分别沿ERG8折叠，使

点B和点。都落在点尸处，若/FEH+NEHG=118°,则NFPG的度数为（）

A.54°B.55°C.56°D.57°

./v\1^2TBFGC

第1题图第2题图第3题图

4.在同一平面内，若AB，/,ACLI,且点A在直线/上,，则下列结论成立的是（）

A.AC//ABB.点B,C在直线/同侧

C.点B,C在直线/两侧D.点A,B,C在同一条直线上

5.将一副三角板的直角顶点重合按如图放置,小明得到下列结论：

①如果N2=30°,则AC〃Z）E；②NBAE+NCA£）=180°；

③如果BC〃A。，则/2=30°；④如果NCA£）=150°,则N4=NC.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

A_______B

A。

第5题图第6题图第7题图

6.如图，AB//CD,EG、EM、分别平分NAEF,NBEF,ZEFD,则图中与/。EM相等的角（不含

它本身）的个数为（）

A.5B.6C.7D.8

—.填空题

7.如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角NA=110。，第二次拐的角

145°,则第三次拐的角NC=时，道路”才能恰好与4。平行.

8.如图1,为响应国家新能源建设，乐清市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光（平行

光线）与水平线最大夹角为62°,如图2,电池板A8与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板

与水平线夹角为48°,要使A3〃C£）,需将电池板逆时针旋转a度，则a为.（0<a

<90）

9.如图，ABLBC,AE平分交于点E,AE±DE,Nl+N2=90°,M、N分别是84,延长

线上的点，和/EOV的平分线交于点F.下列结论：©AB//CD-,②；③

平分NAOC；④/尸为定值.其中结论正确的有

<//Ml

上」___水平线

国＜48。」“Vr

己知：如图，点E在直线。歹上，点2在直线AC上，N1=N2,/3=N4.

求证：ZA=ZF.

证明：VZ1=Z2(已知)

/2=/DGF()

：.Z1=ZDGF(等量代换)

//()

：.Z3+Z=180°()

又：/3=/4(已知)

.•.Z4+ZC=180°(等量代换)

//()

NF()

12.如图,AC//FE,Nl+N3=180°.

(1)判定/朋8与/4的大小关系，并说明理由；

(2)若AC平分/朋2,EFLBE于点、E,N4=78°,求/BCD的度数.

13.已知：直线EF分别与直线AB,C£＞相交于点G,H,并且/AGE+/£)HE=180°.

(1)如图1,求证：AB//CD-,

(2)如图2,点M在直线AB,C。之间，连接GM,HM,求证：ZM=ZAGM+ZCHM；

(3)如图3,在(2)的条件下，射线G8是NBGM的平分线，在的延长线上取点N,连接GN,

1

若NN=NAGM,/M=NN+专/FGN,求的度数.

14.“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照

灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯3射线从开始顺时针旋转

至8。便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯8转动的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即尸且NA4M：/BAN=2：1.

(1)填空：ABAN

(2)若灯3射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯2射线到达2。之前，A灯转动几秒，两灯

的光束互相平行?

(3)如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过C作/交

尸。于点。，且NACD=120°,则在转动过程中，请探究/BAC与的数量关系是否发生变化?

若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

专项训练3平行线的判定与性质提升练习

一.选择题

1.如图，在下列给出的条件中，不能判定A5〃0月的是()

A.ZA=Z3B.ZA+Z2=180°

C.Z1=Z4D.Z1=ZA

【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论.

【解答】解：A、因为NA=N3,所以尸（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意.

B、因为NA+/2=180,所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意.

C、因为/1=/4,所以A8〃。F（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意.

D、因为=所以AC〃£>E（同位角相等，两直线平行），不能证出故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题

的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行.

2.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，

所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，Zl=53°,Z2=110°,则N3+N4=（）

A.164°B.117°C.123°D.107°

【分析】根据平行可得N1=53°,Z2=110°,最后代入/3+N4计算即可.

【解答】解：•••平行光线，水面和底平行，

.-.Z1=Z3,Z2+Z4=180°,

VZ1=53°,Z2=110°,

；./1=/3=53°,Z4=180°-Z2=70°,

...N3+N4=53°+70°=123°,

故选：C.

【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

3.如图，已知长方形纸片ABCD,点E,H在AQ边上，点尸，G在8C边上，分别沿EF,GH折叠，使

点2和点C都落在点尸处，若/FEH+NEHG=118°,则NPPG的度数为（）

K

A.54°B.55°C.56°D.57°

【分析】根据四边形ABC。是长方形，可得AO〃8C,得NFEH=NBFE,ZEHG=ZCGH,所以可得

NBFE+NCGH=NFEH+NEHG=118°,由折叠可得ERGH分别是48尸产和NCGP的角平分线，可

得NBFP+NCGP=2(ZBFE+ZCGH)=236°,进而可得/尸PG的度数.

【解答】解：；四边形ABC。是长方形，

J.AD//BC,

ZFEH=ZBFE,NEHG=ZCGH,

：.ZBFE+ZCGH=NFEH+/EHG=118°,

由折叠可知：

EF,GH分别是尸P和NCGP的角平分线，

ZPFE=ZBFE,ZPGH=ZCGH,

：.ZPFE+ZPGH=NBFE+NCGH=118°,

：.ZBFP+ZCGP=2CZBFE+ZCGH)=236°,

：.ZPFG+ZPGF=36Q°-(NBFP+/CGP)=360°-236°=124°,

AZFPG=180°-(NPFG+NPGF)=180°-124°=56°.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质.

4.在同一平面内，若A8，/,AC±l,且点A在直线/上，则下列结论成立的是()

A.AC//AB

B.点B,C在直线/同侧

C.点B,C在直线/两侧

D.点A,B,C在同一条直线上

【分析】A2，/,AC1Z,则过点A与直线/相垂直的直线有AB,AC,而过已知点与已知直线垂直的直

线有一条并且只有一条，由此即可得答案.

【解答】解：；42，/,ACLI,则过点A与直线/相垂直的直线有AB,AC,

又过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，

：.AC^AB重合,

A.AC与AB,不可能平行，错误，不符合题意；

氏点2,C在直线/同侧，不能确定，错误，不符合题意；

C.点、B,C在直线/两侧，不能确定，错误，不符合题意；

D.因为AC与A2重合，故点A,B,C在同一条直线上，正确，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，关键明白在同一平面内，经过一点有且只有一条直线

与已知直线垂直.

5.将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，小明得到下列结论:

①如果N2=30°,则AC〃DE；

②NA4E+NCAZ)=180°；

③如果BC〃A。，贝1/2=30°；

④如果NCA£)=150°,则/4=/C.其中正确的结论有()

A.1个

【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可.

【解答】解：VZ2=30°,ZCAB=90°,

：.Z1=6Q°,

,：ZE=60°,

：.Z1=ZE,

：.AC//DE,故①正确；

"：ZCAB=ZDAE=9Q°,

：.ZBAE+ZCAD=90°-Zl+90°+Zl=180°,故②正确;

'：BC//AD,/2=45°,

.-.Z3=ZB=45°,

：N2+N3=NZME=90°,

.1.Z2=45°,故③错误;

VZCA£）=150°,ZBAE+ZCAZ）=180°,

：.ZBAE=30°,

VZE=60°,

；.NBOE=NBAE+NE=90°,

.*.Z4+ZB=90°,

VZB=45°,

.*.Z4=45°,

VZC=45°,

Z4-ZC,故④正确；

所以其中正确的结论有①②④，3个.

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.

6.如图，AB//CD,EG、EM、尸M分别平分NAEF,ZBEF,ZEFD,则图中与NO尸M相等的角（不含

它本身）的个数为（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】由平分NEFD可知：与NOR0相等的角有NEfM；由于A3〃CO,EG、EM、分别平

分NAEF、NBEF、/EFD,根据平行线的性质和判定定理可以推导出FM//EG,由此可以写出与NO尸M

相等的角.

【解答】解：平分NHD,

ZEFM=ZDFM=三/CFE,

"G平分NAER

・•・ZAEG=ZGEF=专/AEF,

•；EM平分NBEF,

NBEM=ZFEM=考/BEF,

1

/.ZGEF+ZFEM=~(ZAEF+ZBEF)=90°,即/GEM=90°,

i

ZFEM+ZEFM=1(/BEF+NCFE),

\'AB//CD,

：./EGF=ZAEG,ZCFE=NAEF

/.ZFEM+ZEFM=(/BEF+NCFE)(BEF+NAEF)=90°,

.•.在中，ZEMF=90°,

：.ZGEM=ZEMF,

：.EG//FM,

.•.与NDFM相等的角有：NEFM、ZGEF,ZEGF,/AEG以及NGEF、ZEGF,/AEG三个角的对

顶角.

故选：C.

【点评】重点考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定定理，推导较复杂.

二.填空题

7.如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角NA=110。，第二次拐的角

145°,则第三次拐的角/C=145°时,道路CE才能恰好与4。平行.

【分析】先做出辅助线，再根据平行线的性质对角度进行转化，即可得到NBCE的度数.

【解答】解：如图，作2尸〃A。，则：BF//CE,

：.NABF=/A=110。，

ZCBF=ZABC-ZABF=35°

.,.NC=180°-ZCBF=145°,DBC

即第三次拐的角为145。时，道路CE才能恰好与平行.

故答案为：145°.

【点评】此题主要考查了平行公理的推论和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等.

8.如图1,为响应国家新能源建设，乐清市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光（平行

光线）与水平线最大夹角为62°,如图2,电池板A8与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板

CZ）与水平线夹角为48°,要使A3〃CD,需将电池板C£）逆时针旋转a度，则a为20.（0<a<

90）

（图1）（图2）

【分析】求出/EOF的度数，根据平行线的判定得出/MQO=NEOF=28°,再求出答案即可.

【解答】解:

'：EF±AB,

：.ZEFO=90°,

,：ZOEF=62°,

.,.ZE（?F=180°-90°-62°=28°,

'：AB//CD,

：.ZMQD=ZEOF=2S°,

,/要使AB〃C£),需将电池板CD逆时针旋转a度,

Aa°=48°-28°=20°,

故答案为：20.

【点评】本题考查了平行线的判定，旋转的性质，垂直的定义等知识点，能求出的度数是解此

题的关键.

9.如图，ABLBC,AE平分交于点E,AE±DE,Zl+Z2=90°,M、N分别是84,CD延长

线上的点，/E4M和/EOV的平分线交于点F.下列结论：①AB〃CD；②NAE8+/AZ)C=180°；③

DE平分NAOC；④/P为定值.其中结论正确的有①③④

【分析】先根据A8_L8C,AE平分NBA。交BC于点E,AELDE,Zl+Z2=90°,/E4M和

的平分线交于点F,再由平行线的性质即可得出结论.

【解答】解：'：AB±BC,AELDE,

.'.Zl+ZAEB=90°,ZDEC+ZAEB=90°,

：.Z1=ZDEC,

又・・・N1+N2=9O°,

.\ZDEC+Z2=90°,

：.ZC=90°,

.\ZB+ZC=180°,

J.AB//CD,故①正确；

・•・ZADN=/BAD,

VZADC+ZADN=180°,

.'.ZBAD+ZADC=180°,

又・・,NAEBWNBAD,

：.ZAEB+ZADC^180°,故②错误；

VZ4+Z3=90°,Z2+Zl=90°,而N3=N1,

・・・N2=N4,

・•・&）平分NAOC,故③正确；

VZ1+Z2=9O°,

ZEAM+ZEDN=360°-90°=270°.

••,NEAM和NEON的平分线交于点F,

1

ZEAF+ZEDF=x270°=135°.

\'AE±DE,

.,.Z3+Z4=90°,

：.ZFAD+ZFDA=\35°-90°=45°,

AZF=180°-(ZFAD+ZFDA)=180-45°=135°,故④正确.

故答案为：①③④

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义.

10.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点

A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图3：当/CAE=15°时，

8C〃。2则NC4E其余符合条件的度数为60°或105°或135°.

【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到NC4E的度数.

【解答】解：如图3,当8C〃r）E时，ZCAE=45°-30°=15°；

如左图，当时，ZCAE=90°-30°=60°；

如中图，DE//AB（或AO〃BC）时，ZCAE=450+60°=105°；

如右图，当。E〃AC时，ZCAE=450+90°=135°.

综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则NCAE（0°<ZCA£<180°）其它所有可能符合

条件的度数为60°或105°或135°,

故答案为：60°或105°或135°.

【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性

质求解是解答此题的关键.

三.解答题

n.阅读理解，补全证明过程及推理依据.

已知：如图，点E在直线。f上，点8在直线AC上，Z1=Z2,Z3=Z4.

求证：ZA=ZF.

证明：VZ1=Z2（已知）

Z2=ZDGF（对顶角相等）

：./'=/DGF（等量代换）

BD//CE（同位角相等，两直线平行）

N3+NC=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又：/3=/4（已知）

.-.Z4+ZC=180°（等量代换）

AC//DF（同旁内角互补，两直线平行）

/.ZF（两直线平行，内错角相等）

【分析】先证明BD〃CE,得出同旁内角互补N3+/C=180°,再由已知得出N4+/C=180°,证出AC

//DF,即可得出结论.

【解答】解:•.,/1=N2（已知）

N2=/DGF（对顶角相等）

.•./1=/OGP（等量代换）

J.BD//CE（同位角相等，两直线平行）

.-.Z3+ZC=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又；/3=/4（己知）

.-.Z4+ZC=180°

.•.AC〃。F（同旁内角互补，两直线平行）

AZA=ZF（两直线平行，内错角相等）；

故答案为：对顶角相等；BD；CE-,同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；AC,

DF-,同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问

题的关键，注意两者的区别.

12.如图,AC//FE,Zl+Z3=180°.

（1）判定/曲B与N4的大小关系，并说明理由；

（2）若AC平分EFLBE于点E,N4=78°,求/BCD的度数.

【分析】（1）由已知可证得N2=N3,根据平行线的判定得到旧1〃CD,根据平行线的性质即可得到/

必2=/4；

（2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：（1）ZFAB=Z4,

理由如下：

VAC//EF,

・・・N1+N2=18O°,

又・・・N1+N3=18O°,

AZ2=Z3,

：.FA//CD,

・・・NE43=N4；

(2)〈AC平分NMB,

：.ZFAB=2Z2f

由(1)得：NE43=N4,

JN4=2N2,

1i

・"3=Z2="4=ix78°=39°,

VEF±BE,AC//EF,

：.ACLBE,

：.ZACB=90°,

AZBCD=9G°-Z3=51°.

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.

13.已知：直线成分别与直线A—相交于点G,H,并且NAGE+NZ)HE=180°.

(1)如图1,求证：AB//CD；

(2)如图2,点M在直线AB,CQ之间，连接GM,HM,求证：ZM=ZAGM+ZCHM；

(3)如图3,在(2)的条件下，射线GH是N3GM的平分线，在“〃的延长线上取点N,连接GN,

1

若NN=NAGM,ZM^ZN+^ZFGN,求NMHG的度数.

【分析】(1)根据已知条件和对顶角相等即可证明；

(2)如图2,过点M作〃/12,可得AB〃CD〃MR.进而可以证明;

(3)如图3,令NAGM=2a,ZCHM=^,则/N=2a,ZM=2a+p,过点、H作HT〃GN,可得NMHT

=ZN=2a,NGHT=/FGN=2B，进而可得结论.

【解答】(1)证明：如图1,•:/AGE+/DHE=180°,NAGE=/BGF.

：.ZBGF+ZDHE=180°,

：.AB//CD；

(2)证明：如图2,过点M作MR〃A8,

又,：AB〃CD,

J.AB//CD//MR.

：.ZGMR=ZAGM,/HMR=ZCHM.

：.ZGMH=ZGMR+ZRMH=ZAGM+ZCHM.

(3)解：如图3,令NAGM=2a,ZCHM^^,则NN=2a,/M=2a+0,

射线GH是ZBGM的平分线，

11

J.Z.FGM="BGM=.(180。一乙4GM)=90。一1，

AZAGH=ZAGM+ZFGM=2a+90°-a=90°+a,

1

•・"M=NN+"FGN,

1

***2a+S=2a+aZ-FGN,

：.ZFGN=2^,

过点、H作HT〃GN,

则NMHT=NN=2a,/GHT=/FGN=2，,

：.ZGHM=ZMHT+ZGHT=2a+2p,

ZCHG=ZCHM+NMHT+ZGHT=0+2a+20=2a+30,

U：AB//CD,

：.ZAGH+ZCHG=1SQ°,

.*.90°+a+2a+30=18O°,

a+P=30°,

：.ZGHM=2(a+P)=60°.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.

14.“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照

灯.如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至4V便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转

至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速度是每秒2度，灯8转动的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即PQ〃MN,且NA4M：NBAN=2：1.

(1)填空：NB