2024-2025学年福建省厦门六中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省厦门六中高一（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知a，b，c均为单位向量.若a=b+c，则b与cA.π6 B.π3 C.2π32.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若a=33，c=2，A+C=5π6，则A.13 B.6 C.7 D.3.若向量a，b满足|a|=3，|a−b|=5，A.2 B.32 C.24.已知圆柱的底面半径与球的半径均为1，且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的母线长等于(

)A.1 B.2 C.3 D.45.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，则△ABC的面积为(

)A.1532 B.66 6.若圆锥的轴截面是一个顶角为2π3，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为(

)A.934 B.23 7.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和y轴上的截距a，b分别作为点P的x坐标和y坐标，记P(a,b).若斜坐标系中，x轴正方向和y轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中M(x1,y1)和A.(x1−x2)2+(8.湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一，因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下，小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示，小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上，他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置，测量出人与镜子的距离m1.沿直线将镜子向后移距离a，再次从镜中观测楼顶，并测量出此时人与镜子的距离m2(m2>mA.H=aℎm2−m1 B.H=二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，错误的是(

)A.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

B.正四面体是一种特殊的正三棱锥

C.平行六面体是一种特殊的斜四棱柱

D.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是210.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若sinA>sinB，则A>B

B.若a2+b2<c2，则△ABC为钝角三角形

C.若acosA=bcosB，则△ABC为等腰三角形

D.若11.已知点P在△ABC所在的平面内，λ∈R，则下列命题正确的是(

)A.若PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，则点P是△ABC的垂心

B.若(PA+PB)⋅AB=(PB+PC)⋅三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a=(2,1)，b=(−1,3)，则b在a上的投影向量为______(结果用坐标表示)．13.在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A114.已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知a=(−1,0)，b=(2,1)．

(1)若AB=2a−b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值．

16.(本小题15分)

如图，在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=2FD．

(1)若EF=xAB+yAD，求3x+2y17.(本小题15分)

海岸上建有相距403海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为α=∠BCA=45°，β=∠ACD=30°γ=∠BDC=45°，δ=∠ADB=75°．

(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？

(2)若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？18.(本小题17分)

现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥P−A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD−A1B1C1D1(如图所示)，且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

(1)若AB=6，PO1=2，求该几何体的体积．

(2)若正四棱锥的侧棱长为19.(本小题17分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，满足A=π3，3acosC+asinC=23．

(1)求b；

(2)若△ABC为锐角三角形，且外接圆圆心为O．

(i)求BO⋅AC的取值范围；

(ii)参考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.B

6.C

7.A

8.A

9.AC

10.ABD

11.ABD

12.(213.714.315.(1)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a−b，BC=a+mb，

则AB=(−4,−1)，BC=(2m−1,m)，且A、B、C三点共线，

则可得AB//BC，

即−4m−(2m−1)(−1)=0，解得m=−12；

(2)a=(−1,0)，b=(2,1)，AB=2a16.解：(1)因为在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=2FD．

故EF=EC+CF=12AD−23AB，

故x=−23,y=12，所以3x+2y=−1．

(2)显然AC=AB+AD，

所以AC⋅EF17.解：(1)测得角度数据为α=∠BCA=45°，β=∠ACD=30°γ=∠BDC=45°，δ=∠ADB=75°；

ACsin120∘=403sin30⇒AC=120．

(2)AB2=18.解：(1)由条件可知，正四棱柱的高O1O=8，

所以正四棱柱的体积为6×6×8=288，

三棱锥P−A1B1C1D1的体积为13×6×6×2=24，

所以该几何体的体积为288+24=312；

(2)(i)O1B1=62−22=42，

所以B1C1=42×2=8，

正四棱锥P−A1B1C1D1侧面的高为62−42=25，

所以正四棱锥的侧面积为4×12×8×25=325；

(ii)如图，将长方形ABB1A1，△PA1B1和19.解：(1)由正弦定理得，asinA=bsinB，

所以a32=bsin(A+C)，即a=b⋅32sin(π3+C)①，

又3acosC+asinC=23，

所以2asin(C