2024-2025学年湖南省郴州市高二（下）联考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省郴州市2024-2025学年高二（下）3月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1+i)z=1，其中i为虚数单位，则|z|=(

)A.1 B.22 C.22.在平面直角坐标系中，已知直线l的方向向量为v=(1,33)，则直线A.π6 B.π3 C.2π33.某校文艺汇演上有一个合唱节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为(

)A.194 B.240 C.388 D.4804.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a6A.55 B.50 C.100 D.585.曲线y=f(x)=2x2−x在x=1处的切线方程为A.x+y−2=0 B.x+y−4=0 C.3x−y−2=0 D.3x+y−4=06.已知圆C：x2+y2−6x−8y+16=0与过点P(2,3)的直线l交于A，B两点，则弦A.2 B.22 C.7.2025年春节期间，有《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《熊出没⋅重启未来》和《射雕英雄传：侠之大者》五部电影上映，小罗准备和另外3名同学去随机观看这五部电影中的某一部电影，则小罗看《哪吒之魔童闹海》，且4人中恰有两人看同一部电影的概率为(

)A.310 B.35 C.726258.过椭圆x216+y212=1上一点P，分别向圆C1：(x+2)2+y2=A.−672 B.−652 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=12sin2x+A.若f(x1)=f(x2)=0，则|x1−x2|的最小值为π2

B.函数y=f(x)的图象向右平移π12个单位长度后得到的函数图象关于原点对称

C.存在θ∈(0,10.已知A，B为随机事件，P(A)=0.6，P(B)=0.3，则下列结论正确的有(

)A.若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=0.9B.若A，B为互斥事件，则P(A−∪B−)=0.1

C.若A，B相互独立，则P(A∪B)=0.7211.已知数列{an}满足an+2=25an+1−5an，且aA.a4=205 B.{an+1−5an}是等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−4x13.已知随机变量X取所有的值1，2，…，n是等可能的，且E(X)=3，则D(2X+1)=______．14.已知对于任意的x∈R，存在k>0，使得不等式xex+m≥k(x−1)恒成立，则实数m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，S5=25，且a2，a5，a14成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{a16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且PD=22，M为PD的中点．

(1)求证：PB//平面ACM；

(2)求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．17.(本小题15分)

2025年的农历新年里，某市传统民俗文化庙会在历史文化街区举办.庙会设有7个传统手工艺展示区、11个地方美食摊位区和3个民俗表演舞台区，街区总面积约2万平方米.游客可选择乘坐复古三轮车、骑共享单车或者步行来逛庙会．

(1)若游客甲准备在7个传统手工艺展示区和3个民俗表演舞台区中随机选取2个区域游览，设甲参观传统手工艺展示区的数量为X，求X的分布列及数学期望；

(2)为了解游客体验感受，主办方随机询问了350名首次逛庙会且只选择一种游览方式的游客，其游览方式和游览结果的统计数据如下表：游览方式

游览结果复古三轮车共享单车步行逛完所有区域405030未逛完所有区域2070140以频率估计概率，若游客乙首次逛庙会，选择上述三种游览方式中的一种，求游览结束时乙能逛完所有区域的概率．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=a(ex+a)−x−2．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)有两个零点，求实数19.(本小题17分)

如图，已知曲线C1：y2=4x，曲线C2：x2a2+y2b2=1的左、右焦点分别是F1，F2，且F2是曲线C1的焦点，点P是C1与C2在第一象限内的公共点且|PF2|=52，过F2的直线l分别与曲线C1和C2交于点A，

参考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.−12

13.8

14.[−e,+∞)

15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，

由S5=25，且a2，a5，a14成等比数列，

得5a1+5×42d=25(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，

解得a1=1d=2或a1=5d=0(舍去)，

∴an=a1+(n−1)d=2n−1(n∈N∗)；

(2)由an=2n−1，知a1=1，a3=5，

又{an+bn}为公比是2的等比数列，b3=3，

∴a3+b3=(a1+b1)×4=5+3=8，即a1+b1=1+b1=2，

∴an+bn=2×2n−1=2n，bn=2n−(2n−1)，(n∈N∗)

则Tn=b1+b2+...+bn=(21+22+...+2n)−[1+3+...+(2n−1)]

=2×(1−2n)1−2−(1+2n−1)n2=2n+1−2−n2．

16.解：(1)证明：连接BD∩AC=N，连MN，如图，正方形ABCD中，N为BD的中点，而M为PD的中点，

则PB/​/MN，而MN⊂17.解：(1)由题意知：X所有可能取值为0，1，2，

P(X=0)=C32C70C102X012P177所以E(X)=0×115+1×715+2×715=75；

(2)记事件A为“游客乙乘坐复古三轮车游园”，事件B为“游客乙骑共享单车游园”，事件C为“游客乙步行游园”，事件M18.解：(1)∵函数f(x)=a(ex+a)−x−2，

∴f′(x)=aex−1，

当a≤0时，f′(x)<0，

∴函数f(x)在单调减区间为(−∞,+∞)，

当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln1a，令f′(x)<0，则x<ln1a，

∴函数f(x)的单调增区间为(ln1a,+∞)，单调减区间为(−∞,ln1a)，

综上所述，当a≤0时，f(x)在单调减区间为(−∞,+∞)，没有增区间；

当a>0时，函数f(x)的单调增区间为(ln1a,+∞)，单调减区间为(−∞,ln1a)；

(2)由(1)知，要使函数f(x)有两个零点，则a>0，

当a>0时，f(x)min=f(ln1a)=lna+a2−1，

又当x→−∞时，f(x)=aex+a2−x−2→+∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，

∵函数f(x)有两个零点，

∴f(x)min=f(ln1a)=lna+a2−1<0，

令ℎ(a)=lna+a2−1，

∵函数y=lna，y=a2−1在(0,+∞)上都是增函数，

∴函数ℎ(a)在(0,+∞)上是增函数，

又∵ℎ(1)=0，

∴不等式ℎ(a)=lna+a2−1<0的解集为a∈(0,1)，

∴实数a的取值范围为(0,1)．

19.(1)由题意：已知曲线C1：y2=4x，曲线C2：x2a2+y2b2=1的左、右焦点分别是F1，F2，

且F2是曲线C1的焦点，点P是C1与C2在第一象限内的公共点且|PF2|=52，

过F2的直线l分别与曲线C1和C2交于点A，B和M，N