2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高二下学期3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)关于xOy平面的对称点坐标为(

)A.(1,2,−3) B.(−1,2,−3) C.(−1,−2,3) D.(−1,−2,−3)2.将乘积a1+a2A.4+2+3 B.4×2×3 C.5+3+4 D.5×3×43.已知向量a=2m+1,3,m−1,b=2,m,−m，且aA.0或32 B.32 C.0或−2 4.若a,b,cA.a+b，a−b，b B.a−b，a−b+c，−c

C.a5.已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且OP=13OA+14OB+λOC(λ∈R)，若PA.13 B.14 C.5126.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在线段AC上，且AM=2MC，点NA.23a+12b−237.6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有(

)A.720 B.360 C.240 D.1208.如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，A.等于55a B.和EF的长度有关 C.等于23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中，正确的是(

)A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=2,0,−1，b=−4,0,2，则l1//l2

B.直线l的方向向量c=1,−1,2，平面α的法向是m=6,4,−1，则l⊥α

C.两个不同的平面α，β的法向量分别是u=2,2,−1，v10.若a=(−1,λ,−2)，b=(2,−1,1)，a与b的夹角为120°，则λ的值为(

)A.17 B.−17 C.−1 D.111.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3A.当A1C=2A1P时，B1，P，D三点共线

B.当AP⊥A1C时，AP⊥D1P

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若三个向量a=3,3,2，b=6,m,7，c=0,5,1共面，则实数13.已知平面α的一个法向量为n=(2,1,2)，点A(−2,3,0)在α内，则P(1,1,4)到α的距离

14.如图，已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a=(1)若a⊥b，求(2)求b−a16.(本小题15分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，(1)证明：AC⊥C(2)求二面角A−EC117.(本小题15分)如图，四面体ABCD中，E，F分别为AB，DC上的点，且AE=BE，CF=2DF，设DA=a，DB=(1)以a,b,(2)若∠ADB=∠BDC=∠ADC=60∘，且DA=3，DB=3，DC18.(本小题17分用0，1，2，3，…，9这十个数字．(1)可组成多少个三位数？(2)可组成多少个无重复数字的三位数？(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？19.(本小题17分如图，在四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=1，AB⊥BC，N为(1)求证：AN//平面PBC；(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值；(3)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是2626，若存在，求出DMDP参考答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.C

8.A

9.AC

10.AC

11.ACD

12.21

13.4

14.21315.(1)因为a⊥b，所以即21−t解得t=2；(2)所以b−a所以当t=15时，b−

16.(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC所以CC又由题可知，AC⊥BC，CC1，BC⊂且CC所以AC⊥平面BCC又因为C1E⊂平面BCC(2)以C为坐标原点，CA,CB,CC1分别为由AC⊥BC，AB=2BC=2，可得AC=则有A(设平面AEC1的一个方向量为所以AE⋅m=0AC1⋅所以m因为AC⊥平面BCC1B1，所以所以，cos<即二面角A−EC1−B

17.(1)由图可得，EF(2)由题意，|a则a⋅于是，由EF=−|=(1故|EF

18.(1)要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法，根据分步乘法计数原理，共有9×10×10=900个.(2)要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有9×9×8=648个．(3)作用题意，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类：第一类，满足条件的一位自然数：有10个，第二类，满足条件的两位自然数：有9×9=81个，第三类，满足条件的三位自然数：第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法，根据分步乘法计数原理，有4×9×8=288个，所以小于500且没有重复数字的自然数共有10+81+288=379(个)．

19.(1)过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE=1，如图，以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0∵N为PD的中点，∴N2,−BP=设平面PBC的一个法向量为m=则m⋅BP=−y+z=0m⋅∴AN⋅m又AN⊄平面PBC，所以AN//平面PBC；(2)设平面PAD的一个法向量为n=所以AP⋅n=c=0AD⋅n=22所以co