2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高一（下）段考数学试卷（二）（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省无锡市天一中学高一（下）3月段考数学试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关于空间几何体的论述，正确的是(

)A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

B.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线

D.存在三棱锥，其四个面都是直角三角形2.已知复数z在复平面内对应的点为(−1,2)，则iz在复平面内对应的点为(

)A.(−2,−1) B.(−1,−2) C.(2,1) D.(1,2)3.已知平面向量e1和e2满足|e2|=2|e1|=2，e1在e2A.−1 B.−12 C.−14.充满气的车轮内胎(不考虑胎壁厚度)可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是(

)A. B. C. D.5.已知O是△ABC的外心，AO⋅AB=2，∠ACB=π4，则△ABCA.22 B.2 C.26.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′(如图所示)，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则DC的长度是(

)

A.5 B.22 C.27.如图，圆锥底面半径为3，母线PA=12，AB=23AP，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达BA.67

B.16

C.4108.圣⋅索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点．其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(153−15)m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为A.20m B.30m C.203m二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z1，z2，下列说法正确的是(

)A.若|z1|=|z2|，则z12=z2210.已知a=(3,−1)，b=(1,−2)，则正确的有(

)A.a⋅b=5

B.与a方向相反的单位向量是(31010,−1010)

C.11.已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，b=2，则下列结论正确的是(

)A.∠B的取值范围为(π6,π2) B.BA⋅BC的最小值为−14三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图所示，三棱台ABC−A′B′C′的体积为7，AB=2A′B′，沿平面A′BC截去三棱锥A′−ABC，则剩余的部分几何体的体积为______．13.已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，C=2π3，求sin214.在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设AB=c，AC=b，若∠A=π6，△ABC的面积为3，则当|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z1=1+2i．

(1)若复数z1是方程z2+a⋅z+b=0的一个复数根，求实数a，b的值；16.(本小题15分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，向量m=(a,b+c)，n=(3sinC+cosC,1)，m⋅n=2(b+c)．

(1)求A；

(2)17.(本小题15分)

在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2DC=4，点F是BC边上的中点．

(1)若点E满足DE=2EC，且EF=λAB+μAD，求λ+μ的值；

(2)若点P是线段AF上的动点18.(本小题17分)

养殖户承包一片靠岸水域，如图OA，OB为直岸线，OA=2km，OB=3km，∠AOB=π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB，过弧AB上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=2π3．

(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；

(2)如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记∠PAB=θ，设两段网箱获得的经济总收益为y19.(本小题17分)

定义：若非零向量OM=(a,b)，函数f(x)的解析式满足f(x)=asinx+bcosx，则称f(x)为OM的伴随函数，OM为f(x)的伴随向量．

(1)若向量OM为函数f(x)=2sin(x+π6)+4sin(x−π2)的伴随向量，求|OM|；

(2)若函数f(x)为向量OM=(3,−1)的伴随函数，在△ABC中，BC=23，f(A)=1，且cosBcosC=−18，求AB+AC参考答案1.D

2.A

3.D

4.C

5.B

6.B

7.C

8.D

9.BD

10.AC

11.AD

12.3

13.3414.2

15.解：(1)z12=(1+2i)2=−3+4i，

所以z12+a⋅z1+b=a+b−3+(2a+4)i=0，

a+b−3=02a+4=0，所以a=−2，b=5；16.解：(1)根据m=(a,b+c)，n=(3sinC+cosC,1)，可得m⋅n=a(3sinC+cosC)+b+c，

结合题意m⋅n=2(b+c)，化简得3asinC+acosC=b+c，

根据正弦定理得3sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，

因为△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，整理得3sinAsinC=sinC(cosA+1)．

结合△ABC中，sinC≠0，化简得3sinA−cosA=1，即2sin(A−π6)=1，

在△ABC中，A−π6∈(−π6,5π617.解：(1)因为点F是BC边上的中点，点E满足DE=2EC，

所以EF=EC+CF=13DC+12CB=16AB+12(12AB−AD)=512AB−12AD，

因为EF=λAB+μAD，所以λ=512,μ=−12，所以λ+μ=−112；

(2)以点A为坐标原点，18.解：(1)OA，OB为直岸线，OA=2km，OB=3km，∠AOB=π3，

该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB，过弧AB上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=2π3，

在△AOB中，由余弦定理，

得AB=OA2+OB2−2×OA×OB×cosπ3=22+32−2×2×3×12=7，

即岸线上点A与点B之间的直线距离为7千米；

(2)如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益，

记∠PAB=θ，设两段网箱获得的经济总收益为y万元，

在△PAB中，设∠PAB=θ，

7sin2π3=PAsin(π3−θ)=PBsinθ，

故有PA=732sin(π3−θ)=2213sin(π3−θ)，

PB=732sinθ=2213sinθ(0<θ<π3)，

设两段网箱获得的经济总收益为y万元，

则y=2PA+4PB=4213sin(π3−θ)+8213sinθ

=4213[sin