2024-2025学年天津四十七中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津四十七中高二（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列求导运算正确的是(

)A.(e1−x)′=e1−x B.(cos3x)′=−sin3x

2.“m=−1”是“直线mx+(2m−1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知a=ln1.01，b=1.01，c=e0.01，则(

)A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b4.在等比数列{an}中，a4=−1，aA.23 B.−23 C.5.已知函数f(x)=lnx+(x−b)2(b∈R)在[1,2]上存在单调递减区间，则实数b的取值范围是A.[32,+∞) B.[94,+∞)6.已知抛物线y=116x2的焦点是双曲线yA.41717 B.415157.定义：若函数y=f(x)存在n−1(n∈N∗)个极值点，则称y=f(x)为n折函数.例如，函数f(x)=x3−3x为3折函数.已知函数f(x)=cos2x+xlnx−x，则f(x)为(

)

A.3折函数 B.4折函数 C.5折函数 D.6折函数8.天津市第四十七中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”“立夏”七张知识展板放置在七个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻.且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为(

)A.265 B.320 C.480 D.9609.若曲线y=ax+3cosx上存在两条切线相互垂直.则实数a的取值范围是(

)A.[−22,22] B.[−二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知函数f(x)在x=x0处可导，且Δx→0limf(x11.圆x2+y2+2mx+4my+6=0关于直线mx−y+3=012.函数f(x)=13x3−13.天津有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色.现有一名游客每天分别从包子、麻花、炸糕、素卷圈、锅巴菜、大饼卷一切这6种美食中随机选择品尝，每天至少品尝一种且每天不重样，若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为______．14.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)+1<f′(x)，f(0)=2，则不等式f(lnx)+1>3ex的解集为______．15.已知函数f(x)=xx−1，g(x)=2alnx，当x>0时，函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方，则实数a的取值范围为______．三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知函数f(x)=(2−a)lnx+1x+2ax(a∈R)．

(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；

(Ⅱ)当a<0时，求f(x)单调区间；

(Ⅲ)若对任意a∈(−3,−2)及x1，x2∈[1,3]17.(本小题15分)

如图，已知多面体ABC−A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

(1)求证：18.(本小题15分)

设P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，F1，F2为椭圆的左、右两焦点，短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，

(1)求椭圆的离心率；

(2)直线l：y=kx+b2与椭圆交于P、Q19.(本小题15分)

已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，b1=2a1=2，a5=a2+a3，b6=3(2b5−3b4).

(Ⅰ)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；

20.(本小题16分)

已知函数f(x)=(x−1)ex−lnx，g(x)=x+(lnx)2．

(1)当x≥1时，证明：xlnx≤x−1≤xlnx；

(2)若ℎ(x)=f(x)+λg(x)在(0,+∞)单调递增，求λ的取值范围；

(3)若f(参考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.C

6.B

7.D

8.D

9.A

10.−8

11.3

12.4313.540

14.(1,+∞)

15.(−e16.解：(Ⅰ)依题意知f(x)的定义域为(0,+∞)，

当a=0时，f(x)=2lnx+1x，f′(x)=2x−1x2=2x−1x2，

令f′(x)=0，解得x=12，

当0<x<12时，f′(x)<0；

当x≥12时，f′(x)>0

又∵f(12)=2−ln2

∴f(x)的极小值为2−2ln2，无极大值．

(Ⅱ)f′(x)=2−ax−1x2+2a=2ax2+(2−a)x−1x2

当a<−2时，−1a<12，

令f′(x)<0得0<x<−1a或x>12，

令f′(x)>0得−1a<x<12；

当−2<a<0时，得−1a>12，

令f′(x)<0得0<x<12或x>−1a，

令f′(x)>0得12<x<−1a；

当a=−2时，f′(x)=−(2x−1)2x2≤0，

综上所述，当a<−2时f(x)，的递减区间为(0,−1a)和(12,+∞)，递增区间为(−1a17.解：(1)证明：以AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A(0,−3,0),B(1,0,0),A1(0,−3,4),B1(1,0,2)，C1(0,3,1),C(0,3,0)，

∴AB1=(1,3,2)，A1B1=(1,3,−2)，A1C1=(0,23,−3)，

∵AB1⋅A1B1=0,AB1⋅A1C1=0，

则AB1⊥A1B1，AB1⊥A1C1，

又A1B1∩A1C1=A1，A1B1，18.解：(1)由题意可知a=2b，

所以e=1−b2a2=1−14=32．

(2)设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

则由y=kx+b2x24+y2=b2，消y，得(1+4k2)x2+4kbx−3b2=0，

因为直线与椭圆交于不同的两点，

19.解：(Ⅰ)设等差数列{an}为的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由b1=2a1=2，a5=a2+a3，b6=3(2b5−3b4)，

可得1+4d=2+3d，2q5=3(4q4−6q3)，

解得d=1，q=3，

所以an=1+n−1=n；bn=2×3n−1；

(Ⅱ)(ⅰ)证明：cn=bn+1−b20.解：(1)证明：根据题目：已知函数f(x)=(x−1)ex−lnx，g(x)=x+(lnx)2．

令F(x)=xlnx−x+1，F′(x)=lnx，

当x∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)单调递减；

当x∈(1,+∞)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，所以F(x)>F(1)>0，即xlnx≥x−1，

令G(x)=xlnx−x+1，G′(x)=lnx+2−2x2x，

令H(x)=lnx+2−2x，H′(x)=1x−1x=1−xx，

当x∈(1,+∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减，H(1)=0，

故：G′(x)≤0，G(x)单调递减，G(x)≤G(1)=0，故：xlnx≤x−1，

所以：xlnx≤x−1≤xlnx(x≥1)，

(2)ℎ(x)=(x−1)ex−lnx+λ(x+ln2x)，ℎ′(x)=xex−1x+λ(1+2lnxx)=x2ex−1+λln(x2ex)x，

当x∈(0,+∞)时，令x2