2024-2025学年云南省曲靖市陆良县中枢二中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省曲靖市陆良县中枢二中高二（下）3月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且2OM=MA，N为BC的中点，则MN等于(

)A.12OA−23OB+122.设直线l的方程为2x−2ycosθ+3=0，则直线l的倾斜角α的范围是(

)A.[0,π] B.[π4,π2]3.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA.55 B.3 C.64.设m∈R，过定点A的动直线2mx−y=0和过定点B的动直线x+2my−8m−3=0交于点P，点P不与A，B重合，则1|PA|2+A.9 B.25 C.925 5.已知点P在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上运动，O是AB的中点，则PAA.13 B.53 C.26.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=12A.2π B.4π C.6π D.12π7.在平面直角坐标系中，已知两点O(0,0)，A(3,4)到直线l的距离分别是2与3，则满足条件的直线l共有(

)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条8.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e>1时，轨迹为双曲线.现有方程mx2+y2A.3102 B.10 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：mx+2y−m+2=0，A(1,2)，B(3,2)，则下列结论正确的是(

)A.存在实数m，使得直线l与直线AB垂直

B.存在实数m，使得直线l与直线AB平行

C.存在唯一的实数m，使得点A到直线l的距离为3

D.存在唯一的实数m，使得以线段AB为直径的圆与直线l相切10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，当EA.三棱锥E−A1B1D1的体积不变

B.EB1⊥AD1

C.直线11.已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+yA.当a=2b时，满足∠F1PF2=90°的点P共有4个

B.△PF1F2的周长不一定小于4a

C.△P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知抛物线y=4x2与一条过焦点的直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的纵坐标为38，则|AB|=13.在一个锐二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且AB=AC=BD=1，CD=2，则该二面角α的大小为______．14.已知点A，B，M，N，P均在同一平面内，且M(−1,2)，A(2,1)，B(4,1)，动点N满足NA⋅NB=0，点P为直线x+2y+2=0上的一个动点，则|PM|+|PN|取最小值时，点P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

对于空间任意两个非零向量a，b，定义新运算：a⊕b=a⋅bb2．

(1)若向量a=(1,0,1)，b=(0,1,1)，求(2a−b)⊕b16.(本小题15分)

已知直线l：3x−4y+5=0与圆C：x2+y2−6x−2y+a+5=0有且只有一个公共点．

(1)求实数a的值以及圆C的标准方程；

(2)已知圆C上恰有两个点到直线m：kx−y+2=0的距离为17.(本小题15分)

已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，且经过点(2,1)．

(1)求双曲线方程和其渐近线的方程；

(2)若存在过点M(1,m)的直线18.(本小题17分)

如图1在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2．

(1)求证：AD⊥平面BDM；

(2)若点E是线段DB上的一动点，且DE=tDB(0<t<1)，当二面角E−AM−D的正弦值为255时，求t的值．19.(本小题17分)

已知抛物线D的焦点在x轴的正半轴上，其顶点是椭圆x24+y23=1的中心，其焦点到其准线的距离等于该椭圆的长半轴长．

(1)求抛物线D的准线方程；

(2)过点P(4,0)的动直线l交抛物线D于A，B两点，且A在第一象限，Q(−4,0)．

①求△AQB的面积S的最小值．

②是否存在垂直于x轴的定直线m被以参考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.C

6.D

7.C

8.A

9.BCD

10.ABD

11.AC

12.7813.π314.(−115.解：(1)由a=(1,0,1)，b=(0,1,1)，得2a−b=(2,−1,1)，

则(2a−b)⋅b=2×0−1×1+1×1=0，

所以(2a−b)⊕b=(2a−b)⋅bb2=0．

(2)由a，b是单位向量，得|a|=|b|=1，

设a，b的夹角为θ，则(3a+b)⋅(a−2b)=3a2−5a⋅b−2b2=1−5cosθ，

(a−2b)2=a2−4a⋅b+4b2=5−4cosθ，

因为(3a+b)⊕(a−2b)=−53，

所以1−5cosθ5−4cosθ=−53，解得cosθ=45，

所以a,b夹角的余弦值为45．

16.解：(1)将圆C：x2+y2−6x−2y+a+5=0化为标准方程，

得(x−3)2+(y−1)2=5−a，故圆心C(3,1)，半径为5−a，

因为直线l：3x−4y+5=0与圆C相切，

所以|3×3−4×1+5|32+42=5−a，即5−a=2，

解得a=1，

所以圆C的标准方程为(x−3)2+(y−1)2=4；

(2)设圆心C到直线m的距离为d，

由(1)可知：C(3,1)，圆C的半径为2，

因为圆C上恰有两个点到该直线m：kx−y+2=0的距离为1，则有1<d<3，

即1<|3k+1|1+k2|3k+1|1+k2<3，解得0<k<43或k<−34，

所以k的取值范围为(−∞,−34)∪(0,43).

17.解：(1)由已知可得ca=22a2−1b2=1c2=a2+b2，解得a=1b=1c=2，

所以双曲线C的方程为x2−y2=1，其渐近线的方程为y=±x．

(2)若直线l⊥x轴，则l与双曲线x2−y2=1相切，不合题意；若直线l的斜率为0，显然不符合题意，所以直线l的斜率存在且不为0．

设l的斜率为k，点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

因为M(1,m)是线段PQ的中点，则x1+x2=2，y1+y2=2m，

点P，Q的坐标代入双曲线的方程可得x12−y12=1x22−y22=1，

作差可得(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)(y1+y2)

即x1−x2=m(y1−y2)，即mk=1．

此时，直线PQ的方程为y−m=k(x−1)，即y=kx+m−k．19.解：(1)因为抛物线D的焦点在x轴的正半轴上，其顶点是椭圆x24+y23=1的中心，

设抛物线方程为y2=2px(p>0)，

因为抛物线焦点到其准线的距离等于该椭圆的长半轴长，

易知椭圆的长半轴长为2，

所以p=2，

则抛物线D的方程为y2=4x，准线方程为