2024-2025学年重庆市九龙坡区杨家坪中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市九龙坡区杨家坪中学高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.曲线f(x)=−2x在点M(1,−2)处的切线方程为(

)A.y=−2x+4 B.y=−2x−4 C.y=2x−4 D.y=2x+42.下列式子不正确的是(

)A.(3x2+xcosx)′=6x+cosx−xsinx B.(sin2x)′=2cos2x

C.(3.现有A，B，C，D，E五人站成一排，则A，B相邻且C，D不相邻的排法种数共有(

)A.6 B.12 C.24 D.484.已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若a2A.1 B.3 C.2 D.5.已知焦点在y轴上的双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0).该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为A.53 B.54 C.436.已知a=2ln2,b=3A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)，且当x<0时，2f(x)+xf′(x)<0，则不等式(x−2024)2f(x−2024)−f(−1)<0的解集为A.(−∞,2025) B.(2023,2025)

C.(−∞,2025)∪(2023,+∞) D.(−∞,2023)∪(2025,+∞)8.已知两条曲线y=a⋅3x−ln3与y=lnxxA.(0,1e) B.(−∞,1e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图为函数f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(

)A.f(x)在(−3,1)上单调递增

B.x=−1是f(x)的极小值点

C.f(x)在(2,4)上单调递减，在(−1,2)上单调递增

D.x=2是f(x)的极小值点10.已知F1，F2是椭圆C：x29+y225=1的两个焦点，过F1的直线l与椭圆A.椭圆C的离心率为35 B.存在点A使得AF1⊥AF2

C.若|AF11.已知函数f(x)=ax3−3ax2+b，其中实数a>0A.f(x)必有两个极值点

B.y=f(x)有且仅有3个零点时，b的范围是(0,4a)

C.当b=2a时，点(12,0)是曲线y=f(x)的对称中心

D.当5a<b<6a时，过点A(2,a)可以作曲线y=f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若Δx→0limf(2+2Δx)−f(2)Δx=6，则f′(2)=13.某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有______种.14.已知e为自然对数的底数，对任意的x1∈[0,1]，总存在唯一的x2∈[−1,1]，使得x1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x+ax−3lnx(a∈R)．

(1)若x=3是f(x)的一个极值点，求a值及f(x)的单调区间；

(2)当a=−2时，求f(x)在区间[1,e]17.(本小题15分)

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=12an2+an．

(1)求{a18.(本小题17分)

已知函数f(x)=−e2x+6ex−ax−2．

(1)当a=4时，求f(x)的极值；

(2)若f(x)有两个极值点x1，x2．

(ⅰ)求a19.(本小题17分)

若存在一个数m，使得函数f(x)定义域内的任意x，都有f(x)≥m，则称f(x)有下界，m是f(x)的一个下界．

(1)求函数f(x)=xlnx的下界m的取值范围；

(2)判断f(x)=ex+x2−x−3是否是下界为−2的函数，并说明理由；

(3)若函数f(x)=xex−x2−3x(x>0)，m参考答案1.C

2.D

3.C

4.A

5.B

6.C

7.D

8.A

9.BC

10.BCD

11.ABD

12.3

13.18

14.(1+115.解：(1)因为a1，a3，a9成等比数列，所以a32=a1a9，

设等差数列{an}的公差为d，所以(1+2d)2=1+8d，

解得d=1，

所以an16.解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

(1)由题有f′(x)=1−ax2−3x，

所以由x=3是函数f(x)的一个极值点得f′(3)=1−a9−1=0，解得：a=0，

此时f′(x)=1−3x=x−3x，

所以，当x>3时，f′(x)>0；当0<x<3时，f′(x)<0，

即函数f(x)在(3,+∞)单调递增；在(0,3)单调递减．

所以函数f(x)的单调递增区间为(3,+∞)，单调递减区间为(0,3)；

(2)因为a=−2，所以f(x)=x−2x−3lnx，

f′(x)=1+2x2−3x=(x−1)(x−2)x2，

所以，当0<x<1或x>2时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+∞)；单调递减区间为(1,2)，

又x∈[1,e]，所以17.解：(1)因为2Sn=12an2+an，

所以当n=1时，2a1=12a12+a1，解得a1=2；

当n≥2时，2Sn=12an2+an2Sn−1=12an−12+an−1，

两式作差得：2an=12an2−12an−12+an−an−1=12an2−12an−12−an−an−1=0，

所以(an+an−1)(12an−12an−1−1)=0，

因为an>0，所以12an−12an−1−1=0，所以an−an−1=2，

所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，

所以an=2+2(n−1)=2n(n∈N∗)；

(2)由(1)知，an=2n，

bn=1an2−1=1(an+1)(an−1)=1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1)，

所以Tn=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．

18.解：(1)当a=4时，f(x)=−e2x+6ex−4x−2，

则f′(x)=−2e2x+6ex−4=−2(ex−1)(ex−2)，

令f′(x)=0，可得x=0或x=ln2，

当x<0或x>ln2时，f′(x)<0，当0<x<ln2时，f′(x)>0，

则f(x)在(−∞,0)和(ln2,+∞)上单调递减，在(0,ln2)上单调递增，

则f(x)的极大值为f(ln2)=6−4ln2，极小值为f(0)=3．

(2)(i)f(x)=−e2x+6ex−ax−2，则f′(x)=−2e2x+6ex−a，

令t=ex，t>0，则f′(x)=g(t)=−2t2+6t−a，

因−2t2+6t≤92，故f′(x)=g(t)≤92−a，

当92−a≤0，即a≥92时，f′(x)≤0，

则f(x)在R上单调递减，f(x)无极值，不满足题意；

当a<92时