河南省周口市鹿邑县鹿邑县第二高级中学校2024-2025学年高二下学期月考数学试题(含答案)

2024-2025学年高二下学期数学月考试卷一、选择题(共8题，每题5分，共40分)1．设A，B为两个事件，已知P（A）=，P（B|A）=，则P（AB）=（）A.B.C.D.2．若函数f（x）满足f（x）=x3-f′（2）x2-3x,则f′（2）的值为（）A.-1 B.2 C.3 D.43．随机变量X的概率分布为：X124P0.40.3a则E（5X+4）等于（）A.5 B.15 C.45 D.与a有关4．已知函数f（x）=2x-3lnx+2022，则f（x）的单调递减区间为（）A. B.

C. D.5．在（-）n（n∈N*）的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为（）A.32 B.-32 C.0 D.16．已知函数在x=a处取得极大值，则实数a的取值范围为（）A.[1，+∞） B.（1，+∞）

C.（0，1） D.（0，1]7．在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（）A.420种B.360种C.540种 D.300种8．已知函数f（x）=aex+x+b,若函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=2x+3，则ab的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题(共3题，每题6分，共18分)9．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是（）A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B.从中任取3球，恰有两个白球的概率是

C.从中任取3球，取得白球个数X的数学期望是1

D.从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为10．已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（）A.2，n,10成等差数列

B.各项系数之和为64

C.展开式中二项式系数最大的项是第3项

D.展开式中第5项为常数项11．已知函数，则A.的极大值为

B.的最小值为

C.当的零点个数最多时，的取值范围为

D.不等式的解的最大值与最小值之差小于三、填空题(共3题，每题5分，共15分)12．已知函数f（x）=2x2+1，则=_____．13．已知随机变量X，Y满足Y=2X+1，且随机变量X的分布列如下：X012Pa则随机变量Y的方差D（Y）等于_____．14．（1+x）（1+2x）4的展开式中x3的系数为_____．（用数字作答）四、解答题(共5题，共77分)15．(13分)（请写出必要的解题过程并用数字作答）

4名男生4名女生排成一排，分别求下列情形的排法：

（1）甲乙二人必须站在一起；

（2）甲乙二人不能站在一起；

（3）男女必须间隔而站；

（4）甲乙二人中间恰有1人．16．(15分)已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，a∈R．

（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-2，1]上的最大值；

（2）当a≥0时，求函数f（x）的极值．17．(15分)已知（1+2x）6-（x-1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6．

（1）求a2的值；

（2）求a1+a2+a3+a4+a5的值；

（3）求a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6的值．18．(17分)2020年10月4日，第29届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

（2）若按照分层随机抽样从成绩在[80，90），（90，100]的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[90，100]的人数，求ξ的分布列和数学期望．19．(17分)已知函数

讨论函数的单调区间；

若，证明：关于的不等式有解.

2024-2025学年高二下学期数学月考试卷答案1．答案：B2．答案：C3．答案：B4．答案：A5．答案：D6．答案：C7．答案：A8．答案：B9．答案：BC10．答案：ABD11．答案：ACD解析：本题考查导数与函数的综合应用，，属于较难题.

当或时，，单调递增；

当或时，，单调递减.

故的极大值为

，

所以的最小值为，正确，错误.

零点个数最多为，此时，，解得，正确.

即，

只需证，令，

由知，两根分别位于与中，

因为，，所以不等式的解的最大值与最小值之差小于，正确.

12．答案：8解析：根据函数在某点处的导数的定义求解．

解：根据题意，f′（x）=4x,则f′（2）=8，

又=f'（2）=8．

故答案为：8．13．答案：解析：根据分布列中概率和为1可得a,再由期望、方差公式计算出D（X），最后利用D（aX+b）=a2D（X）计算可得答案．

解：因为，所以，

故，

，

所以．

故答案为：．14．答案：56解析：由二项式展开式的通项求解即可；

解：第一个括号内取x时，第二个为，

第一个括号内取1时，第二个为；

故展开式中x3的系数为32+24=56．

故答案为：56．15．解析：（1）根据题意，将甲乙看成一个整体，与其余6人全排列，由分步计数原理计算可得答案；

（2）根据题意，先将其余6人排好，再将甲乙安排在6人的7个空位中，由分步计数原理计算可得答案；

（3）根据题意，分析男生、女生之间的排法，再若男女间隔而站的情况，由分步计数原理计算可得答案；

（4）根据题意，在其余6人中，选出1人，放在甲乙之间，再将三人看成一个整体，再与其他5人全排列，由分步计数原理计算可得答案．

解：（1）根据题意，将甲乙看成一个整体，与其余6人全排列，

有AA=10080种排法；

（2）根据题意，先将其余6人排好，再将甲乙安排在6人的7个空位中，

有AA=30240种排法；

（3）根据题意，男生之间的排法有A种，女生之间的排法有A种，

若男女间隔而站，有2种情况，

则男女必须间隔而站的排法有2AA=1152种；

（4）根据题意，在其余6人中，选出1人，放在甲乙之间，有CA种排法，

将三人看成一个整体，再与其他5人全排列，有A种情况，

则有CAA=8640种．16．解析：（1）将a=1代入，求导，求出函数在[-2，1]上的单调性，进而求得最大值；

（2）求导，分a=0及a＞0两种情形讨论即可得出结论．

解：（1）当a=1时，f（x）=x3+x2-x+1，则f′（x）=3x2+2x-1=（x+1）（3x-1），

令f′（x）＞0，解得-2＜x＜-1或，令f′（x）＜0，解得，

∴函数f（x）在单调递增，在单调递减，

由于f（-1）=2，f（1）=2，故函数f（x）在区间[-2，1]上的最大值为2；

（2）f′（x）=3x2+2ax-a2=（x+a）（3x-a），令f′（x）=0，解得x=-a或，

当a=0时，f′（x）=3x2≥0，所以函数f（x）在R上递增，无极值；

当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜-a或，令f′（x）＜0，解得，

∴函数f（x）在（-∞，-a），单调递增，在单调递减，

∴函数f（x）的极大值为f（-a）=a3+1，极小值为．17．解析：（1）根据通项求解即可；

（2）令x=0求出a0，令x=1，求出a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，进而得到结果．

（3）对等式两边求导，令x=-1，求解即可．

解：（1）由题意得：．

（2）令x=0，则，

再令x=1，则，

又，

所以a1+a2+a3+a4+a5=729-2-64=663．

（3）两边同时求导得：

，

令x=-1，则．18．解析：（1）根据频率分布直方图各个条形的面积之和等于1，即可解出a的值，再根据中位数的定义即可解决；

（2）用分层抽样分别计算出成绩在[80，90），（90，100]的两组中抽取人数，可以确定ξ取值为0，1，2，再对应的算出概率即可．

解：（1）由题意可知10×（0.012+0.024+0.04+a+0.008）=1，

解得a=0.016．

设中位数为m,则10×0.012+10×0.024+（m-70）×0.04=0.5，

解得m=73.5．即中位数为73.5．

（2）[80，90），（90，100]的两组的频率之比为：0.16：0.08=2：1，

故[80，90）组中抽取4人，（90，100]组中抽取2人，

故ξ取值为0，1，2，

P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，

ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

P

E（ξ）=0×+1×+2×=1．19．答案：详情见解析解析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

问题转化为，令，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，证明结论成立即可．

本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=-a，

①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，

②若a＞0，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，

故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，

综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，

a＞0时，f（x）在（0