第三章 勾股定理（全等轴对称勾股综合以及最值问题压轴）（原卷版）

第三章勾股定理（压轴题专练）一、利用勾股定理证明平方关系1．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，连接．（1）求证：；（2）探究、、的数量关系，并证明；（3）若，求两个三角形重叠部分的面积．2．如图1，在中，，，过点A作交于点D．AIAI(1)填空：______°；(2)求的值；(3)①说法１：如图2，在AB上截取，将线段绕点M顺时针旋转90°得到，连接交于点E，探究之间的数量关系，并证明．②说法2：如图2，若平分交于点E，探究之间的数量关系，并证明．(4)说法3：若平分交于点E，探究三条线段之间的数量关系，并证明．3．在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．

(1)若，求的度数；(2)求证：；(3)求证：．4．如图，在中，，点是的中点，点在上，，，垂足分别为，连接．

(1)求证：；(2)求证：是等腰直角三角形；(3)试判断线段之间有何数量关系？直接写出你的结论．二、全等等腰勾股综合5．如图，在中，，，于点D，，E为边上一点（不与A，C重合），连接，作，垂足为F，交于点G，连接．分别记，，为，，．

(1)求的长．(2)当时，求的周长．(3)当时，求的长．6．如图，在四边形中，，，，且，则长为．

7．如图，在中，，，为边上一动点，且不与点、点重合，连接并延长，在延长线上取一点，使，连接．过点A作于点，的延长线与的延长线交于点H，已知，，则．

8．如图，在中，，，点D为延长线上一点，延长至点B，使，连接、．过点F作的垂线，过点G作的垂线交于点C，交于点H，两条垂线相交于点A，连接、、．下列结论中正确的是．（请填写序号）①；②当时，；③；④；⑤若，，，则．

三、用勾股定理构造图形解决问题9．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．【知识运用】如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．【知识迁移】借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．10．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析：（1）【提出问题】已知，求的最小值（2）【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．【解决问题】

①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段__________线段__________；②在（1）的条件下，已知，求的最小值；（3）【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值．11．已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为．四、最值问题12．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（

）

A． B． C． D．13．如图，在中，，，，点是内的一点，连接，，，满足，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．8 D．1314．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少cm？15．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是．16．如图，在中，，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是．17．如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是cm．18．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂