第十四章 整式的乘法与因式分解（压轴题专练）（原卷版）

第十四章整式的乘法与因式分解（压轴题专练）目录TOC\o"1-3"\h\u【类型一已知多项式乘积不含某项求字母的值】 1【类型二多项式乘多项式与图形面积】 2【类型三多项式乘法中的规律性问题】 5【类型四利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】 8【类型五平方差公式在几何图形中的应用】 13【类型六完全平方公式在几何图形中的应用】 19【类型七十字相乘法因式分解】 25【类型八分组分解法因式分解】 31【类型一已知多项式乘积不含某项求字母的值】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）若去括号后不含的一次项，则的值为．【变式训练】1．（2023春·江西萍乡·七年级统考期末）若代数式的结果中不含字母x的一次项，则a的值是．2．（2023春·浙江·七年级期末）已知的展开式中不含项和项，那么，．【类型二多项式乘多项式与图形面积】例题：（2023春·安徽六安·七年级统考期末）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图①的面积来表示．(1)请写出图②所表示的代数恒等式．(2)请画图，用平面几何图形的面积来表示代数恒等式．【变式训练】1．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，某体育训练基地有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简）

(1)求长方形游泳池的面积；(2)求休息区的面积；(3)休息区比游泳池的面积大多少平方米？2．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．

(1)求该长方形空地的面积；（用代数式表示）(2)求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）(3)当，时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【类型三多项式乘法中的规律性问题】例题：（2023春·江西新余·八年级统考期末）观察下列各式．…请根据你发现的规律完成下列各题：(1)根据规律可得______；（其中为正整数）(2)计算：．（结果保留幂的形式）(3)计算：．（结果保留幂的形式）【变式训练】1．（2023春·安徽六安·七年级统考期末）观察下列各式：；；；；(1)根据上面各式的规律可得：________．(2)根据上面各式的规律可得：________．(3)若，求的值．2．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）（1）计算观察下列各式填空：第1个：___________；第2个：___________；第3个：___________；这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．（2）猜想：若n为大于1的正整数，则___________．（3）利用（2）的猜想结论计算：___________．（4）扩展与应用：___________．【类型四利用完全平方配方求多项式最小/大值问题】例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读材料：数学课上，老师在求代数式的最小值时，利用公式：，对式子作如下变形：，因为，所以，当时，，因此有最小值，即的最小值为．通过阅读，解下列问题：(1)代数式的最小值为___________，此时的值为___________(2)试比较代数式与的大小，并说明理由．【变式训练】1．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式的最小值．解：原式．，．当时，的最小值是．(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．(2)代数式的最大值为______．2．（2023春·浙江·七年级统考期末）在学习了乘法公式“”的应用后，王老师提出问题：求代数式的最小值．同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，当时，的值最小，最小值为1．∴的最小值是1，请你根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式的最小值；(2)求代数式的最小值；(3)若，求的最小值．3．（2023春·广东茂名·七年级统考期末）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因为不论a取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值．根据上述材料，解答下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________；(2)将变形为的形式，并求出的最小值；(3)若代数式，试求N的最大值．【类型五平方差公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·广东揭阳·七年级统考期中）长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）

(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）A．B．C．(2)应用你从（）选出的等式，完成下面习题：①已知，，求的值；②计算【变式训练】1．（2023秋·河北邢台·八年级校联考期末）乘法公式的探究及应用．

【探究】（1）将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式_________；【应用】（2）运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：①若，，求的值；②计算：．【拓展】（3）计算：．2．（2023春·广东河源·七年级统考期末）如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．

(1)请你表示出图①中阴影部分的面积_________________________；请你表示出图②中阴影部分的面积_________________________；(2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：_________________________；(3)请应用公式计算：．3．（2023春·山东潍坊·七年级校联考阶段练习）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形．

(1)通过计算两个图形的面积阴影部分的面积，可以验证的等式是______；请选择正确的一个A.B.C.D.(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知，，求的值．②计算：【类型六完全平方公式在几何图形中的应用】例题：（2023春·浙江绍兴·七年级校联考期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为________________．(2)运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，，试求的值．(3)如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【变式训练】1．（2022秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长是；(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：；方法2：；(3)观察图②，请写出代数式，，之间的等量关系：．(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值；2．（2023春·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．(1)图2中的阴影部分正方形的边长是（用含a，b的代数式表示）；(2)观察图1，图2，能验证的等式是：（请选择正确的一个）；A．B．C．(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连结．若，求的面积．3．（2023春·山东烟台·六年级统考期中）如图1是长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？___________．(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．【类型七十字相乘法因式分解】例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或；第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：

第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数：①的系数为；②的系数为；③的系数为；④的系数为．显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．问题：(1)分解因式：；①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善横线上的数字；

②分解因式：________．【变式训练】1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解，基本式子为：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘积相加等于，得到，这就是十字相乘法．利用上述方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）．第一步：二次项；第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；

第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项．即．像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：(1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________；(2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值．4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．(1)；(2)；(3)．5．（2023春·七年级单元测试）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：；．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：；．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子分解因式．这个式子的二次项系数是，常数项，一次项系数，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：．利用这种方法，将下列多项式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【类型八分组分解法因式分解】例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解．例题：用拆项补项法分解因式．解：添加两项．原式请你结合自己的思考和理解完成下列各题：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【变式训练】1．（2023春·广东深圳·八年级统考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多项式无法直接使用上述方法分解，如，我们可以把它先分组再分解：，这种方法叫做分组分解法．请解决下列问题：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状，并说明理由，2．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：．②拆项法：例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分组分解法）；②（拆项法）；(2)已知：a、b、c为的三条边，，求的周长．3．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．4．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）

（2）【问题探究】：某数学“探究学习”小组对以上因式分解题目进行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲发现该多项式前两项有公因式，后两项有公因式，分别把它们提出来，剩下的是相同因式，可以继续用提公因式法分解．解：另：乙发现该多项式的第二项和第四项含有