第四章 实数（规律探索和无理数计算扩展）（原卷版）

第四章实数规律探索典例1如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则与表示的两个数的积是（）A． B． C． D．1跟踪训练1观察下列各式：①；②；③．根据上面三个等式，猜想的结果为（

）A． B． C． D．典例2“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（为非负数），则；．则下列选项正确的有（

）个①若是的小数部分，则的值为；②若（其中为有理数），则；③，则④A．4 B．3 C．2 D．1跟踪训练2有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第101个数是．无理数整数部分的有关计算典例3先阅读下面的解答过程，然后再解答：要对形如的式子化简，只要找到两个数、，使，，即，，那么便有．（1）用上述方法化简：=（2）若的整数部分为，小数部分为，则=跟踪训练3阅读与思考阅读下面的文字，并完成相应的任务．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以减去它的整数部分就可以得到小数部分，于是我们需要先对这个数进行估值．因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．任务：已知a是的整数部分，b是的小数部分．(1)求a，b的值．(2)求的算术平方根．典例4阅读下面的文字，解答问题．大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．(1)求出的整数部分和小数部分．(2)若其中是整数．且，请求出的相反数．(3)已知的小数部分是，的小数部分是，求的值．跟踪训练4我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题：(1)的小数部分是________，的小数部分是________．(2)若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根．(3)若，其中x是整数，且，求的值．1．观察分析下列按某一规律排列的数据：0，，，3，，……，那么第10个数据应该是．2．观察：，即；，即；猜想：3．小言做数学题时，发现；；；…；按此规律，若（，为正整数），则.4．观察下列等式：①；②；③．(1)猜想：根据观察所发现的规律，猜想第4个等式为______，第9个等式为______．(2)归纳证明：由以上观察探究，归纳猜想，用含的式子表示第个等式所反映的规律为______．5．阅读下列解题过程并解答问题：；；…(1)填空：______，_______．(2)利用上面隐含的规律计算：．6．已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值．7．数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：（1）的小数部分是