变量在数学建模和数学实验中的应用

page1德州学院数学科学学院数学建模暑期培训教案数学建模主讲人：高秀莲第1页数学建模实例先看一个发生在我国实例，年全国人口普查，挨家挨户实查一年多（约5亿人年），查出是12.66亿人，若用微分方程，一个大学生只花5分钟（5人分），算出是13.45亿人。二者结果相差不多（实查和预测相差8000万人，占6.4%），但效率有天壤之别，前者又费时又慢（约5亿人年），后者又省又快（5人分）。这是什么道理呢？page2可见，数学能够作为预测或验证现实一个又省又快方法。第2页惯用建模方法page31.概率统计建模：数据统计描述、方差分析（单原因、多原因）、回归分析（线性、非线性、多元线性、逐步回归）、聚类分析等。2.优化问题建模：非线性、多目标、动态规划、图论。3.当代优化算法：蚁群算法、贪心算法、神经网络、遗传算法。4.数学试验MATLAB、LINGO。第3页参赛队应具备能力page4基本知识：

高等数学+线性代数，概率论与数理统计，数学规划（线性规划、整数规划、0-1规划、多目标规划、图论、排队论等）、数值计算方法、常微分方程等；能力要求：

建模能力，编程或试验能力，论文写作能力，团结协作能力、文件检索与阅读能力等（选读优异论文，掌握论文写作方法，提升写作技能）。第4页热点建模问题房价问题网瘾问题,网购问题高等教育问题金融危机问题钓鱼岛、南海战争博弈问题环境污染控制问题（雾霾问题、地下水、重金属等）食品安全问题城镇化问题、计划生育问题、老龄化问题、交通堵塞问题大数据问题第5页历年本科组赛题列表年度AB1992作物生长施肥效果问题;化学试验室试验数据分解问题1993通讯中非线性交调频率设计问题足球甲级联赛排名问题1994山区修建公路设计造价问题锁具制造、销售和装箱问题1995飞机安全飞行管理调度问题天车与冶炼炉作业调度问题1996最优打鱼策略问题节水洗衣机程序设计问题1997零件参数优化设计问题

金刚石截断切割问题1998投资收益和风险问题灾情巡视路线问题1999自动化机床控制管理问题地质堪探钻井布局问题DNA序列分类问题钢管订购和运输问题三维血管重建问题公交车优化调度问题汽车车灯优化设计问题彩票中数学问题SARS传输问题露天矿生产车辆安排问题第6页年度AB奥运会暂时超市网点设计问题电力市场输电阻塞管理问题长江水质评价与预测问题DVD在线租赁问题出版社资源管理问题艾滋病疗法评价及预测问题中国人口增加预测问题“乘公交，看奥运”问题;数码相机定位问题高等教育学费标准探讨问题制动器试验台控制方法问题眼科病床合理安排问题储油罐变位识别与罐容表标定问题上海世博会影响力定量评定问题城市表层土壤重金属污染分析问题交巡警服务平台设置与调度问题葡萄酒评价问题太阳能小屋设计问题车道被占用对城市道路通行能力影响碎纸拼接历年本科组赛题列表第7页命题特点建模方法高度综合现实性和导向性：问题和数据大多起源于工程、科技、生活、管理等科研、工程实际问题，问题处理有一定现实意义和科研导向。规模性：大规模变量或海量数据必须借助数学软件数据结构复杂性：

数据属性结构复杂性缺失或异常数据问题数据真实性不是全部数据都有用，怎样筛选本身就是数学建模第8页赛题中包括到数学方法空间与解析理论、线性代数、微积分概率与统计--方差、回归、时间序列、相关分析、聚类或判别分析运筹学或数学规划线性、整数、0-1、非线性、多目标规划图论与网络优化多原因综合评价数值计算方法数值微分，数值积分，插值与拟合等差分与微分方程等机理分析建模方法排队论、对策论、决议论其它：含糊数学、随机规划与决议、随机模拟、灰色系统理论、优化算法（神经网络、遗传算法、蚁群算法等）第9页※看上去简单、易了解题目，普通并不轻易取得奖项；

※看上去不好了解题目，反而有可能取得好奖项；

※尽早确定，防止犹豫不决，浪费时间取胜关键：静下心来，仔细阅读，经过查阅文件和相关资料，把问题想明白，并用数学语言严谨第表示清楚。

※国家一等奖名额分配平均分散到各题怎样选题第10页

１耐心、

细心题目

——注意仔细阅读题目，找出并标注相关关键词或关键句子，仔细体会可能引导建模方向与问题目标一切词汇

※阅读题目通常会伴随竞赛全过程

２确定目标要求——找出全部与建模目标相关相关原因，理清各原因之间关联关系或机理联络，确定建模目标基本结构和建模方法

３分清建模基本要求、难点或关键点

经过查阅文件和阅读相关图书或专业资料，寻求问题难点和关键点处理策略或方法＿创新亮点题意了解第11页

先宏观、再微观，先主体，后细节；分清主次，逐次进行。先主要原因，后次要原因

不停选择、不停论证、不停完善

关键点、难点处理：逐步清楚化亮点

现实与理想之间平衡，简单与复杂之间博弈：模型解应符合现实要求，即含有可行性，最理想解不一定含有可操作性；模型并不一定越复杂越好，但过于简化有可能失真，复杂程度高低应视问题需要。

数学结构

——在不停论证中，建模思绪逐步展开和完善建模方向把握——渐次清楚过程第12页重视节奏与效率：

1确立分时段进展目标，合理分工

2提倡讨论，但要提升讨论有效率，防止无意义争论；

3以成效论优劣

论文写作

1论文写作应视为竞赛中间过程，防止等一切做完后再着手写作

2论文写作自始至终应由一个队员执笔，防止多人执笔出现混乱现象建模方向把握——渐次清楚过程第13页端正态度竞争意识，追求卓越，锲而不舍

态度是实力发挥确保

平和心态，冷静思索应防止问题：投机意识和学术不端参赛一次，受益终生创新把每个细节处理到极致，就是创新。创新表达在建模各个步骤中建模方向把握——渐次清楚过程第14页建模论文评价2025/4/111、假设合理性关键假设,并对假设合理性进行解释,文中引用。2、建模创造性勉励创新,但要切实,不要离题搞标新立异。3、结果正确性普通是没有标准答案，但要自圆其说，好模型结果普通比很好,但不一定最好。4、表述清楚性表述清楚、结构严谨、逻辑性强。撰写论文是让他人阅读，前后表述应该是一个逻辑论证过程，即是一个讲理过程。要让人知其理，明其理。第15页怎样撰写一篇高质量竞赛论文2025/4/111、摘要写作：摘要是整篇文章高度浓缩和精华，是整篇论文重中之重。在摘要中应表示：针对每个问题作了何种分析，基于分析做出了哪些关键假设，采取了何种建模方法，怎样对模型参数进行识别（方法），建立了什么模型；主要结果是什么；有什么特色和创新点，以及其它工作。注意摘要中尽可能不要出现公式、图形或表格，文字精练，表示准确。第16页2025/4/112、论文写作：要求层次分明，重点突出论文是全部工作完整表达，力争将你们工作和创造性结果或新研究结果都充分地反应出来要求内容充实、论据充分、论证有力、主题明确、格式规范、层次分明，经过大小标题分为若于个逻辑段落，让评委各取所需，一目了然。不要给评委留下更多疑问和猜测。实事求是，不要过分夸大。怎样撰写一篇高质量竞赛论文第17页关于论文写作评价规范性数学表示严谨性和完整性前后自圆其说培养结果检验意识：误差分析、稳定性分析、灵敏度检验、假设检验等第18页竞赛论文评阅中常见问题数学建模是一个严谨分析、论证、检验和应用过程，建模论文前后应自圆其说。问题分析不透彻，不论条件与详细问题差异，直接引用或套用建模方法，缺乏必要分析、观察、论证或假设检验过程。整篇论文没有明确数学模型，只是依据赛题数据，利用软件计算，“凑”出结果，结果正确是否不论证；罗列一系列假设或模型，既不作合理性和正确性分析和评价，又不做模型优选和正确性评价，希望碰上“参考答案”或“评阅思绪”第19页建模方法不可信：吃透题意方面不足，没有抓住和处理主要问题；就事论事，形成数学模型意识和能力欠缺；对所用方法一知半解，不论详细条件，套用现成方法，造成错误；对结果分析不够，怎样符合实际考虑不周；撰写论文时间过于仓促，造成论文过于简单，该交代内容被省略；竞赛论文评阅中常见问题第20页写作方面问题(摘要、简明、优缺点、参考文件);无参考文件，或罗列一批参考文件，但在论文正文中无引用公式、符号、图形、表格不规范现象突出，主要表达在键盘公式、图形或表格无标题和编号、计算结果直接屏幕截图队员之间合作精神差，孤军奋战；依赖心理重，甚至违纪（指导教师、网络）竞赛论文评阅中常见问题第21页0-1变量在数学建模和数学试验中应用

page22数学建模在实际问题和数学理论之间架起了桥梁，发挥了巨大作用，而数学模型建立和求解需要试验。许多数学模型是抽象，只有经过数学试验才能快速进行数值求解和定量分析，深入地完善和构建数学模型。所谓“数学试验”就是利用计算机系统作为研究工具，以数学理论作为试验原理，以数学素材作为试验对象，以简单对话方式或复杂程序方式作为试验形式，以数值计算、符号演算、几何图形演示作为试验内容，以实例分析、模拟仿真、归纳总结等为主要试验方法，以辅助学数学、辅助用数学或辅助作数学为试验目标，以试验汇报为最终形式上机实践活动。数学素质是数学知识和能力综合表达，数学素质除了包含抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力外，还应包含数学建模能力与数值计算能力，即会“用数学”处理实际问题，会用计算机进行科学计算，而数学试验正是这种能力很好表达和应用。第22页0-1变量在数学建模和数学试验中应用

page23近几年数学建模竞赛题大都来自于工程技术与社会经济生活，每一道题都紧紧围绕当前社会热点，而每年都有这么一类题：给定人力、物力、财力怎样使得效益最大或给定任务，怎样用最少人力、物力、财力去处理它——即属于“运筹学中规划论”部分，更确切地说，属于“规划论中整数规划和混合整数规划”，如年A题：SARS传输、B题：露天矿生产车辆安排；年A题：奥运会暂时超市网点设计、B题：电力市场输电阻塞管理；年A题：长江水质评价和预测、B题：DVD在线租赁；年A题：出版社资源配置；年B题：“乘公车，看奥运”；年B题：眼科病床合理安排问题；年B题：交巡警服务平台设置与调度问题；年B题：太阳能小屋设计问题；年B题：碎纸拼接问题。第23页生产和经营管理中经常提出怎样合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，取得最大效益，这就是规划问题。线性规划通常处理以下两类问题：（1）当任务或目标确定后，怎样统筹兼顾，合理安排，用最少资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定任务或目标（2）在一定资源条件限制下，怎样组织安排生产取得最好经济效益（如产品量最多、利润最大.）（非）线性规划问题数学模型规划问题page24第24页我们碰到实际中整数规划所包括主要问题有：(1)运作问题(OperationalProblems)比如：货物分配、生产调度、机器排序、运输问题等。(2)计划问题(PlanningProblems)比如：资金预算、选址问题、证券组合分析等。(3)设计问题(DesignProblems)比如：通信和交通网络设计、超大规模集成电路设计、自动化生产线设计等。其特点都是对资源进行有效管理，使其发挥尽可能大效益。传统计算整数规划方法有：“割平面法(CuttingPlaneAlgorithm)”和“分支定界法(BranchandBoundMethod)”。不过对于变量比较多整数规划问题或是混合整数规划问题，这些方法就不太实用了。当前比较简单方法就是引入0一l逻辑变量，使得约束条件线性化，光滑化后用LINDO／L1NG0来处理。常规整数规划求解方法page25第25页0—1变量应用page260—1变量也称为逻辑变量(LogicalVariable)，经常表示系统处于某种特定状态，或者决议时是否取定某个特定方案：当系统处于特定状态，或决定取定方案当系统不处于特定状态，或决定不取定方案10yì=íî第26页这类问题经常出现在计划问题中选址问题和证券组合分析中，比如：在A1、A2、A3处建厂至多项选择择两个，则可引入0-1变量，问题化为，其中。0-l变量在含有相互排斥计划问题中应用page27第27页对于这类相互矛盾又必须同时出现在模型中互斥约束，能够经过引入0-1变量及一个很大正数M，化为能够看出当y=0时(1)式起作用，(2)式自然成立；y=1时(2)式起作用，(1)式自然成立。在建立数学模型时候，有时会碰到相互矛盾约束条件，而模型只能是二者选择其一，比如：与是相互矛盾，显然不能同时将他们直接放在模型中，因为这两个矛盾约束案件交集是空集，模型将无解，不过问题却需要同时考虑这对矛盾约束。0-1变量在含有相互排斥约束条件问题中应用page28第28页更普通地page290-1变量在含有相互排斥约束条件问题中应用①若n个约束条件中只有k个起作用，能够经过引入0-1变量及一个很大正数M，化为其中表明个约束条件中有n-k个右端项为，为自然成立不起约束作用，而只有k个约束条件起作用。第29页②约束条件右端项可能是r个值中某一个，page300-1变量在含有相互排斥约束条件问题中应用即则定义则模型可为：第30页我们经常能碰到含有固定费用优化问题，尤其在存放问题中，经常含有固定费用和可变费用两部分。这类含有固定费用问题普通不能用线性规划来表述，不过经过引入0—1变量能够化为混合整数规划。比如用表示产品j生产数量，其生产费用函数通常可表示page310-1变量在含有固定费用函数问题中应用其中是与产量无关生产准备费用。若问题目标是使全部产品总生产费用为最小，即求为了表示费用函数中两个式子，引入0—1变量满足第31页page320-1变量在含有固定费用函数问题中应用现引入一个任意大正数M，则上述约束可表为：则模型可为：第32页page330-1变量在模型中应用及其LINGO求解考虑数学模型满足以下约束条件：(3)下等式最少有一个成立：其中将此问题归结为混合整数规划并求解。第33页page340-1变量在模型中应用及其LINGO求解解：引入0-1变量则模型化为：第34页page35利用LINGO求解model:min=20*y1+5*x1+12*y2+6*x2;x1-1000*y1<0;x2-1000*y2<0;x1+1000*y3>10;x2+1000*(1-y3)>10;2*x1+x2+1000*y4>15;x1+x2+1000*y5>15;x1+2*x2+1000*y6>15;y4+y5+y6<2;x1-x2+0*y7-5*y8+5*y9-10*y10+10*y11=0;y7+y8+y9+y10+y11=1;@bin(y1);@bin(y2);@bin(y3);@bin(y4);@bin(y5);@bin(y6);@bin(y7);@bin(y8);@bin(y9);@bin(y10);@bin(y11);end第35页计算结果Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:70.00000

Extendedsolversteps:0

Totalsolveriterations:14

VariableValueReducedCost

Y11.00000020.00000

X110.000000.000000

Y20.00000012.00000

X20.00000011.00000

Y30.0000000.000000

Y40.0000000.000000

Y51.0000000.000000

Y61.0000000.000000

Y70.0000000.000000

Y80.00000025.00000

Y90.000000-25.00000

Y101.00000050.00000

Y110.000000-50.00000

RowSlackorSurplusDualPrice

170.00000-1.000000

2990.00000.000000

30.0000000.000000