数学竞赛题中客观型试题的求解策略

数学竞赛题中客观型试题的求解策略

我们的未来不是用我们今天的财富去度量的，而是用我们今天的精神生命去度量的。

——高明

赠诸君语

2021/4/14星期三2三个要求1、诗人的意境数学是一首诗，充满想象、智慧、创造、和谐、挑战；数学是一首最高的诗，蕴含着灵感、激情与力量。“一个数学家，如果他不再某种程度上成为一个诗人，则他就永远不可能成为一个完美的数学家。”_______Weiersterass——丰富的想象力和创造力2021/4/14星期三3“数学发明创造的动力不是知识，而是想象力的发挥”。

_____德.摩根

“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，而且是知识进化的源泉”。———爱因斯坦2021/4/14星期三4给我一个支点，我可以撬动地球。——阿基米德想象是人类最美丽的翅膀人类最豪迈的想象——2021/4/14星期三52.创新的精神和意识“创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力，也是一个政党永葆青春的源泉”。________江泽民2021/4/14星期三6伟大的类比（创新）——开普勒案例1圆的面积2021/4/14星期三7案例2命题“等腰三角形两底角相等”的证明常规证明：添加辅助线创新证明：拿破仑“一分为二”2021/4/14星期三83.积极参与教学活动（落脚点）参与课堂教学，师生共做；参与课后活动、资料收集；按时完成任务、积极思考。用2/3的时间去想，用1/3的时间去做。_____斯泰纳“探索是数学的生命线”。_____布鲁纳2021/4/14星期三9中学数学竞赛及高考课辅导2021/4/14星期三10辅导课与学科课的区别从教学目标看，学科课有教学大纲的统一要求，其具体教学目标统一且稳定，要求绝大多学生达标。有较严密的定量化的考核评定制度。而辅导活动课不对学生个体作统一的要求，其具体教学目标有明显的弹性，一般不要求人人都懂，个个都会，只要求积极参与，尽情投入，学到多少算多少。因而，辅导活动课的考核评定不宜像学科课那样严密和定量化，而适宜采用模糊评判的方法。通过学生的自我和相互评价，引导学生关注和认识自己及他人在学习过程中的发展和变化。

2021/4/14星期三11从教学内容看，学科课有较稳定的教学内容，选择的知识主要是学术理性知识，教材有严密的、科学的编排体系。而辅导活动课的教学内容不很要求有严密的知识体系，活动内容是不断更新的，选择的知识主要是现实有用的经验性知识。

2021/4/14星期三12从施教方式看，学科课注重的是学生在教师指导下，以简约的方式学习人类千百年来积累下来的知识精华，并经过反复练习和巩固。它主要采用班级授课制，以课堂教学为主，以教师传授知识为主，教师居于主导地位。而辅导活动课侧重的是学生个体实践，直接体验和感受，它的教学组织形式灵活多样，不受课堂限制。可以是班级的，也可以是小组的，个别的和群众性的；可以在课内，也可以在课外，也可以走向社会。它以学生的独立自主活动为主，教师起辅导作用。

2021/4/14星期三13辅导活动课和学科课有本质上的区别，但又有紧密的联系。这种联系首先是在教学目标上虽各有侧重，但培养目标是一致的，即从不同侧面，运用不同方式使学生在教学活动中得到全面的发展。其次是课程内容相辅相成。例如，数学学科课就为数学活动课提供了必要的数学知识、技能基础和一定的内容来源；反过来，辅导活动课的内容又会受到学科课内容和教学进程的制约。

辅导活动课是在育人功能上相互补充，使学生个性在全面发展的同时，又有特色发展。

因此，学科课程虽然是主要部分，辅导活动课程是辅助部分，但辅导活动课程可以弥补学科课程的诸多不足，具有学科课程不可替代的功能。我们在活动课教学中要注意处理好学科课与活动课两者之间的关系，发挥各自的优势，互相紧密配合，相辅相成，相得益彰。

2021/4/14星期三14题记数学不是音乐，但它能激发或抚慰情怀；数学不是绘画，但它能令人赏心悦目；数学不是诗歌，但它使人动人心弦，沁人心脾；数学不是体育，但它却有很强的竞技性和技巧性。2021/4/14星期三15数学竞赛中客观型试题的求解策略解题策略:

1、莫道猜字不禁风，合理预测建奇功无中生有计无穷，合情猜测理相容2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传

2021/4/14星期三163、代数问题几何攻，数形结合两相通

4、强攻无计弱开路，转换视觉目标注

5、特殊探路把门敲，化繁为简层次高

6、结构类型变换多，辅元引入唱赞歌

7、概念问题不一般，关键环节定义牵

2021/4/14星期三17策略一合理预测法；依据题目中的信息特征，通过对试题条件及结论的深刻分析，先进行初步预测结果，再逐步验证，是解决问题的常用思路。

信息特征：数量特征、结构特征、关系特征、图形特征、命题特征。

1、莫道猜字不禁风，合理预测建奇功

无中生有计无穷，合情猜测理相容2021/4/14星期三18哲学依据《道德经》之《道经》第一章天地之始

道可道，非常道。名可名，非常名。

无，名天地之始也。有，名万物之母。故常无，欲以观其妙。常有，欲以观其徼。此两者同出而异名，同谓之玄，玄之又玄，众妙之门。2021/4/14星期三19

反者，道之动。弱者，道之用。天下万物生于有，有生于无。《道德经》之《道经》第四十章虚中生有译文：发展是道之运动的内在动力，坚守柔弱是道的运动法则的具体运用。天下万物是从有中产生，有又从无中产生。2021/4/14星期三20

无中生有是指依据题目的信息特征，通过对试题条件、结论的深刻分析，先预测其结论具有某种特殊性，再根据研究对象的特征，逐步论证，逐步调整。“无”与“有”是相互矛盾而又相互依存的，“有”蕴涵在“无”中，“无”可以创造出“有”。“无”孕育着不见踪影又无法寻觅，从整体到分散，再由分散聚为整体，包含一切变化。

无中生有——合情预测2021/4/14星期三21无中生有中的“无”指的是“虚”、“假”，有指的是真和实。“无”是迷惑解题的假象，“有”则是假象掩盖下的真实企图。无中生有就是虚虚实实，虚实互变，变假为真，变无为有，掌握解题的主动权。关键在于真假要有变化，虚实必须结合，一假到底，难以解题。2021/4/14星期三22

合理预测法具有探索性、归纳性、仿造性、审美性、类比性、构造性等特点。2021/4/14星期三232021/4/14星期三24评注牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。

合理的思维策略是解题成功的前提，根据研究对象的特征，创造性做出“言之有理”的预测结果，然后再进行“持之有据”的论证。在探索解法的过程中发现了矛盾，就及时修正预测的结果，逐步找出正确的解法。正所谓“无中生有计无穷，合情预测理相容”。2021/4/14星期三25李白诗《黄鹤楼送孟浩然之广陵》“孤帆远影碧空尽”——朋友的身影渐渐消失在远方，而心中的情谊随着长江水滚滚流淌。帆影尽而情未尽，言有尽而意无穷。

故人西辞黄鹤楼，烟花三月下扬州。孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流。2021/4/14星期三26诗词与数学意境2021/4/14星期三272021/4/14星期三282021/4/14星期三29向晚意不适，驱车登古原夕阳无限好，只是近黄昏。——这是对景物的描绘。风急天高猿啸哀，渚清沙白鸟飞回。

无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。——这是对心境的的无限感慨2021/4/14星期三30策略二极端原理法；通过最大、最小、最远最近等特殊数量或位置的考察，从而发现问题的解题思路（特殊引路，探求一般证题规律）2、有穷无穷紧相连，静点美名天下传

1、以退为进——投石问路

2、动静结合——破除定势3、李代桃僵——以小换大2021/4/14星期三31观察、分析事物不能采用静止、孤立的思考方法，而应从变化、发展、运动的观点来剖析和判断。正确处理运动和静止的辨证关系，巧妙地将动静有机结合，破除思维定势，将问题的本质展现出来，起到化难为易，快速解题的效果。动静结合——破除定势

2021/4/14星期三32所谓以退为进就是把一个比较复杂的问题，“退”到最简单、最原始的状态，找出规律，把简单情形作为考察问题的起点，使问题的解决产生一个质的飞跃，使问题进一步深化。从“退”中逐渐创造出“进”的解题条件，以实现“进”的目的。

以退为进——投石问路

2021/4/14星期三33李代桃僵，以小换大李代桃僵，以小换大——在解题非常困难的情况下，用小的代价，换取大的胜利的策略或谋略。其精要是隐微曲折，以退为进；要点是趋利避害“两利相权取其重，两害相衡取其轻”，以很小的精力，不为小利影响，要从全局的优劣形势分析对比，争取主动优势。2021/4/14星期三34

以退为进——投石问路

2021/4/14星期三35动静结合——破除定势

2021/4/14星期三36

以退为进——投石问路

2021/4/14星期三372021/4/14星期三382021/4/14星期三392021/4/14星期三402021/4/14星期三41评注数学家华罗庚曾经指出：善于“退”，足够地“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方是学好数学的一个诀窍。“退”是将问题由陌生、复杂转化为熟悉、简单的过程，“退”是手段，“进”是目的，“退”为“进”服务，创造解题起点。2021/4/14星期三42王维诗《至使塞上》萧关逢侯骑，都护在燕然。单车欲问边，属国过居延。征蓬出汉塞，归雁入胡天。大漠孤烟直，长河落日圆。2021/4/14星期三43大漠孤烟直2021/4/14星期三44长河落日圆2021/4/14星期三45诗词中包含了数学的美。“大漠”是一张平面，“孤烟直”是直线的形象，“大漠孤烟直”恰当地反映了直线与平面垂直的美，“长河落日圆”正是直线与圆位置关系的生动画面。

大漠孤烟直，长河落日圆2021/4/14星期三46

策略三合理构造法；通过观察给定条件或结论的结构特征，构造解题模型，是竞赛解题的常用手段，通常合理构造可使问题巧妙解决。

合理构造法分成两种类型：

1、模型性构造：构造函数、方程、图形、数列、不等式、复数等模型；

2、技巧性构造：构造对偶式、“抽屉”、算法。

3、代数问题几何攻，数形结合两相通

2021/4/14星期三471、构造图形（几何）模型（数形结合思想）

华罗庚先生对数形结合的论述：

数与形本是相依，焉能分作两边飞。

数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，割裂分家万事休。

数形结合是极富特点的信息转换，由代数信息向图形信息转换。2021/4/14星期三48借尸还魂，东山再起借刀杀人，弥己不足2021/4/14星期三49借尸还魂，东山再起——（以形助数，数上构形）”借尸”的目的在于“还魂”，“借”包含着积极的主动性。寻找可借之“尸”，创造可以借的机会，变被动为主动，从而取胜的目的。借尸还魂，东山再起2021/4/14星期三50借刀杀人，弥己不足“借刀杀人，弥己不足”——此计是根据《周易》六十四卦中《损》“损下益上，其通上行”而得，“损”和“益”，不可截然分开，二者相辅相成，充满辩证思想。“借刀杀人”的内容包括：“借形”、“借数”、“借模式”、“借模型”等方面。“借刀杀人”，巧在一个“借”字，巧妙利用它物，借它法解决问题。2021/4/14星期三512021/4/14星期三522021/4/14星期三532021/4/14星期三54评注数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合的思想方法是极富创造的信息转化，对数学思维的启发，对思维的集散，简化证明，起到启美的作用。2021/4/14星期三552、构造方程模型2021/4/14星期三562021/4/14星期三573、构造函数2021/4/14星期三582021/4/14星期三592021/4/14星期三602021/4/14星期三61

诗词欣赏

王维诗《山居秋暝》

空山新雨后，天气晚来秋。

明月松间照，清泉石上流。

竹喧归浣女，莲动下渔舟。随意春芳歌，王孙自可留。2021/4/14星期三62对称思想还表现在日常生活中，如阴阳、男女、奇偶和正负。

太极阴阳图2021/4/14星期三63武学：攻防进攻中有防守，防守中有进攻心理学：眼睛长在别人心里（心理战）武道：阴阳此长彼消中庸之道阳：热情刚毅正直友谊爱情太阳勇敢阴：寒冷阴柔怯懦孤独悲伤月亮2021/4/14星期三64教学结合，师生共做以柔克刚，刚柔相济数学：道数学：教学军事学：声东击西以静制动，动中窥静2021/4/14星期三65结构对称数学观念：合作交流英国大文豪萧伯纳曾说：“如果你有一个苹果，我也有一个苹果，我们交换的话，我们都只有一个苹果；如果你有一种思想，我也有一种思想，我们交换的话，我们都有两种思想。”数学思想：轮换对称2021/4/14星期三662021/4/14星期三673、构造对偶式2021/4/14星期三682021/4/14星期三69打草惊蛇，诱敌暴露——“草”与“蛇”是两个性质不同却相互联系的两个事物。“草”暴露于外，“蛇”藏于“草”中。“草”可以迅速向“蛇”传递信息。发现隐藏规律的一种谋略，应事先研究、分析、预测，即尝试——观察——归纳——猜想——证明。先谋后事，要求事先认真做好仔细的研究、分析，谋划好策略，在策略谋定之后，果断实施，在实施中不断完善。抛砖引玉，利而诱之——“砖”是诱饵2021/4/14星期三704、构造递推式抛砖引玉，利而诱之打草惊蛇，诱敌暴露2021/4/14星期三712021/4/14星期三722021/4/14星期三735、构造复数法2021/4/14星期三746、构造数列2021/4/14星期三757、构造抽屉2021/4/14星期三762021/4/14星期三772021/4/14星期三78横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。《题西林壁》2021/4/14星期三79策略四变换视角；在解题过程中，当思维受到阻碍时，不妨转换到另一个角度、方法、层面来思考问题。

4、强攻无计弱开路，转换视觉目标注

以“迂”为“直”——变换视觉

明修栈道，暗渡陈仓反客为主，循序渐进2021/4/14星期三80《道德经》第五十七章以正治国

以正治国，以奇用兵，以无事取天下。哲学依据2021/4/14星期三81《孙子兵法》之《势篇》：“凡战者，以正合，以奇胜。故善出奇者，无穷如天地，不竭如江河。终而复始，日月是也；死而复生，四时是也。声不过五，五声之变，不可胜听也；色不过五，五色之变，不可胜观也；味不过五，五声之变，不可胜尝也。战势不过奇正，奇正之变，不可胜穷也。2021/4/14星期三82以“迂”为“直”——变换视觉在解题过程中，当正常的解题思维受到阻碍时，不妨从不同的角度和不同的途径去寻找不同的解法，变换视觉，以“迂”为“直”正难则反，将问题变成可直接解答的，收到出奇制胜的效果，增加知识的纵横面和深广度，又可挖掘知识的内在联系，达到扩大视野和锻炼思维的作用。2021/4/14星期三83反客为主，是处于被主导地位的客，夺取主导地位，代替原来的主，并把原来的主放在客的位置上。反客为主最重要的是能掌握关键性的因素，以积极取代消极，化被动为主动，将复杂、繁琐的运算简单化，进而得到问题求解的目的和效果。反客为主，循序渐进2021/4/14星期三84明修栈道，暗渡陈仓明修栈道，暗渡陈仓——采取正面佯攻，利用固守之机采取行动，乘虚而入，避开正面交锋，转化问题。以明掩暗，明暗相生。2021/4/14星期三852021/4/14星期三862021/4/14星期三872021/4/14星期三88评注“奇出于正，无正不能出奇”，正是常法，奇是变法，奇效出于常规。注重信息的转化，变换思维方向，多角度思考问题，进行独创性地组合，优化解题技巧，展现辨证思维的底蕴和数学智慧的魅力。2021/4/14星期三89

策略五取特殊值法；通过取特殊值可以排除某些选项，简化推理及运算过程，利用一个恰当的特殊值可以取到事半功倍的效果。

对于一些数学问题，我们往往也可以用此思想，从特殊的情况出发,取特殊值探讨出问题的结论,推广到任意情况下，从而达到训练思维的目的。5、特殊探路把门敲，化繁为简层次高

2021/4/14星期三90特殊化的形式1、变数字母数值化；2、一般图形“正”规化；3、特殊数值代入化（特殊数值、端点值、极限值）。2021/4/14星期三91在数学教学中，重视和灵活使用特殊化策略，对培养思维的主体性、独创性、批判性、变通性等创新思维品质，大有裨益。

2021/4/14星期三922021/4/14星期三932021/4/14星期三942021/4/14星期三952021/4/14星期三962021/4/14星期三972021/4/14星期三982021/4/14星期三99策略六巧设辅助元（换元法）；根据题目条件与结论的结构和内在特征，恰当地引进辅助元素，往往可以化繁为简，化难为易。6、结构类型变换多，辅元引入唱赞歌