千校联盟2025届高考模拟冲刺卷（提优卷）（二）数学试题理试题

千校联盟2025届高考模拟冲刺卷（提优卷）（二）数学试题理试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数，则（）A． B． C． D．202．若函数有且只有4个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（）A． B． C． D．4．已知i为虚数单位，则（）A． B． C． D．5．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数，则()A．， B．，C．， D．，6．已知为实数集，，，则（）A． B． C． D．7．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（）A． B． C． D．8．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知函数则函数的图象的对称轴方程为（）A． B．C． D．10．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln211．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=()A．132 B．299 C．68 D．9912．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________.14．已知，在方向上的投影为，则与的夹角为_________.15．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________.16．在边长为2的正三角形中，，则的取值范围为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中,有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点处时,下一步可行进到、、、这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为．（1）分别求、、的值；（2）求的表达式．18．（12分）已知，.（1）当时，证明：；（2）设直线是函数在点处的切线，若直线也与相切，求正整数的值.19．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．20．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）使得，求实数的取值范围.21．（12分）已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．22．（10分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

化简得到，再计算模长得到答案.【详解】，故.故选：.【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力.2、B【解析】

由是偶函数，则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解：显然是偶函数所以只需时，有且只有2个零点即可令，则令，递减，且递增，且时，有且只有2个零点，只需故选：B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.3、D【解析】

由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程.【详解】由题可得，所以，又，所以，得，，所以椭圆的方程为.故选：D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.4、A【解析】

根据复数乘除运算法则，即可求解.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题.5、C【解析】

根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】表示取出的为一个白球，所以.表示取出一个黑球，，所以.表示取出两个球，其中一黑一白，，表示取出两个球为黑球，，表示取出两个球为白球，，所以.所以，.故选：C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.6、C【解析】

求出集合，，，由此能求出．【详解】为实数集，，，或，．故选：．【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、B【解析】

根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出.【详解】为上的奇函数，，而函数是上的偶函数，，，故为周期函数，且周期为故选：B【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.8、C【解析】

模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p＝1，S＝1，输出S的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．9、C【解析】

，将看成一个整体，结合的对称性即可得到答案.【详解】由已知，，令，得.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数的性质，是一道容易题.10、B【解析】

将u=lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解：将u=lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：，即，当时，取到最大值2，因为在上单调递增，则取到最大值.故选：B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.11、B【解析】

由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求.【详解】对任意的，均有为定值，，故，是以3为周期的数列，故，.故选：.【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.12、C【解析】

根据题目中的基底定义求解.【详解】因为，，，，，，所以能作为集合的基底，故选：C【点睛】本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．【详解】解：双曲线的右准线，渐近线，双曲线的右准线与渐近线的交点，交点在抛物线上，可得：，解得．故答案为．【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．14、【解析】

由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小．【详解】在方向上的投影为，即夹角为.故答案为：．【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．15、【解析】试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件为“取出球的编号互不相同”，则事件包含了个基本事件，所以.考点：1.计数原理；1．古典概型.16、【解析】

建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，故可得，且，由此构造函数，，利用二次函数的性质即可求得取值范围．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设，，，，根据，即，，，则，，即，，，则，，所以，，，，，，且，故，设，，易知二次函数的对称轴为，故函数在，上的最大值为，最小值为，故的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）,,,（2）【解析】

（1）根据机器人的进行规律可确定、、的值；（2）首先根据机器人行进规则知机器人沿轴行进步,必须沿轴负方向行进相同的步数,而余下的每一步行进方向都有两个选择(向上或向下),由此结合组合知识确定机器人的每一种走法关于的表达式,并得到的表达式,然后结合二项式定理及展开式的通项公式进行求解.【详解】解：（1）,,（2）设为沿轴正方向走的步数（每一步长度为1）,则反方向也需要走步才能回到轴上,所以,1,2,……,,（其中为不超过的最大整数）总共走步,首先任选步沿轴正方向走,再在剩下的步中选步沿轴负方向走,最后剩下的每一步都有两种选择（向上或向下）,即等价于求中含项的系数,为其中含项的系数为故．【点睛】本题考查组合数、二项式定理,考查学生的逻辑推理能力,推理论证能力以及分类讨论的思想.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）令，求导，可知单调递增，且，，因而在上存在零点，在此取得最小值，再证最小值大于零即可.（2）根据题意得到在点处的切线的方程①，再设直线与相切于点，有，即，再求得在点处的切线直线的方程为②由①②可得，即，根据，转化为，，令，转化为要使得在上存在零点，则只需，求解.【详解】（1）证明：设，则，单调递增，且，，因而在上存在零点，且在上单调递减，在上单调递增，从而的最小值为.所以，即.（2），故，故切线的方程为①设直线与相切于点，注意到，从而切线斜率为，因此，而，从而直线的方程也为②由①②可知，故，由为正整数可知，，所以，，令，则，当时，为单调递增函数，且，从而在上无零点；当时，要使得在上存在零点，则只需，，因为为单调递增函数，，所以；因为为单调递增函数，且，因此；因为为整数，且，所以.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.19、(1);(2).【解析】试题分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．进而得到角A；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到，联立两式得到．解析：（I）因为，所以，由正弦定理，得．又因为，，所以．又因为，所以．（II）由，得，由余弦定理，得，即，因为，解得.因为，所以.20、（1）；（2）或.【解析】

（1）分段讨论得出函数的解析式，再分范围解不等式，可得解集；（2）先求出函数的最小值，再建立关于的不等式，可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以当时，；当时，无解；当时，；综上，不等式的解集为；（2），又，或.【点睛】本题考查分段函数，绝对值不等式的解法，以及关于函数的存在和任意的问题，属于中档题.21、（1）；（2）【解析】

（1）根据递推公式，用配凑法构造等比数列，求其通项公式，进而求出的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和.