2025高考数学冲刺复习：立体几何与空间向量（试卷+答案解析）

专题11立体几何与空间向量

目录

题型一：立体几何初步

易错点01对斜二测法规则掌握不牢出错

易错点02线面位置关系考虑不全面出错

易错点03对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻

题型二空间向量及其应用

易错点04忽略建系的条件而出错

易错点05忽略异面直线所成角的范围出错

易错点06混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角

题型一：立体几何初步

易错点01：对斜二测法规则掌握不牢出错

能易错陷阱与避错攻略

典例（2024•山西太原高三模拟）如图，AHO'B'是用斜二测画法得到的△NO8的直观图，其中

O'A'=2,O'B'=3,则AB的长度为.

【答案】2M

【解析】把直观图V4OB还原为如图所示:

根据直观图画法规则知，OA=O'A'=2,OB=20®=2x3=6,

所以48的长度为AB=^0灰+OB。={4+36=2屈.

故答案为：2回.

【易错剖析】

直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与X轴平行（重合）的线段长度不变，与〉轴平

行（重合）的线段长度直观图是原图的一半.

【避错攻略】

1.空间几何体的直观图的概念

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.

直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系

的图形.

2.水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）

（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的x轴和〉轴，两轴相交于点O,画直观图时作出与之对应的£

轴和V轴，两轴相交于点O',且使Nx'0/=45°（或135°）

（2）画线：已知图形中平行于或在x轴，J轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在£轴，V轴

上的线段.

（3）取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变.在〉轴上或平行于歹轴

的线段，长度为原来长度的一半.

（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.

方法归纳：设一个平面多边形的面积为S原图，利用斜二测画法得到的直观图的面积为S直观图，则有

3.空间几何体的直观图的绘制方法

（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的x轴和J7轴，两轴相交于点O,画直观图时，把它们分别画成对应

的x'轴与V轴，两轴交于点。'，且使Nx'O》'=45°”（或135°）,它们确定的平面表示水平面；

（2）画底面.已知图形中，平行于x轴歹轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于£轴、V轴或，轴

的线段；

（3）画侧棱.已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于J轴的线段，长度

变为原来的一半；

（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.

2

简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.

4.斜二测画法保留了原图形中的三个性质

①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍

然相交；③平行于x,z轴的长度不变.

易错提醒：斜二测画法要注意：①建立坐标系；②“位置规则”一与坐标轴的平行的线段平行关系不变；

③“长度规则”一图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来

的一半.

举一反三

1.（2025高三•全国•专题练习）已知梯形/BCD是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图43'C'D'（如

图所示），其中4。=2,B'C'=4,A'B'=1,则直角梯形边DC的长度是（）

【答案】B

【分析】由直观图作出直角梯形的平面图形，然后斜二测画法规则结合已知的数据可求得结果.

【详解】由直观图作出直角梯形/3CD的平面图形，如图.

按照斜二测画法规则，由HO'=20C'=4,4"=1,

得直角梯形/BCD中，AB1BC,AD=A'D'=2,BC=B'C=4,AB=2A'B'=2.

过。作。交BC于E,

贝1］。£=28=2,£。=8。-/。=4一2=2,

所以直角梯形边。C的长度为2行，

故选：B.

2.（24-25高三上•浙江•期中）水平放置的V/2C的直观图如图，其中3'。=O'C'=2,A'O'=6那么原

3

VNBC是一个（）

B.等边三角形

C.三边中只有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形

【答案】B

【分析】由图形和百通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BCnB'C',AOLBC,且

AO=2y/3,故三角形为等比三角形.

【详解】由图形知，在原V4BC中，AOLBC,因为百，则4。=26,

因为3'O'=O'C'=2,则3c=4,所以4B=/C=4,即原VNBC是一个等边三角形;

故选：B

3.（24-25高三上•重庆•阶段练习）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形

©BCD,其中AB'//C'D',A'B'lB'C',A'B'=4,O'C'=2.以原四边形ABCD的边AD为轴旋转一周得到的几

口5672

A.14近万+8万B-----71

3

80n112后

C.U------兀

T3

【答案】D

【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再根据相关特征计算几何体体积即

可.

【详解】解：由题意，ArBf//CD\ArBr1BrC\ArBf=4,DfC=2.

所以AD=242，

4

如图，原图形ABCD中，4B//CD,ABLAD,AB=4,DC=2,AD=2AD=AT2,

所以直角梯形ABCD的边AD为轴旋转一周得到的几何体为圆台，

2222

V=j（ri+r2+rtr2）h=^（2+4+2x4）x4^"=吟,

故选：D.

易错题通关

1.（23-24高三下•山西运城・期末）如图所示，正方形HB'C'O'的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形

的直观图，则原图形的周长为（）

A.6cmB.8cmC.（1+收）cmD.2（1+若卜m

【答案】B

【分析】由斜二测画法画出圆图可得答案.

【详解】由斜二测画法规则知，正方形/'B'C'。的原实际图形是平行四边形/3CO,

如图，其中。1=0⑷=1,05=20®=26，

因止匕有AB=yJo^+OB2=3，

所以原图形的周长为2（6U+N8）=8（cm）.

故选：B.

5

2.(24-25高三上•黑龙江哈尔滨•期中)如图，四边形OWC'B'表示水平放置的四边形0/C8根据斜二测画法

得到的直观图，O'A=2,B'C'=4,OP=®,O'A'UB'C,则/C=()

【答案】B

【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解.

【详解】解：还原四边形。4CB,如图所示：

依题意可得：OA1OB,OA//BCQ4=2,BC=4QB=2O.

取2C的中点。，连接4D,

贝且CD=4-2=2,

故/C=府+(2回2=2若.

故选：B.

3.(24-25高三・安徽池州•期中)一水平放置的平面四边形。48c的直观图O'/'B'C'如图所示，其中

O'A=O'C=1,O'CUO轴,轴,B'C'"轴,则四边形04BC的面积为()

6

【答案】B

【分析】结合图形可得4夕=2,则可得四边形OWB'C'面积，后可得四边形Q43C的面积.

【详解】设了轴与/®交点为。，因O'CUx'轴,轴,则O'C"/H3',

又轴，则四边形ODBC为平行四边形,故=O'C=1.

又Nx，oy=45°,结合轴，则D4'=O'A'=1,故/®=2.

13

则四边形OWB'C'面积为sx(l+2)xl=5，

因四边形O'/'B'C'面积是四边形OABC的面积的"倍，

4

则四边形OABC的面积为3VL

故选：B

4.(23・24高三上•河北邢台・期中)如图，△HB'C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若/C'=2cm,

【答案】D

7

【分析】根据题意，由三角形面积公式求出8'。'的长，结合斜二测画法可得原图中8。的长.

【详解】画出平面直角坐标系xOy,在x轴上取=即c/=C'/，

在图①中，过"作2万在轴，交/轴于加，在x轴上取00=00',

过点。作加轴，并使DB=2£>’2’，

连接则V48c即为A/'8'C'原来的图形，如图②所示:

图①图②图③

原图形中，3。，4。于点。，

则为原图形中/C边上的高，且BD=2BD,

在直观图③中作B'EU/'C'于点则A/3'C'的△a面z>c积B'E2

在直角三角形8'E'D'中，B'D'=42B'E'=—,

2

所以BD=2B'D'=戈,

故原图形中/C边上的高为卡.

故选：D.

5.（2025高三・专题测试）已知梯形N3CO按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形48'C'O',且H夕=1,

O'A'=2,O'C'=4,现将梯形43CO绕。4槌转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（）

C.25兀D.28K

【答案】C

【分析】将梯形HB'C'。'复原为原图即直角梯形48CO,确定相关的边长，结合题意以及圆台的侧面积公

式，即可求得答案.

8

【详解】由题意将梯形HB'C'。'复原为原图，即直角梯形N3CO,

其中N8=1,O/=4,OC=4,则8C=J(4_l)2+42=5，

故将梯形ABCO统0A槌转一周得到一个几何体为圆台，

圆台上底面半径为1,下底面半径为4,高为4,母线长为5,

故该几何体的侧面积为兀（1+4）x5=2571,

故选：C

6.（2025高三•全国•专题练习）（多选）如图，AHB'C'是水平放置的V/BC的直观图，4B'=2,/C'=B'C'=#,

则在原平面图形VABC中，有（）

B.AB=2

C.AC=2y[5D.Sc=4收

【答案】BD

【分析】首先算出O'C'长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误.

【详解】如图所示,在直观图A43'C'中,过C作于。外

又ZC'O'D'=45°,O'D'=2,O'A'=1,0'C'=272,

所以利用斜二测画法将直观图9。还原为原平面图形V/2C,如图:

9

那么有OC=40,04=1,=2,故选项B正确；

又因为AC=yJOA2+OC2=底,BC=-JOB2+OC2=而，故选项A、C错误；

而其狈=；xA8x℃=gx2x4贬=4后,故选项D正确.

故选：BD.

7.（24-25高三上•广东湛江•阶段练习）（多选）已知水平放置的正方形的边长为2c，利用斜二测画法绘制

该正方形在水平平面内的直观图四边形/BCD,则（）

A.N4B。的最小值小于15。B.230C的最大值小于90°

C.|/C|的最小值大于2D.忸。|的最大值大于4

【答案】AD

【分析】根据题意，由斜二测画法的性质，画出直观图，然后对选项逐一判断，即可得到结果

【详解】

对于AB选项，考虑正方形的一条边与/轴重合，由斜二测画法的性质,

另一条边与了轴重合，如图所示，

由于对称性与旋转可换性，图中ZACB与/BDC均等价为所求角.

而由斜二测图性质，AB=CD=®BC=AD=2^./ACB+NCAB=q=45,,

11.

过A作的垂线，则tan44cB=—j=—<-----产=tanl5°

2V2+12+占

即//C5<15。，故/ZAD的最小值小于15。，故A正确;

10

2l

过。作8C的垂线，易有。2=45。，5.tanA=^~=2y/2-1>1=tan45°,

31

故4>45。，则/8。。>90。,/8。。的最大值大于90。，故B错误；

对于CD选项，设图形绕C点逆时针旋转々，贝！］CA=（^4cosa+V2sin（z,V2sina）,

即=，(4cose+A^sina)+(^/Ssintz)=J10+2A/T7sin(2a+p),

其中tanp=¥^,则最小值为，10-25<2,

最大值为J10+2J万>4,故C错误，D正确.

故选：AD.

8.（24-25高三上•江西•阶段练习）已知V/2C在斜二测画法下的直观图（其中/与H对应，3与夕对应）为

下图所示的A/'B'C',其中。W=O®=1,O'C=—，贝!JV/3C的面积为；以该V/3C为底面的三

2

棱锥尸-48C中，△尸四△C43,PC=3,则三棱锥尸-48C的外接球半径为.

【分析】根据斜二测画法得到V/8C中48=2,对应的高为百，求出V/2C面积，并得到V/3C为等边三

角形，并作出辅助线，得到三棱锥外接球的球心，由余弦定理得到/尸尸。=120。，并求出外接球的半径

R=OC=--

3

【详解】由斜二测画法原理可知VZBC中，AB=2,45边上的高/I=2OC=G，

所以=

由勾股定理得AC=BC=Vl2+A2=2，故VABC为等边三角形,

由NAB咨ACAB得APAB是边长为2的等边三角形.

设D,£分别为AP48,VN8C的外心，NB的中点为凡

连接尸尸，CF,过点。，E分别作平面尸平面。5的垂线,

11

设两垂线交于点O,则点。为该三棱锥外接球的球心,

连接。C,OF,则OC为外接球的半径,

依题意。尸=尸尸=6，且CF_L/B,PFAB,

PFhCF?-CP?3+3-9]_

由余弦定理得cos/PFC=

2PFCF2x也义52

所以NPFC=120。，由£为△C4B的外心,

所以CE=2CF=2,EF=-CF=—,

3333

因为OO_L尸尸，OE1CF,DF=EF,

所以△O£＞尸部△OE厂,

所以ZOFD=ZOFE=60°,所以OE=EFtan60°=l,

V21

所以OC=

亍

即外接球的半径R=OC=H

3

故答案为：6,早

易错点02：线面位置关系考虑不全面出错

能易错陷阱与避错攻略

典例（2024•甘肃兰州校考模拟预测）设办〃是两条不同的直线，见，是两个不同的平面，则下列说法正确

的是（）

A.若加_L%〃〃a,则加JLa

B.若冽〃⑸，_La,则加J_a

C.若加则加_La

12

D.若加_L",〃a,则加_La

【答案】D

【解析】当加_L〃，〃〃a时，可能有加_La,但也有可能加〃tz或m(=。，故A选项错误;

当小〃/?,£_La时，可能有加_La,但也有可能加〃a或刈ua,故选项B错误；

在如图所示的正方体48CD-48cA中，

取，"为Be，"为aq,6为平面JSCD,。为平面这时满足加B，a,但加_La不

成立，故选项C错误；

当机_1_尸，〃J_a时，必有a///?,从而加_La,故选项D正确；

故选：D.

【易错剖析】

本题求解时容易因为考虑不全面而出错.

【避错攻略】

1、平面的基本性质

(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

【解读】①此公理是判定直线在平面内的依据；②此公理是判定点在面内的方法

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面).

【解读】①此公理是确定一个平面的依据；②此公理是判定若干点共面的依据.

推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.

【解读】①此推论是判定若干条直线共面的依据；

②此推论是判定若干平面重合的依据；

③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

【解读】①此公理是判定两个平面相交的依据；

13

②此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）；

③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.

2、空间中两直线的位置关系

（1）空间中两直线的位置关系

共面直线、「平行二

■林目交

异面直线：丕同在任何二±£<&

【解读】①两条异面直线不能确定一个平面.

②不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.

易错提醒：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,

主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形（梯形）

中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决,

确定位置关系时要考虑到所有可能，一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断;

二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。

举一反三

1.（24-25高三上•重庆・阶段练习）已知直线〃/平面二,点尸ea,那么过点?且平行于直线/的直线（）

A.有且只有1条，且在平面a内B.有且只有1条，不在平面a内

C.有无数条，不都在平面a内D.有无数条，都在平面a内

【答案】A

【分析】根据线面平行的性质可得存在性，根据平行的传递性可得唯一性，故可得正确的选项.

【详解】由题设P拓/,故存在唯一平面。，是的Pe/Vu/7,

设=因为〃/平面a,buB,故〃/b,而6ua,

故存在一条直线b与/平行，若还有另一条直线c〃/,则6〃c,

而矛盾，故有且只有1条，且在平面a内，

故A正确，

故选：A.

2.（24-25高二上•上海•阶段练习）下列命题中正确的是（）

A.两个平面可以有且仅有一个公共点B.三条相互平行的直线必在同一个平面内

C.两两相交的三条直线一定共面D.过不在一直线上的三点有且仅有一个平面

14

【答案】D

【分析】以正方体为载体，结合空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解.

【详解】在A中，两个平面有一个公共点时，这两个平面交于一条直线，故A错误；

在B中，在正方体NBC。-44GA中，AB、DC、4g三条直线互相平行，但不共面,

故三条互相平行的直线可以在不同的平面内，故B错误；

在C中，在正方体48CD-44GA中，两两相交的三条直线/8、40、/4不共面,

故两两相交的三条直线不一定共面，故C错误;

在D中，过不在一直线上的三点有且仅有一个平面，定理正确，故D正确.

3.（23-24高三上•山东荷泽•阶段练习）在三棱锥D-4BC中，点E,F,G,X分别在AB,BC,CD,DA

上，鱼EFIIGH,则下列说法中正确的是（）

A.直线Mr与FG一定平行B.直线即与尸G一定相交

C.直线E"与尸G可能异面D.直线与尸G一定共面

【答案】D

【分析】根据两条平行线确定一个平面，即可求解.

【详解】由于EF//G//,所以E,F,G,X四点确定一个平面即G8,因此直线昉r与尸G一定共面，故D

正确，C错误；

15

D

只有当即〃GH,EF=G〃时，此时四边形EFGH为平行四边形，此时EH7/GF,故A不正确;

只有当EH7/Gb但跖WG"时，此时四边形EFG/Z为梯形，此时E/AGF相交于一点，故B不正确.

故选：D.

易错题通关

1.（2024•陕西铜川•模拟预测）下列说法正确的是（）

A.若直线/,加,"两两相交，则直线/,掰,"共面

B.若直线/,加与平面0所成的角相等，则直线/,加互相平行

C.若平面a上有三个不共线的点到平面£的距离相等，则平面a与平面户平行

D.若不共面的4个点到平面a的距离相等，则这样的平面a有且只有7个

16

【答案】D

【分析】根据题意，结合空间中直线与平面位置关系的判定和性质，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，当直线交于同一点时，则直线/,掰〃可能不共面，所以A错误；

对于B中，当直线/,加倾斜方向不同时，直线/，加与平面。所成的角也可能相等，所以B错误；

对于C中，当这3个点不在平面£的同侧时，平面a与平面"相交，所以C错误；

对于D中，根据题意，显然这4个点不可能在平面a的同侧，

当这4个点在平面a两侧1,3分布时，这样的平面e有4个，

当这4个点在平面a两侧2,2分布时，这样的平面£有3个，

所以这样的平面口有且只有7个，所以D正确.

故选：D.

2.（2024•宁夏银川•三模）45是两个不同的点，a,〃为两个不同的平面，下列推理错误的是（）

A.n

C.=

D.AwlJuanAwa

【答案】c

【分析】A、B可由书上的公理可直接判断；C可由/与a相交时，交点为N点的情况进行判断；D可直接

根据线面位置关系来判断点面位置关系.

【详解】A,直线上两个不同点在某个平面内，则直线在该平面内，故正确；

B,两个不同点同时在两个不同平面内，则两点所在直线为两平面的交线，故正确；

C,a有两种情况，/与0相交或〃/a,其中/与a相交，且交点为N点，则C错误；

D,直线在面内，则直线上的点都在面内，故结论正确；

故选：C.

3.（2024・四川南充•三模）如图，在直三棱柱NBC-44cl中，AC1BC,AC=BC=A^,E、F、G、H

分别为/B、BB、、Cq、NC的中点，则下列说法中错误的是（）

17

A.A.C1GH

B.E、F、G、〃四点共面

C.设8C=2,则平面EFG截该三棱柱所得截面的周长为1+Q+2&

D.EF、GH、44三线共点

【答案】C

【分析】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A,根据两直线平行确定平面判断B,作出截面四边形，根据

截面边长的大小判断C,利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D.

【详解】如图，

连接“G，4C，由%G分别为C4CJ中点，可得HG〃/。，

由/C=8C=/4可知，侧面可。。为菱形，

所以所以4C，G〃，故A正确；

连接〃E,G尸，因为£、F、G、H分别为、BB、、CQ、NC的中点，

所以HE//BC,GFHBC,所以GFHHE,所以E、F、G、X四点共面，故B正确;

延长在交//的延长线于尸点，连接尸£,交ZC于。点，连接0E,QF,

设FE;FG确定平面为a,则尸,£ea,所以PGua,所以C©,0£ua,

则易知三棱柱的截面四边形为用。。，在RLC£尸中，=，

18

在RtZkAE户中，£尸=，（0『+]2=6，而中，QE>EH=1,

而C0>G〃=J12+2?=石,所以截面的周长大于1+G+26,故C错误；

由B知，GFHHE旦HE手GF,所以梯形的两腰所、G8所在直线必相交于一点P,

因为Pe平面A.ABB,,Pe平面A.ACC,,

又平面平面4/CC|=E，所以尸'e//，所以尸'与P重合，

即斯、GH、三线共点于尸，故D正确.

故选：C

4.（23-24高三上•上海静安•阶段练习）在空间中，下列命题是真命题的是（）

A.经过三个点有且只有一个平面

B.垂直同一直线的两条直线平行

C.如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等

D.若两个平面平行，则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面

【答案】D

【分析】借助长方体以及平行六面体，举例即可判断B、C；根据面面平行的定义，即可判断D项.

【详解】对于A项，若三点共线，则经过三个点的平面有无数个，故A项错误；

图1

对于B项，如图1,长方体48co-44GA中，有48_LW41,ADIA^,但是AB_LAD,故B项错误;

图2

19

对于C项，如图2,平行六面体/BCD-446〃中，AD//AR,4B//CQ],但是/84D与//QG不相

等，故C项错误；

对于D项，若两个平面平行，根据面面平行的定义可知，其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面,

故D项正确.

故选：D.

5.（2025高三・全国・专题练习）在正方体-44GA中，下列选项错误的是（）

A./4与2c异面B.耳4G

C.平面NCR//平面&BGD.42,平面4DC

【答案】D

【分析】根据异面直线的性质即可求解A,根据线面垂直的性质可判断B,根据线线平行可证明线面平行判

断D,根据面面平行的判定求解C.

【详解】由于/8"/DG,而与DG相交，结合正方体的性质易知/4与QC异面，所以A正确；

因为。2，平面44G2,4Gu平面44GA，所以。A，4G,

又在正方体中易知BR14G，B°nD0=2,

BQ、,DXDu平面BXDDX,所以4Q1平面B]DD{,

又用。u平面片。口，所以所以B正确；

因为4C"//C,/Cu平面/CO-4G/平面力CDi，所以4£//平面/CDI,

又BC]IAD\,/Qu平面/CD1,8£/平面47小，所以8£〃平面/。乌，

因为4qC3G=G，4。，BQU平面/田6，

所以平面NC。"/平面4台。，所以C正确；

因为A[B//DXC,DXCu平面DtBtC,AXB仁平面DXBXC,

所以43//平面所以D错误.故选D.

故选：D

20

6.（24・25高三上•天津•阶段练习）m,〃为空间两条不重合直线，a为空间平面，下列命题正确的是（）

A.mLa,nVm,则〃//a

B.m,〃与。所成角均为30。，则加〃〃

C.mlla,nlla,mHn,则直线加，〃到a的距离相等

D.mlla,〃//a,则加，几可以是异面直线

【答案】D

【分析】根据直线、平面的位置关系、等角定理，结合图形，通过举反例进行判断.

【详解】对于A,mLa,〃_L加，则有可能〃ua,A错误；

对于B,m,〃与。所成角均为30。，则内〃可能相交或平行或异面，B错误；

对于C,mlla,n!la,mHn,直线加，〃到。的距离可以不相等，C选项错误;

----------------m

----------------n

对于D,mlla,nlla,则冽，〃可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，D选项正确.

故选：D.

易错点03：对垂直的性质定理'判定定理理解不透彻

易错陷阱与避错攻略

典例（2025高三上•专题训练）已知四棱锥的底面4BCD为菱形，其中

ZBCD=120°,SA=SB=2AB=—SC,*H4SB±,若平面"3_L平面CZW,则黑=______

3BS

21

2

【答案】j/0.4

【详解】设平面CD"与直线S4交于点G,连接。G,〃G,取N5中点连接的,CM,SM与GH交于

点E,连接CE,

因为CD///8,平面X48,48u平面&<8,所以CD//平面248,

又平面Cl平面C£>//=〃G,CDu平面CZ汨，所以CD//HG,从而CD〃〃G〃ZB,

又菱形/BCD中，ZBCD=120°,所以“BC是等边三角形，则0/工/5,

而&4=5B,所以SN_L48,

又SMcCM=M,SN,CMu平面SCM,所以481平面SCM,

而CEu平面SCM,所以CE14B,从而CE_L〃G,

因为平面“3_L平面CD"，平面”8。平面CD〃=HG,CEu平面CDH,所以CE_L平面”8,又因为

5Mu平面&1B,所以CE_LSM,

设AB=1,则由已知得S4=SB=2,SC=—

2

CM=—,SM=yjs^-AM2=—,

22

6315

—H-----------

444

△SCM中,cosZSCM=,从而NSCA/=135。,sinZ.SCM=----

2义里必2

22

C-SC-CMsinZSCM—x—x—

CE=SCM_2=222

-SM-SMg

222

EM=y]CM2-CE2=—)

5

V15

由川BHME/2

所以——=——=-^=-.

BSMS4155

~T

2

故答案为：—.

22

【易错剖析】

在利用面面垂直的性质定理的过程中，往往以为两个面内的任意两条直线都垂直而出错。

【避错攻略】

空间中的垂直关系

(1)线线垂直

①等腰三角形(等边三角形)的三线合一证线线垂直

②勾股定理的逆定理证线线垂直

③菱形、正方形的对角线互相垂直

(2)线面垂直的判定定理

判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直

图形语言符号语言

1La

l-Lb

,/_La

A7a[']b=A

a,bua

(3)线面垂直的性质定理

性质定理1:一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线

图形语言符号语言

Z。/1.La]

}n/_La

auoj

性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行

图形语言符号语言

23

aba.La

allb

zdn7b.La]

（4）面面垂直的判定定理

判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直

（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）

图形语言符号语言

/P

a_La]

/卜=>a_L,

au队

（5）面面垂直的性质定理

性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于

另一个平面

图形语言符号语言

aVp

A

不aC0=CD

I'/ABLCD产

二7ABuaJ

易错提醒：线面垂直的判定定理使用时一定要注意直线与平面内两相交直线垂直；面面垂直的性质定理要

注意一个平面内直线和两个平面的交线垂直，才能推出直线与平面垂直.

・举一反三

1.（24-25高三上•天津河西•期末）设私〃是两条不同的直线，。，夕是两个不同的平面，则下列说法中正确

的是（）

A.若机//。,加///?,则夕//6

24

B.±a,ml.n,贝！J〃_La

C.若a_!_/?,，”_La,则m//6

D.若加_La,加//。，则a_LQ

【答案】D

【分析】根据各项给定的线面、面面的位置关系，结合平面的的基本性质及空间想象判断正误即可.

【详解】A：若加//%〃？//月，则a、尸可能平行或相交，故A错；

B：若加J_a,加_L〃，贝U〃//a或"ua,故B错；

C：若a_L/?,〃?_La,则机//6或机u£,故C错；

D：若m1a,mmlIB,则存在直线〃u£,使得小//〃，

又所以〃_Ltz,所以a_L〃.故D对.

故选：D

2.（24-25高三上•河南•阶段练习）已知在三棱锥P-48C中，平面PNC,平面48C,BC=2^，PA=3,

ZPAC=9Q°,/A4c=120。，则三棱锥尸-48c的体积的最大值为（）

A.66B.476C.276D.2#）

【答案】D

【分析】由面面垂直的性质得到P/工平面N3C,利用余弦定理及基本不等式求出A48,从而求出AA4c的

面积最大值，最后根据/-sc计算可得；

【详解】解：因为/尸/C=90。，即尸/_LNC,又平面P4C_L平面Z8C,

平面尸ZCC1平面/8C=ZC,R4u平面尸/C,所以P/_L平面48C,

在AB4c中BC=2而,NBNC=120。，由余弦定理/一2比cos/3/C，

BP24=b2+c2+bc,所以〃+°2=24_6cZ2bc,所以6cW8,当且仅当6=c=2应时取等号；

所以S^cuLbcsin/B/Cu由bcVZA/L即AB/C的面积最大值为26;

所以VP-ABC=；9-S.<|X3X2V3=2V3,即三棱锥P-ABC的体积的最大值为28;

故选：D

3.（24・25高三上•湖南怀化•期中）如图，是圆的直径，PZ垂直于圆所在的平面，。是圆上一