2025年高考数学二轮复习重难点专项突破：抽象函数的赋值计算与模型总结（解析版）

重难点专题1-2抽象函数的赋值计算与模型总结

近5年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

(1)熟悉常见函数的抽象

赋值法判断抽象函数的奇偶性，

2023年新高考1卷，第11题表达式

周期性

(2)用赋值法判断抽象函

数性质

2022年新高考2卷，第8题

模块一热点题型解读(目录)

【题型1］抽象函数的赋值计算求值【题型9】指数型函数的抽象表达式

【题型2］抽象函数的奇偶性【题型10］赛函数的抽象表达式

【题型3】抽象函数的单调性【题型11］正弦函数的抽象表达式

【题型4】抽象函数的最值与值域【题型12］余弦函数的抽象表达式

【题型5］抽象函数的对称性【题型13］正切函数的抽象表达式

【题型6】抽象函数的周期性【题型14］二次函数的抽象表达式

【题型7】一次函数的抽象表达式【题型15］其它函数的抽象表达式

【题型8】对数型函数的抽象表达式

模块二核心题型•举一反三(讲与练)

【题型1］抽象函数的赋值计算求值

核心•送15

赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种：

1、……-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解

2024-长沙市第一中适应性训练

1.已知定义域为R的函数〃力，满足/(x+y)=/(x)/(y)-/(2-x)/(2-y),且〃0)片0,

/(-2)=0,则〃2)=.

【答案】0

【详解】由〃x+y)=〃x)/(y)―/(2—x)/(2—y),

令X=y=1,则”2)=[/⑴了-[/(1)J=0

2.(2024•福建龙岩•一模)已知函数〃力的定义域为R,且〃x+y)+/(x-y)-/(x)/(y)=0,

八一1)=1，贝U/(O)=

【答案】2

【详解】令x=y=0,得2/(0)—/(0)=0得/(0)=0或"))=2,

当/(0)=0时，令y=0得/U)=0不合题意，故/(0)=2

【巩固练习1】定义在R上的函数/(x)满足/'(x+y)=/'(x)+/(y)+2孙(x,yCR),/(1)=2,则

/⑶=，八-3)=.

【详解】火1+1)=加)+加)+2=6,42+1)=<2)+穴1)+4=12

易知内)尸0,X-l+l>A-l)+Xl)-2®A-l)=0®A-2)=2X-l)+2=2iX-3)=A-2)+A-l)+4=6

【巩固练习2】已知对所有的非负整数x,y(xNy)均有

〃x+y)+〃x-y)-x+y-l=；[〃2x)+〃2y)],若/(1)=3,则〃5)=.

【答案】31

【解析】令x=y=o,则”0)+〃0)-0+0-i=g[〃0)+〃0)],可得"0)=1,

当y=0时〃2x)="a)—2x—3,令x=⑵=7,令x=2n〃4)=21,

令x=2,y=l,则〃3)+〃1)-2=g[〃4)+〃2)],可得"3)=13,

所以〃6)=4〃3)-6-3=43,

令x=3,>=2,则“5)+/⑴一2=；[〃6)+〃4)],可得"5)=31

【巩固练习3](2024-安徽合肥•一模)已知函数/(%)的定义域为(0,+“)，且

(x+y)f(x+y)=xyf(x)f(y),f(l)=e,记a=了］；)。=〃2),c=43),贝ij()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a

【答案】A

【分析】根据函数/(X)满足的表达式以及/'⑴=e,利用赋值法即可计算出a,》,c的大小.

【详解】由(x+y)/(x+y)=^(x)/(y)，Hl)=e可得,

令x=y=g,代入可得/⑴=

即a=/

2

令x=y=l,代入可得2/(2)=产(l)=e2,即匕=/⑵=/,

23

令x=l,y=2,代入可得3〃3)=2/⑴〃2)=2exq=e3,?pc=/(3)=y;

l23

由ey2.71828…可得±2&<—e<一e，

23

显然可得a<b<c.

【题型2】抽象函数的奇偶性

核心•技巧/

证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到/(-x)与/(%)的关系

2024•福建莆田•二模

3.已知定义在R上的函数满足：/(x+y)=/(x)+/(y)—3刈(x+y),证明：y=/(x)是奇函

数

【详解】F(x)定义域为R,关于原点对称；

对原式，令％=>=0,可得/(0)=2/(0),解得"0)=0：

对原式，令尸T,可得/(())=/⑺+〃_力，即/(x)+〃r)=o,

故y=/(x)是奇函数

2024•长沙市第一中适应性训练

4.4知定义域为R的函数“X),满足/(x+y)=/(x)/(y)-/(2-x)/(2-y),且“0)/0,

/(-2)=0,证明：是偶函数

【详解】令>=2,贝"〃x+2)=〃x)/(2)—广。一耳/^六一/0一句①，

知函数/(X)关于点(2,0)成中心对称，

令X=y=2,则/(4)=卜⑵了一[/(0)]2=-1,

令y=4,则〃x+4)=〃x)/(4)-(-2)=—〃x)②，

由①可得：y(x+4)=—/(—x)③，由①②可知：/(-X)=/(%),

且函数『(X)的定义域为R,则函数/(X)是偶函数

【巩固练习1】(多选)定义在R上的函数“X)满足：对任意的MyeR"(丈+y)=〃x)+〃y),则

下列结论一定正确的有()

A./(O)=OB./(x-y)=/(x)-/(_y)

C.为R上的增函数D./(X)为奇函数

【答案】ABD

【思路点拨】对于A：令x=y=O,结合题意运算求解；对于D:令)=-%,根据题意结合奇函数

的定义分析判断；对于B:根据奇函数的定义分析判断；对于C:举反例分析判断.

【详解】因为对任意的wR,〃x+y)=/(x)+/(y),

对于选项A：令x=y=O,则”O)=/(O)+/(O),解得"0)=0,故A正确；

对于选项C:令尸一%,则/(O)=/(x)+〃-x)=。，可得=

且/"(x)的定义域为R,所以/'(X)为奇函数，故D正确；

对于选项B：因为/(%)为奇函数，

所以f(x)—/(y)=/(x)+(—y)=/(x—y),故B正确;

对于选项C：例如〃x)=o满足题意，但/(X)为常函数，不具有单调性，故C错误；

故选：ABD

【巩固练习2】(多选)已知定义在R上的函数/(》)满足

/(xy)=/(x)/(y)-/(x)-/(y)+2,/(O)<2,/(O)^/(l),且〃x)>0,则()

A./(0)=1B."-1)=2

C./(-x)=2/(x)D.〃—x)=/(x)

【答案】ABD

【思路点拨】由已知，利用赋值法计算判断得解.

【详解】定义在R上的函数了⑺满足〃冲)=〃切〃，)一〃》)一〃>)+2,

令x=y=0,得/(O)=[/(O)f_2/(O)+2,而/■(0)<2,则/(O)=l,A正确；

令龙=丁=1,得/。)=[/(1)]2_2/(1)+2,而/(O)x/(l),则/(1)=2,令x=y=-l,

得/(l)="(—l)F-2/(-l)+2,即[/(-1)]2=2/(-1),而〃x)>0,即/(一1)>0,贝可〃-1)=2,B

正确；

令V=T,得〃r)=/(―1)/(x)-/(-l)-/(x)+2,

即有〃f)=2〃x)—2—〃x)+2,因此/(T)=/(X),C错误，D正确.

【巩固练习3](2024・全国・模拟预测)(多选)已知函数/'(X)的定义域为R,满足

f^)f(y)-f(x)=xy-y,则()

A."0)=1B.=1

C./(x+1)为偶函数D./(x+1)为奇函数

【答案】AD

【分析】令y=。，f(x)=。或/(o)=i,分类讨论可求/(0)=1,判断A；令x=0,可得〃y)=i—y,

进而可求了(—l),判断B：由B可得/(x+l)=—X,可判断CD；

【详解】对于A：令y=o,得/(x)/(o)-〃x)=o,即〃x)(〃O)T=O,所以/⑺=0或〃0)=1.

当f(x)=。时，不恒成立，故/(。)=1,故A正确.

对于B：令x=o,得/(0)/(y)-/(0)=-y,又“0)=1,所以〃y)=i-y,

故/(-1)=1+1=2,故B错误.

对于C、D：由B选项可知/(x)=l—x,则/(x+l)=-x,所以/(x+1)为奇函数，故C错误，D正

确.

【巩固练习4】(2024届韶关市一模)已知/(x)是定义在R上且不恒为零的函数，对于任意实数。力

满足〃曲)=4仅)+"(。)，若〃e)=e,贝!!()

A.—B.—C.1—D.1H—

eeee

【答案】A

【分析】对。,方取特殊值0,1,-l,e」代入已知表达式，结合奇偶性即可求解.

e

【详解】当。=6=0时，/(0)=0,

当a=6=l时，/(1)=2/⑴,可得/⑴=0,

贝厅(0)=〃1)=。，

当口=6=_[时，f(l)=-2/(-1)=0,则/(一1)=0,

函数〃尤)的定义域为R,

令a=-l/=x时，f(-1xx)=(-1)/(x)+V(-1),

所以得〃-尤)=-/(力，所以函数是奇函数，

令a=e，£"(l)=W4卜r(e)=0得《卜一,

【题型3】抽象函数的单调性

/核心•技巧/

判断抽象函数单调性的方法：

(1)凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论；

(2)赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.

①若给出的是“和型”抽象函数/(X+、)=•••,判断符号时要变形为：

/(%)一/(乙)=/((%—占)+M)一/(%)或/(&)—/(%)=/(%)一/((%—％)+%);

②若给出的是“积型”抽象函数/(盯)=…，判断符号时要变形为：

(、c、

/(^2)-/(^l)=/一/(%)或/(9)—/(%)=/(%)一/尤2,土■

IX?)

5.函数/⑴的定义域为(。,+8),对于Vx,ye(O,—),/3)=/(x)+/(y),且当X>1时,f(x)<0,

证明：/(x)为减函数.

【详解】⑴设”e(0,+CO),且占＜刀2,则手＞1，/申＜。，

因为/⑸T⑷=八"标/区)=/?＜°，所以/⑷＜小)，即"X)为减函数

6.已知函数/(X)是定义在R上的函数.对任意”,beR,总有〃a+6)=〃“)+〃b),/(-1)=|,

且x＜o时，y(x)＞o恒成立.

⑴求了⑵

(2)判断的奇偶性并证明

(3)证明〃力在(0,+。)上单调递减

【答案】(1)/(2)=-1,(2)奇函数;(3)在(0,+8)上单调递减

【详解】(1)由对任意。,6eR,总有〃a+b)=〃a)+/0),

令折6=0,贝|〃。+0)=〃。)+/(。)，贝汁"0)=0,

72

又由可得

贝，J/⑵=/(1+1)=/(1)+f(l)=[+,1)=q,故选项A判断正确;

(2)令<2=无力=_无，则—=/(%)+/(-X),

则有/(x)+/(—尤)=/(0)=0,故〃一元)=—/(*),则“X)是奇函数

(3)设任意外，%«0,口)，不<%,

则/(五)-/(々)=/(再)+/(-电)=/(%-电),

又占一无2<。，则/(不一々)>。，则/(占)>，(*2),

则“X)在(0,+8)上单调递减.

【巩固练习I】(多选)定义在(YO,0)U(0,+⑹上的函数/⑺，对于任意的x，y都有

/(xy)=/(%)+/(y)-l;且/'⑵=3；当了>1时，〃x)>l；则下列结论正确的是()

A./(1)=1B./(x)是奇函数

C./(X)在(0,+00)上单调递增D./0-1)>7的解集为{3》<-7或工>9}

【答案】ACD

【思路点拨】对于A：利用赋值法求出了⑴=1;

对于B：借助于赋值法，利用奇偶性的定义直接证明；

对于C：利用单调性的定义进行证明；

对于D：利用赋值法求出48)=7,把/Xx—l)幻化为/(x-l)>/(8),即可解得.

【详解】对于A：对于任意的％〉都有/3)=/(x)+/(y)-1,令尤=y=l,则有=+

所以/'(1)=1.故A正确；

对于B：对于任意的X。都有/3)=/(x)+〃y)—l,令无=y=_i,则有=

所以〃-1)=1；令y=-l,贝I有〃r)=〃x)+〃-l)T,所以〃一尤)=/(力，故f(x)是偶函数.故

B错误；

对于C：任取y>x>0,不妨令y=比«>1),则有/(y)-/(无)=f(tx)-f(x)=f(t)+/(x)-i-f(x)=fit)-1,

因为当x〉l时，/(x)>l,所以即/'(>)-/(元)>0,所以/(x)在(0,+oo)上单调递增.故c正

确；

对于D:由B的判断过程，可知/(x)是偶函数；由C的推导过程，/(x)在(0,+s)上单调递增.

对于任意的x，y都有/3)=/(x)+/(y)T,且"2)=3,令x=y=2可得：

/(4)=/(2)+/(2)-1=5,令x=4,y=2可得:/(8)=/(4)+/(2)-1=7.

所以可化为：/(x-l)>/(8),即,一1|>8解得：x<-7或x>9,即的解集为

{尤Ix<-7或无>9}.故D正确

【巩固练习2】若定义在R上的函数对任意沏,第6民都有五沏+尤2)=/3)+7(无2)—1成立，且当x

>0时，

(1)求证:丁=式尤)一1为奇函数；

(2)求证:凡x)是R上的增函数;

(3)若<4)=5,解不等式火3加一2)<3.

[解]⑴证明：因为定义在R上的函数危)对任意凡x£R,者口有加1+饱)=/5)+%2)—1成立.

所以令M=即=0,则人0+0)=式0)+八0)—1.即八0)=1.

令Xi=x,Xi——x,则fl^x—X)—fl,x)+/—x)—1.所以[/(x)—+x)—1]=0,故y—fl,x)—1为奇函数.

(2)证明：由(1)知y=/(x)—1为奇函数，所以人x)-l=—[/(—x)—1].

任取Xi,X2G7?,JLXi<x2,则此一Xi>0.

所以人沏—xi)=/(M)+八一沏)-1=犬期)一[/(xi)-1]=AM)—六沏)+1.

因为当x>0时，.所以人用一尤1)=人尤2)—/(汨)+1>1,即尤2),故火龙)是R上的增函数.

(3)因为式汨+苍)=武即)+人即)一1,且负4)=5,所以穴4)=式2)+式2)—1=5,即大2)=3,

由不等式式3加-2)<3,得大3机-2)〈穴2).由(2)知式x)是R上的增函数，

4(公

所以3根一2<2,即3，"一4<0,即机.故不等式式3加-2)<3的解集为(一8,可.

【巩固练习3】(2023•湖南师大附中校考)已知连续函数〃x)满足：①Vx,yeR,则有

〃x+y)=〃x)+/(y)T，②当x>。时，/«<1,©/(D=-2,则以下说法中正确的是()

A./(0)=1

B./(4x)=4/(x)-4

C.f(x)在[—3,3]上的最大值是10

D.不等式/(3d卜2〃x)>〃3x)+4的解集为|x||<x<lj

【答案】ACD

【思路点拨】依题意令x=y=O,求出”0),从而判断A；令丫=》得到〃2x)=2/(x)-l,再令x=2x,

y=2x,即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于

/(3X2)>/(5X-2),再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D.

【详解】因为Vx,yeR,则有/(x+y)=/(x)+/(y)T,

令x=y=O,贝1/(0)=/(0)+/(0)—1,贝4/(。)=1,故A正确；

令…,则/(2x)=/(x)+/(x)—1=2/(*-1,

令2x代无，>=2彳则/(2%+2尤)=/(2尤)+/(2尤)-1=2/(2尤)一1,

即〃4x)=2〃2x)-l=即〃4x)=4〃x)-3,故B错误；

设wR且％,则％-%>o,由/(x+y)=/(x)+/(y)T,

令〉=一％,0'l/(0)=/(%)+/(-x)-l,即/(x)+/(—x)=2,

令x=x?,丫=一再，则f(^-^)=/(^2)+/(-^)-l=f(^)+2-/(jq)-l,即

/(々-菁)-1=/(%)-/(%),

因为x>0时，/(x)<l,又9-玉>0,故-%)<1,

所以/（%）-/（芯）=/（%-玉）—1＜。，所以,即/'（X）在R上单调递减,

又/（1）=-2,所以/（2）=2/（1）—1=-5,/（3）=/（2）+/（1）-1=-8,

又〃3）+〃-3）=2,所以八一3）=2-/（3）=10,

故/'（X）在［-3,3］上的最大值为10,故C正确；

由/（3X*2）3-2/（X）＞/（3X）+4,即/（3X2）＞/（X）+/（X）+/（3X）+4,

即/（3f）＞〃2x+3x）+2+4,即/（3/）＞/（5"+7-1,

又因为〃2）+/（—2）=2,即〃-2）=7,

所以7•（3/）＞〃5可+〃-2）-1,即/（3/）＞/5-2）,

2

故3尤2＜5尤-2,即（3x—2）（x—1）＜0,解得无＜1,

即原不等式的解集为故D正确

【题型4】抽象函数的最值与值域

核心•技巧

结合奇偶性与单调性来判断最值或值域

7.已知函数“X）对任意的羽＞eR,总有〃x+y）=/（x）+/（y）,若xe（-co,0）时，f（x）＞0,且

〃1）=一（，则当xe［—3,l］时，〃x）的最大值为（）

2

A.0B.-C.1D.2

3

【答案】D

【解析】令元=y=o,则/（。）="。）+/（0）,得/（。）=0,

令》=一无，则〃0）="力+/（—力，所以〃—%）=—/（%）,所以“外为奇函数，

任取玉,马€1＜,且尤1＜尤2,则占一了2＜°,/（占-%）＞。，

所以/（%）—/02）=/［（%—彳2）+々］一/（马）=/（为-%）+/0：2）-/（*）=/（占-电）＞。，

所以/（%）＞/（々），所以/（X）在R上递减，

所以当xe［—3』时，"X）的最大值为/（—3）,

2?

因为/。）=一］,所以

2

所以〃-3）=〃-1）+〃-2）=〃-l）+〃-l）+〃-l）=3x］=2,故选：D

【巩固练习1】已知连续函数/5)满足：①Wx,yeR,则有〃x+y)=〃x)+/(y)-l,②当x>o时，

/W<1,©/(D=-2,则f(x)在［一3,3］上的最大值是

【答案】10

【解析】设©R且不<々，则马-%>。，由/(x+y)=/(x)+/(y)T,

令》=_%,^/(0)=/(^)+/(-%)-1,即/(x)+/(—x)=2,

令无=%,y=F,则“9一%)=/(9)+/(-菁)—1=/(9)+2—/(菁)—1,即

"马-占)-1=/(尤2)-“王)，

因为尤>0时，,又9一尤1>0,故一不)<1,

所以/(%)—/(菁)=/(%2-石)一1<0,所以/'(9)</(番)，即/'(X)在R上单调递减，

又/(1)=-2,所以"2)=2/。)—1=一5,〃3)=/(2)+〃1)一1=一8,

又〃3)+/(-3)=2,所以〃—3)=2-/(3)=10,故/⑴在［—3,3］上的最大值为10

【巩固练习2】已知连续函数〃九)对任意实数x恒有/■(x+y)=/(x)+/(y),当xX)时，/(x)<0,

7(1)=—2,则式x)在［―3,3］上的最大值是

【答案】6

【详解】令x=-y,W/(0)=/U)+/(-%)=0,所以f(x)=-/(-x),

所以/(x)是奇函数；

令x<3,则〃y)-/(x)=/(y)+/(—x)=/(y-x),

因为当x>0时，犬x)<0,

所以/(y-x)<。,Fp/(y)-/(x)<0,

所以〃无)在(o,y),(F,0)均递减，

因为f(x)<。,所以/(X)在R上递减；

/(1)=-2,可得〃-1)=2；

令y=l,可得/(x+l)=/(x)_2

外2)=T,/(3)=-6；

〃3)=-/(-3)=6,，/(尤)在［-3,3］上的最大值是6

【题型5】抽象函数的对称性

核心•技巧

抽象函数的对称性常有以下结论

(1)/(%+«)=关于x=轴对称,

(2)〃x+a)+/(b-x)=2cn/(x)关于中心对称,

2024•江苏南通•二模

8.(多选)已知函数/(X),g(x)的定义域均为R,f(x)的图象关于点(2,0)对称,g(O)=g(2)=1,

g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),贝！］()

A.“X)为偶函数B.g(x)为偶函数

c.g(T-x)=-g(-l+x)D.g(l-x)=g(l+x)

【答案】ACD

【分析】

由赋值法，函数奇偶性，对称性对选项——判断即可得出答案.

【详解】令丁=7,则g(x-y)+g(x+y)=g(x)/(-y),注意到g(x)不恒为o,

故〃y)=/(-，)，故A正确；

因为了(力的图象关于点(2,0)对称，所以〃2)=0,

令x=0,y=2,得g(2)+g(-2)=g(0)f(2)=0,

故g(-2)=-lwg(2),故B错误;

令x=y=-1,得g(-2)+g(0)=g(-l)/(-l)=0,

令x=y=l,得g(2)+g(0)=g⑴/⑴=2,故g⑴"⑴片0,

从而〃T)*0,故g(-D=O,

令x=-l,得g(T+y)+g(-l-y)=。，化简得g(-l-y)=-g(-l+y),故C正确；

令y=2,得g(x+2)+g(x-2)=0,而g(l-x)=-g(x-3)=g(l+x),故D正确.

故选：ACD.

【巩固练习1］已知对任意实数无，》函数/(尤)满足，(肛+l)=/(x+l)+/(y+l),则/(x)()

A.有对称中心B.有对称轴

C.是增函数D.是减函数

【答案】B

【分析】依题意取特值即可求解.

【详解】令x=y=l,得〃2)=〃2)+〃2),；"(2)=0；

令x=y=T,得〃2)=2〃0)=0,.•.40)=0；

令y=-1,得〃I)=/(x+l)+〃O)=〃l+x),

f(X)的图象关于直线关于x=1对称

【巩固练习2】(2024•重庆八中校考)(多选)已知函数“X)的定义域为R,且〃x+y)=/(x)+/(y),

当尤>0时，/(x)>0,且满足"2)=1,则下列说法正确的是()

A.为奇函数

B./(-2)=-l

C.不等式〃2x)-"x-3)>-2的解集为(-5,小)

D.f(-2023)+f(-2022)+L+/(0)+Lf(2022)+f(2023)=2023

【答案】AB

【详解】对于A中，令x=y=0,可得〃0)=/(0)+〃0)=2〃0),所以"0)=0,

令产T,得到〃f)+〃x)=〃0)=0,/(-%)=-/(%),

所以〃龙)为奇函数，故A正确；

对于B中，因为〃x)为奇函数，所以/(-2)=-/⑵=-1,故B正确；

对于C中，设％>尤2，彳=匕，>=%,可得了(%—%)=/(占)+/(-%)，

所以/(占)-，(%)=/(%)+/(-巧)=/(%-3),

又因为再>々，所以再一无2>。，所以/(占一马)>。，即/(%)>/伍)，

所以〃x)在R上单调递增，因为2)=-1,所以”7)="-2-2)=2〃-2)=-2,由

/(2x)-/(x-3)>-2,可得〃2x)>/(x—3)+/(T),

所以了(2了)>/(%_3_4)=/(%_7),所以2x>x—7,得到无>_7,

所以了(2彳)-/(%-3)>-2的解集为(-7,+00),所以C错误；

对于D中，因为/'(龙)为奇函数，所以/(—x)+/(x)=0,

所以/(—2023)+/(2023)=/(-2022)+/(2022)=L=/(-1)+/(1)=0,

又〃0)=0,故/(-2023)+f(-2022)+L+/(0)+L/(2022)+/(2023)=0,所以D错误

【巩固练习3](多选)已知定义域为R的函数/(%)对任意实数都有

f(x+y)+〃x—y)=2〃x)/(y),且了2]=0,则以下结论一定正确的有()

A.”0)=-1B./(尤)是偶函数

C.关于中心对称D./(l)+f(2)+...+/(2023)=0

【答案】BC

【分析】根据赋值法，可判断了(。)=1或/(。)=。，进而判断A,根据赋值法结合奇偶性的定义可判

断C,根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.

【详解】令x=y=0,则〃0)+〃0)=2〃0)〃0)=/(0)=0或〃0)=1,故A错误，

若"0)=1时,令x=o,则*y)+/(-y)=2/(y)*0)?/(y)=f(y),此时广⑺是偶函数，若

"0)=0时，令y=o,则/(x)+*x)=2/(x)〃0)=0?/(x)=0,此时〃x)既是偶函数又是奇函

数；因此B正确，

令x=则f-+y+/0〃力。=/y卜°,所以关于

中心对称，故c正确，

由〃x)关于g,。)中心对称可得/(%)=-/(1-X),结合〃x)是偶函数，所以

f(x)=-/(I-x)=-f^x-1)=-(-/(x-2))y(x-2),所以的周期为2,

=0,故*l)+f(2)%l)+f(0)=0,

进而〃1)+〃2)+…+〃2022)=1011x[〃l)+〃2)]=0,而/(2023)=〃1)=一/(0),由A选项知

40)=0或40)=1,所以/(1)+〃2)+…+/(2023)=0或T,故D错误.

【题型6】抽象函数的周期性

/核心•技巧/

抽象函数周期问题一般先求对称性

2024山东青岛•统考三模

9.设/■(%)为定义在整数集上的函数，/(1)=1,/(2)=0,/(-1)<0,对任意的整数均有

f{x+y)=f(x)f[l-y)+f[1-x)f{y},则"55)=.

【答案】-1

【分析】采用赋值的方式可求得令、=1和>=-x可证得了(x)的对称轴和奇偶性，由

此可推导得到了(X)的周期性，利用周期性可求得函数值.

【详解】令x=y=i,则〃2)=〃1)/(0)+〃0)〃1)=2〃0)=0,.•"(0)=0；

令x=2,y=-l,则/⑴=/⑵+/(—1)=/(—1)=1,又〃_1)<0,.•"(-!)=一1；

令y=i,则〃%+1)=〃")”0)+/(1-2〃1)=〃1一%),，〃力关于直线％=1对称；

令》=—£则/=++=++=

,.,〃1+*=0不恒成立，；.，(%)+〃一力=0恒成立，，/(%)为奇函数，

•.•/(x+2)=/(-x)=-/(x),.-./(%+4)=-/(%+2)=/(%),

，/(%)是周期为4的周期函数，二"55)=/(4xl4—1)=〃—1)=—1.

10.函数〃x)的定义域为R,且〃x+2)=-/(x+l)—〃尤)，/(x)=/(2-x),/(365)=-1,则

【答案】2

【分析】根据给定条件，探讨函数/(X)的周期，再结合〃x)=〃2-x)求出/(1)/(2)"(3)即可求解

作答.

【详解】函数〃无)的定义域为R,由〃x+2)=—/(x+l)—/(x),

/(x+3)=-/(x+2)-/(%+1)=/(%+1)+/(x)-/(x+1)=/(%),

因此函数/(%)是以3为周期的周期函数，且/(x)+/(x+l)+f(x+2)=。，即/⑴+/(2)+/(3)=0,

由/(365)=-1,得/(2)=-1,又/(x)=/(2-x),/⑶=/(0)=〃2)=-1,从而

/(1)=-/(2)-/(3)=2,

2023

所以£f(k)=674x[/(l)+/(2)+/(3)]+/(I)=/(1)=2.

k=\

11.(2024届厦门一中校考)若定义域为R的奇函数Ax)满足/(尤)=/(x+l)+/(x-l),且/(1)=2,

则”2024)=.

【答案】2

【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.

【详解】由7•(尤)=〃x+l)+y(x-l),得/(x+l)=/(x+2)+/(x),

所以l)"(x+2)+f(x),即一/(元-l)=f(x+2),于是有-/(x)=F(x+3),

所以_J(x+3)"(x+6),即/(x)=/(x+6).

所以函数/(x)的周期为6.

因为fW是定义域为R的奇函数，

所以/(-0)=-/(0),即"0)=0.

令x=l,则/⑴=/(2)+/(0),解得f(2)=/(l)-=(0)=2,

所以/(2024)=/(337x6+2)=/(2)=2.

【巩固练习1】2024•山东青岛•一模

VxeR,f(x)+/(x+3)=1-f(x)f(x+3),/(-1)=0,则”2024)的值为()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】利用赋值法求出了(2)的值，将/(尤)+/(x+3)=l-f(x)/(x+3)变形为/(x+3)=：一，，,

1+/W

即可推出f(x+6)=/(尤)，可得函数周期，由此即可求得答案.

【详解】由题意知VxeR,f(x)+f(x+3)=l-f(x)f(x+3),/(-1)=0,

令x=-1,则/(-1)+/(2)=1-/(-1)/(2),.-./(2)=1

显然/(x)=—1时，-1+/(尤+3)=1+/(尤+3)不成立，故/(x)w-l,

11—

故小+3)=号则/+6)=/|||=於)，

+l+/w

即6为函数f(x)的周期，则/(2024)=/(337X6+2)=f(2)=1

【巩固练习2】(2024•福建龙岩•一模)已知函数/(x)的定义域为R,且

f(x+y)+f(x-y)-f(x)f(y)^0,f(-l)=l,则()

A./(0)=0B.为奇函数

c./(8)=-lD.“X)的周期为3

【答案】C

【分析】令x=y=O,则得/'(0)=2,再令x=0即可得到奇偶性，再令y=T则得到其周期性，最

后根据其周期性和奇偶性则得到/(8)的值.

【详解】令x=y=0,得"⑼―/(0)=0得/(0)=0或"))=2,

当/(0)=0时，令y=0得/(x)=0不合题意，故/(0)=2,所以A错误；

令％=0得/(y)=/(-y),且〃x)的定义域为R,故/(x)为偶函数，所以B错误；

令J=-l,得f(x-l)+f(x+l)=f(x),所以f(x)+f(x+2)=f(x+l),

所以/(x+2)=-/(%-1),则/(x+3)=-/(x),则/(尤+6)=-/0+3)=/(力，

所以f(x)的周期为6,所以D错误；

令x=y=l,得/(2)+/(0)=/2(1),因为==1

所以〃2)=-1,所以/(8)=/(2)=-1,故C正确.

【巩固练习3］(2024-福建厦门•一模)已知函数fM的定义域为R,Vx,yeR,

f(x+l)f(y+l)=f(x+y)-f(x-y),若〃0)/0,则”2024)=()

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】A

［分析］利用赋值法对x,y进行赋值结合函数的周期可得答案.

【详解】令x=y=o,得/(l)-/(l)=/(o)-/(o)=o,即，(1)=0,

^x=0,^-f(l)-f(y+l)=f(y)-f(-y)=o,^f(-y)=f(y),所以函数/(%)为偶函数，

令x=y=i,得r(2)=〃2)-〃0),

令x=y=T,得产(o)=〃一2)—〃0)=〃2)-〃0),

•••/2(2)=f(0)，二〃2)=〃0)或"2)=-/(0),

若"2)=/(0),解得"0)=。与已知/(0)工0矛盾,

.-./(2)=-/(0),即门2)=2〃2),解得"2)=2,〃0)=-2,

令'=1,得〃x+l)"(2)=〃x+l)-〃x—1),

.•.2/(X+1)=/(X+1)-/(A:-1),=..-./(x+2)=-/(x),

/(x+4)=/(x),所以函数〃尤)的周期为4.

【巩固练习4】函数的定义域为R,对任意x,yeR,恒有/(无)+=

12022

若〃1)=+则〃一1)=,1/(«)=.

【答案】1,0

【分析】取特殊值可得/(-1)；取特殊值可得/(%)是周期为6函数，计算出

“T),〃0),"l),〃2),〃3),〃4)的值可得答案.

【详解】令x=y=i,^/(1)+/(1)=2/Rj./RL解得〃O)=I,

令n,则/(l)+/(-l)=2/(O)./(l),

因为了。）=；,所以/（T）=；；

则“2)+”0)=2/J,"2)=J,

令％=2,y=。，

令x=3,y=-l,则〃3)+〃-1)=2(|}(£|=-]”3)=-1,

令x=4,y=-2,则〃4)+〃_2)=2/0./1|J=_l,f(4)=-1,

〃T+/(O)+〃l)+〃2)+〃3)+/(4)=l+L'=。，

令》=一》，贝厅(x)+〃x)=2(*](宁J,即〃尤)+“T)=27/}(早[=2〃x),可

得〃T)="尤)，

令x=〃+l,y=—〃+l,则/(M+1)+/(-H+1)=2/(1)-/(«)=/(«),

令〃=5+x,则/(x+6)+/(-x-4)=/(x+5),

可得f(x+6)+/(x+4)=/(x+5),从而/(x+5)+〃x+3)=〃x+4),

所以“x+6)=—/(x+3),可得〃尤+3)=—〃尤),

所以〃x+6)=〃x),〃x)是周期为6的函数，

2022

£/⑺=["T+"0)+”1)+“2)+”3)+/(4)]X337=0.

n=l

故答案为：①3：②0.

【巩固练习5】深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题

(多选)已知函数〃力的定义域为R,且"x+y)"x7)=产⑺一产(y),/(1)=V3,

为偶函数，则（）

A.为偶函数B.f(2)=y/3

2023

c./（3+x）=-/（3-x）D.

k=\

【答案】BCD

【分析】A选项，赋值法得到〃o）=o,进而得到〃-y）=-/（y）,y（x）为奇函数，A错误；B选

项，由/（2x+|）为偶函数得到〃无）关于x=|对称，所以/（2）=/（1）=6；C选项，由

了12x+|j=小x+力结合函数为奇函数，得到〃3+x）=—"3—x）,C正确；D选项，推导出〃x）

的一个周期为6,利用关系式得到/（1）+/（2）+〃3）+/（4）+〃5）+/⑹=0,结合函数周期得到

2023

1/㈤=省.

女=1

【详解】对于A,因为〃龙)的定义域为R,关于原点对称，

令x=y=。，则〃。)〃。)=尸⑼一尸⑼，故产(0)=o,则"0)=0,

令x=0,则/(y)〃—y)=/2(。)一产(y),又〃y)不恒为0,故〃一y)=-〃y),

所以〃尤)为奇函数，故A错误；

对于B,因为/■(zx+T)为偶函数，所以/1-2x+：j=/(2x+1^,

所以〃无)关于x=3对称，所以〃2)=〃1)=百，故B正确；

对于