2025年高考数学压轴训练10

2025年高考数学压轴训练10

一.选择题(共13小题)

1.(2024•闵行区校级模拟)已知函数》=/(x)的定义域为(0,2),则下列条件中，能推出1一定不是、=/(%)

的极小值点的为()

A.存在无穷多个%e(0,2),满足/(无0)</(1)

B.对任意有理数不€(0,1)U(1,2),均有/(%)</■(1)

C.函数y=f(x)在区间(0,1)上为严格减函数，在区间(1,2)上为严格增函数

D.函数y=/(x)在区间(0,1)上为严格增函数，在区间(1,2)上为严格减函数

2.(2024•新县校级模拟)已知函数/(x)=e-eT+sin尤-x+2,其中e是自然对数的底数.若/(logl0+/

2

(3)>4,则实数f的取值范围是()

A.(0,1)B.("，+◎C.(0,8)D.(8,+oo)

3.(2024•江西一模)已知函数/(无)及其导函数1(x)定义域均为R,记g(x)=/(尤+1),且

/(2+x)-/(2-x)=4x,g(3+x)为偶函数，则夕(7)+g(17)=()

A.0B.1C.2D.3

4.(2024•江西模拟)已知函数/(x)=2cos(0x+°)-在x=0处的切线斜率为-。，若

/(x)在(0,%)上只有一个零点尤。,则。的最大值为()

A.-B.—C.2D.-

263

5.(2024•简阳市校级模拟)若对于任意正数x,y,不等式心).5历'-W恒成立，则实数。的取值

范围是()

A.(0,—]B.[―,—]C.[―,+co)D.[―,+co)

eeeee

6.(2024•宿迁模拟)在同一平面直角坐标系内，函数y=/(x)及其导函数丁=/(兀)的图像如图所示，已

知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1),贝lj()

A.函数y=/(x)•，的最大值为1B.函数y=/(x)•，的最小值为1

C.函数y=3的最大值为1D.函数y=四的最小值为1

exex

7.(2024•邢台模拟)已知函数/。)=。/-3好在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为()

A.eB.1C.e-2D.e-1

8.(2024•梅江区校级模拟)已知0为函数/(x)=(依+1-a)d-尤-3的极小值点，则”的取值范围是(

)

A.(―1,+co)B.(—e,+<»)C.(—―,+<»)D.[0,+co)

e

9.(2024•宜宾三模)定义在(0,+oo)上的单调函数/(x),对任意的xe(0,+oo)都有/V(x)-加幻=1,若方

程f(x)•/'(>)=机有两个不同的实数根，则实数机的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-oo,l)D.(-00,1]

10.(2024•德阳模拟)己知函数/(x)及其导函数广⑺在定义域均为7?且尸(x)=e、'*2/(无+2)是偶函数，

(x-2)[/Xx)+/(x)]>0,则不等式对■(加Ove?/(3)的解集为()

A.(0,e3)B.(l,e3)C.(e,e3)D.(e3,+oo)

H.(2024•咸阳模拟)已知函数/(x)=cosx+^x2,若x=0是函数/(x)的唯一极小值点，则。的取值范围

为()

A.[1,+oo)B.(-1,1)C.[-1,+00)D.(-00,1]

71

12.(2024•青羊区校级模拟)设0=30.21,b=M.21,c=言，则下列大小关系正确的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

13.(2024•博白县模拟)已知函数/(x)=e，-±-6,当实数。>0时，对于xeR都有/(元)..0恒成立，贝UA

a

的最大值为()

A.-B.1C.-4D.4

e2e2e1e2

二.多选题(共3小题)

14.(2024•市中区校级二模)对于具有相同定义域。的函数/(尤)和g(x),若存在函数/?(%)=Ax+b(左，b为

常数)对任给的正数机，

存在相应的天€。使得当xe。且x>x。时，总有无)一'(")<"，则称直线/:y=依+6为曲线

[0<h(x)-g(x)<m

y=/(x)和y=g(x)的''分渐近线下列定义域均为£>={x|x>l}的四组函数中，曲线y=/(x)和y=g(x)

存在“分渐近线”的是()

A.f(x)=x2,g(X)=G

B.f(x)=10'+2,g(无)

X

“、x2+1/、xlnx+\

C.fM=----，gM=———

xInx

/(-V)=-^―>g(x)=2(x-l-eT)

D.

x+1

15.(2024•建阳区一模)已知函数/(尤)=d-2依2+版+。(。，b,cwR),/'(%)是/(%)的导函数，贝|(

A.“q=c=O”是"/(x)为奇函数”的充要条件

B.“a=b=O”是"/(无)为增函数”的充要条件

C.若不等式/(%)<0的解集为{%|兀<1且XW-1},则/(%)的极小值为-II

D.若玉，/是方程/'(%)=0的两个不同的根，且'+'=1，则avO或々>3

七%

16.(2024•扬州校级一模)若正数。，b满足〃+6=1,则()

A.log2a+log2b..-2B.2"+2’..2点

C.a+Inb<0D.sinasinZ?<—

4

三.填空题(共4小题)

17.(2024•淄博一模)设方程，+x+e=0,历x+%+e=0的根分别为夕，q,函数f(%)=/+(p+q)x,

令a=/(0),人=/(—),c=/(-),则a,b,c的大小关系为

18.(2024•沧县校级模拟)已知直线/:y=fct是曲线/(%)=〃和g(x)=/加+〃的公切线，则实数〃=

19.(2024•回忆版)若曲线y="+x在点(0,1)处的切线也是曲线丁=历(％+1)+〃的切线，贝！Ja=.

20.(2024•白云区校级模拟)已知函数/(x)=a(x-)(x-x2)(x-x3)(a>0),设曲线y=/(%)在点(xz.,/(七))

处切线的斜率为仁。=1,2,3),若玉，x2,冗3均不相等，且左2=-2,则匕+4%的最小值为.

四.解答题(共5小题)

21.(2024•沙河口区校级二模)已知函数/(%)=(%-1)/+办+1.

(1)若a=—e，求/(%)的极值；

(2)若x..O,/(x)..2sinx,求〃的取值范围.

22.(2024•黄州区校级四模)已知函数/(兀)=(1+1)近¥-0¥+2.

(1)当〃=1时，求/(%)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若函数/(尤)在(L+oo)上单调递增，求实数。的取值范围.

23.(2024•天津)设函数/(X)=X/HX.

(1)求，(x)图像上点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若/(x)..a(x-五)在xe(0,+oo)时恒成立，求a的值；

2

(3)若玉，x2e(0,l),证明|/(占)-/0：2)1”I尤i一无2F.

24.(2024•贵州模拟)已知函数f(x)=x/nx.

(1)若函数g(x)=/(x)-a有两个零点，求实数。的取值范围；

(2)已知A(X[,%),B(X2,y2),C(x3,%)(其中玉且为，马,三成等比数列)是曲线V=/(*)

上三个不同的点，判断直线AC与曲线y=在点3处的切线能否平行？请说明理由.

25.(2024•平罗县校级三模)设函数/(尤)=-尤2+巾+历无geR).

(1)若a=l,求函数/(无)的单调区间；

(2)设函数/(x)在A,e]上有两个零点，求实数。的取值范围.(其中e是自然对数的底数)

2025年高考数学压轴训练10

参考答案与试题解析

选择题(共13小题)

1.(2024•闵行区校级模拟)已知函数y=/(x)的定义域为(0,2),则下列条件中，能推出1一定不是y=/(x)

的极小值点的为()

A.存在无穷多个尤°e(0,2),满足/'(不小/(1)

B.对任意有理数与e(0,1)U(1,2),均有/(尤o)</(1)

C.函数y=/(x)在区间(0,1)上为严格减函数，在区间(1,2)上为严格增函数

D.函数y=f(尤)在区间(0,1)上为严格增函数，在区间(1,2)上为严格减函数

【答案】D

【考点】利用导数研究函数的极值

【专题】综合法；综合题；导数的综合应用；逻辑推理；函数思想

【分析】根据极值的定义，结合选项，即可得出结果.

【解答】解：由极值的定义可知，当函数y=/(x)在x=l处取得极小值时，

在x=l左侧的函数图象存在点比x=l处的函数值小，

在x=l右侧的函数图象存在点比x=l处的函数值小，故排除A,B；

对于C,函数y=/(x)在区间(0,1)上为严格减函数，

在区间(1,2)上为严格增函数，则x=1是函数的极小值点；

对于D,函数y=/(x)在区间(0,1)上为严格增函数，

在区间(1,2)上为严格减函数，则x=l不是函数的极小值点.

故选：D.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.

2.⑵24•新县校级模拟)已知函数/(x)=e、+sin尤-x+2,其中e是自然对数的底数.若/(logj)+/

2

(3)>4,则实数f的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+oo)C.(0,8)D.(8,+oo)

【答案】C

【考点】利用导数研究函数的单调性

【专题】转化思想；导数的概念及应用；方程思想；综合法；数学运算；计算题

【分析】根据题意，求出函数/(尤)的导数，分析可得“X)在尺上递增，设g(尤)=/(*)-2,分析可得g(x)

为奇函数且在R上递增，原不等式变形可得“10gC)-2>-"(3)-2],结合g(无)的奇偶性、单调性可

2

得关于看的不等式，解可得答案.

【解答】解：根据题意，函数/(%)="-"，+5皿1-％+2,其导数广(幻="+/“+cos%-1,

易得/(无)=/++cosx-1虐归X「+COSX-10,贝I]f(x)在R上递增，

设g(%)=/(元)一2,g(x)=ex-e~x+sinx-x,其定义域为H,

有^(-x)=~(ex-e~x+sinx-x)=-^(x),贝!Jg(x)为奇函数，

易得g(%)在R上递增，

若/(k)gj)+/(3)>4,即/(logJ)—2〉—"(3)-2],则有g(logj)>—g(3),

222

而g(x)为奇函数，

则有g(logi”g(-3),必有logJ>-3,解可得0<r<8,则f的取值范围为(0,8).

22

故选：C.

【点评】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及不等式的解法，属于中档题.

3.(2024•江西一模)已知函数/(无)及其导函数r(x)定义域均为R,记g(x)=/(尤+1),且

/(2+x)-/(2-x)=4x,g(3+x)为偶函数，则g'(7)+g(17)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【考点】基本初等函数的导数

【专题】导数的概念及应用；数学运算；转化思想；转化法

【分析】对/'(2+x)-〃2-尤)=4x两边同时求导，结合函数的周期和偶函数的性质进行求解即可.

【解答】解：因为g(3+x)为偶函数,g(x)=f'(x+l),

所以/'(x+4)=/(-尤+4),

对/(2+w)-/(2-x)=4x两边同时求导,得r(2+x)+r(2-x)=4,

所以有r(4+x)+r(-x)=4=r(4-尤)+r(-x)=4=r(4+x)+/(»=4=7‘(8+无)=((尤)，所以函数

f(x)的周期为8,

在r(2+x)+r(2-尤)=4中，令x=0,所以广(2)=2,

因此g(17)=/(18)=r(2)=2,

因为g(3+x)为偶函数，

所以有g(3+x)=g(3-x)ng，(3+x)=-g，(3-x)ng，(7)=卬(-1)(1),

f'(8+x)=f'(x)=>g(J+x)=g(x-1)=>g'(l+x)=g'(x(7)=g'(—l)(2),

由(1),(2)可得：g'⑺=0,

所以/(7)+g(17)=2,

故选：C.

【点评】本题主要考查导数的运算，考查转化能力，属于中档题.

4.(2024•江西模拟)已知函数/(x)=2cos(。尤+夕)-6(a>>0,0<夕<(0在无=0处的切线斜率为-0,若

/(无)在(0,乃)上只有一个零点尤。,则。的最大值为()

A.-B.—C.2D.-

263

【答案】C

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】综合法；数学运算；导数的概念及应用；函数思想

【分析】求出函数的导函数，由广(0)=-。求出9,由X的取值范围求出0元+工的范围，再根据/(x)在(0,万)

6

上只有一个零点/得到小<。万+工,，也，即可求出。的取值范围，从而得解.

666

【解答】解：由题意得，f\x)=-2cosm{cox+cp),则尸(0)=-269sine=Ty,即sin0=g,

又0<0〈工，解得"=工，

26

/(X)=2COS(69X+—)-^,

6

由/(%)=0得cos(s+—)=—,

62

G>0,

CDX-\-y，①兀+与，

666

又cosK=走，/(%)在(0,万)上只有一个零点元。,

62

11万兀13%zg5

---<(D7TH----”-----，—<CD”2，

6663

的最大值为2.

故选：C.

【点评】本题考查导数的几何意义以及三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题.

5.(2024•简阳市校级模拟)若对于任意正数x,y,不等式尤(1+历-到恒成立，则实数a的取值

范围是()

A.(0,—]B.[―,—]C.[—,+℃)D.[―,+co)

【答案】C

【考点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的最值

【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解

【分析】对不等式分离参数得到/一直，令f=构造函数g«)=回二1,re(0,+W),则a.,g⑺…，

yxyxt

通过导数研究g⑺单调性求出最大值即可.

【解答】解：由不等式M1+加).工历y-效恒成立，且1>0，y>。，

分离参数得：a>—(Iny—Inx)——,即历2—二，

yyy%y

、几y4日lnt-\小、

以>t——，a2-----，t£(0,+oo),

xt

'人/、Int1/八、

设g«)=-----，t£(0,+oo),

t

则a.g⑺…

gr(t)=2，由g'⑺=0得，=/，

r3

当，w(0,/)时，g，《)>0,g«)单调递增；当/£(/,+8)时，g")<0,g⑺单调递减；

/、/2、2-11

•-g«)s=g(e)=.

QN——•

e

故选：C.

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

6.(2024•宿迁模拟)在同一平面直角坐标系内，函数y=/(x)及其导函数y=/，(x)的图像如图所示，已

知两图像有且仅有一个公共点，其坐标为(0,1),贝心)

A.函数y=/(x>e*的最大值为1B.函数y=/(尤)的最小值为1

C.函数y=四的最大值为1D.函数y=似的最小值为1

exex

【答案】C

【考点】基本初等函数的导数；利用导数研究函数的最值

【专题】数学运算；整体思想；综合题；函数思想；导数的综合应用

【分析】根据函数的单调性确定虚线部分为y=/(x),再求函数、=幽的单调性可求出最值.

ex

【解答】解：由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递

增，判断可知，虚线部分为丁=/。)，实线部分为y=/(x),则A,5显然错误，

对于C,D而言，旷=/'Of'='(X)T(X),由图像可知％e(-oo,0),>=单调递增，尤c(0,+oo),

(ex)exex

y=3单调递减，所以函数y=3在X=O处取得最大值为1.

exex

故选：C.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.

7.(2024•邢台模拟)已知函数/。)=。/-3好在区间(1,2)上单调递增，则。的最小值为()

A.eB.1C.e-2D.e-1

【答案】D

【考点】利用导数研究函数的单调性

【专题】逻辑推理；导数的综合应用；综合题；构造法；转化思想；数学运算；综合法

［分析怵导，根据题意可得(⑺=a-乂.0恒成立，xe(1,2),分离参数,可得构造函数g(x)=—,

exex

XG(1,2),求导，利用导数研究g(x)的单调性和最值，即可求出结果.

【解答】解：因为函数〃=在区间(1,2)上单调递增，

所以/'(%)=ae“-x..O恒成立，xe(l,2),

即)恒成立，Xw(l,2),

ex

令g(x)=：，尤e(l,2),

e

1—Y

/(%)=一<0，

e

所以g(x)在(1,2)上单调递减，

所以g(x)<g(1)=-,

e

所以a…1.

e

故选：D.

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属中档题.

8.(2024•梅江区校级模拟)已知0为函数/(x)=(办+l-a)e'-尤-3的极小值点，则。的取值范围是(

)

A.(—1,+co)B.(—e,+co)C.(—,+co)D.[0,+co)

e

【答案】A

【考点】由函数的极值求解函数或参数

【专题】综合法；综合题；整体思想；导数的综合应用；数学运算

【分析】先求出导数，再利用导数的导数找出单调性可得结果.

【解答】解：由题意得尸(x)=/(ax+1)-1,尸(x)的导函数为/"(无)=".(办+“+1),

若a.0,f'(x)>0,尸(x)在R上单调递增，因为((0)=0,

所以当xe(0,y)时，f'(x)>0,/(无)单调递增，当xe(-oo,0)时，f'(x)<0,/(x)单调递减，成立；

若当xe(-oo,-但)时，/'(x)>0,尸(无)在(-8，-史1)上单调递增，因为一9里>0,

aaa

所以〃x)在(-oo,0)上单调递减，在(0,一生1)上单调递增，成立；

a

若a=-1,当xe(-oo,0)时，f(x)>0,当xe(0,+co)时，f"(x)<0,因为:(0)=0,

所以/''(x),,。，不成立；

若a<T,当xe(—但,+oo)时，f"M<0,一但<0,

aa

易得在(-但,0)递增，在(0,+00)上单调递减，不成立；

a

综上，。的取值范围是(-1,+00).

故选：A.

【点评】本题主要考查导数的应用和逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想，属于中档题.

9.(2024•宜宾三模)定义在(0,+oo)上的单调函数了(无)，对任意的xe(0,+oo)都有/"(尤)-说c]=l,若方

程/(>)"'(>)=根有两个不同的实数根，则实数的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,1]C.(-oo,l)D.(-00,1]

【答案】A

【考点】由函数的单调性求解函数或参数

【专题】数形结合；导数的综合应用；数学运算；综合法

【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得/'(©-log?x为定值，可以设f=/(x)-/nx,则/(x)=/nx+f,

又由〃f)=l,即/加+，=1,解可得f的值，可得/(x)的解析式，对其求导可得r(>)；将y(x)与广(无)代

人秋x)/(x)=m,求出函数的最大值，即可得答案.

【解答】解：,."(X)是定义在(0,+8)上的单调函数，

:.f(x)-lnx为大于0的常数，

设"f(x)-Inx,贝!!f(x)=Inx+t(t>0)，

又由/(，)=1,即加/+%=1,解得t=1

/W=Inc+1,f\x)=—，

X

“、“、i+lrvc

f(x)•/(x)=-----=m

x

、几/、1+Inx则g，(x)=-绊

设g(%)=-----

XX

易得函数g(x)在(0,1)上单调递增，(l,+oo)上单调递增,

.•.尤=1时，函数g(%)取得最大值1,其大致图象如图所示,

•.•方程/(%)•/'(%)=根有两个不同的实数根，

/.0<m<l.

故选：A.

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系的应用，考查导数知识的运用，关键点和难点是求出了(%)的解

析式.

10.(2024•德阳模拟)已知函数/(X)及其导函数r(x)在定义域均为人且尸(x)=*2/(无+2)是偶函数,

(x-2)[/Xx)+/(x)]>0,则不等式对'(/«%)<e3/(3)的解集为()

A.(0,e3)B.(l,e3)C.(e,e3)D.(e3,+oo)

【答案】C

【考点】抽象函数的奇偶性；利用导数求解函数的单调性和单调区间

【专题】综合法；导数的综合应用；函数思想；数学运算

【分析】依题意得函数F(幻在(0,+«>)上单调递增，因为4(勿x)<e3/(3),所以尸(/诉-2)〈尸(1),得

|Znx-21<1,求解即可.

【解答】解:由(无一2)[广(*)+/。)]>0,得#r(x+2)+/(x+2)]>0,

贝U当x>0时，得r(x+2)+/(x+2)>0,

/(x)=ex+2f{x+2)+ex+2f'(x+2)=ex+\f(x+2)+f\x+2)],

则当x>0时，F(尤)>0,得函数F(x)在(0,+oo)上单调递增，

因为对■(玩(3),所以尸(配c-2)〈尸(1),

由于网x)=e*+2/(尤+2)是偶函数，则尸(|加c-2|)〈尸(1),

而函数F(x)在(0,+oo)上单调递增，得|配l21<1,

得—2<1,

得e<x</.

故选：C.

【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

11.(2024•咸阳模拟)已知函数"X)=cosx+£f,若x=0是函数/(x)的唯一极小值点，则。的取值范围

为()

A.[1,+00)B.(-1,1)C.[-1,+oo)D.(-00,1]

【答案】A

【考点】由函数的极值求解函数或参数

【专题】导数的综合应用；数学运算；转化思想；综合法

【分析】求导分析/''(X)的符号，"X)单调性，进而可得极值点，判断是否符合题意，即可得出答案.

【解答】解：/(x)=cosx+-1x2,

f'(x)=—sinx+<xv,J!Lf'(0)=0,

令g(x)=f'(x),贝！Ig'(x)=-cosx+a,

当a..l时，g，(x)..0,g(x)单调递增，

当x>0时，g(x)=r(x)>g(0)=0,/(无)单调递增，

当x<0时，g(x)=f'(x)<g(0)=0,/(元)单调递减，

所以x=0是函数/(尤)唯一的极小值点，

当a<l时，g,(0)=-l+a<0,

所以存在J>0使得xe(0»),g(x)=f'(x)在(0,5)单调递减，

所以当xe(0,5)时，/(方</(0)=0,

所以/(%)在(0,5)上单调递减，与0是函数f(x)的极小值点矛盾，

综上所述，a.A,

所以。的取值范围为口，+00).

故选：A.

【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

71

12.(2024•青羊区校级模拟)设。=30.21,。=优1.21,c=—,则下列大小关系正确的是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】c

【考点】利用导数研究函数的单调性

【专题】转化法；转化思想；数学运算；函数的性质及应用

【分析】首先通过构造函数得到当0<时，tanx>x,再通过构造函数/(x)=x-/〃(l+x),0<进

一步得到x>/"(l+x),XG[0,-],由此即可比较。，b,通过构造函数g(x)=/〃(l+x)--匚,尤>0即可比

21+x

较c,6,由此即可得解.

【解答】解：设〃(x)=tan尤r,0<x〈工，则〃⑺=~上空二土组一1=」—1>。,0<*<三，

2cosxcosx2

所以h(x)=tanX-X在(0,胃)上单调递增，

所以/?(%)=tanx—g(0)=0,即tanx>x,0<x<g,

■JT1jr

令f(x)=x—ln(l+x),0<x<—贝！!ff(x)=1--------=------->0，

2>1+x1+x

所以/(x)=x-山(1+X)在(0,g)上单调递增，

.-JT

从而f(x)=x-ln(l+x)>/(0)=0,即x>ln(l+x),xe(0,—),

所以tanx>%>ln(l+x),xe(0,—),

从而当x=0.21时，a=tan0.21>0=/〃L21,

令g(X)=历(1+%)———,x>0,贝!Igr(x)=------Q+x)'=>o,

1+x1+x(1+x)2(1+x)2

所以g(x)=ln(l+x)———在(0,+oo)上单调递增，

1+x

21?1

所以g(0.21)=加1.21------>g(0)=0,^b=lnl.21>c=——，

121121

、21

综上所述：a-tan0.21>b—lnl.21>c=.

121

故选：C.

【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于中档题.

13.(2024•博白县模拟)已知函数〃x)=eX-±-6,当实数a>0时，对于xeR都有〃尤)..0恒成立，则

a

的最大值为()

A.-B.3C.-4D.4

e2e2后e2

【答案】A

【考点】利用导数研究函数的单调性

【专题】数学运算；综合法；导数的综合应用；转化思想

【分析】通过求导分析于⑺的单调性得到/(x)的最小值，由/(元)..0恒成立得到/(x)m,,..O,得到

a+alna,构造函数g(a)=a+alna,由g(a)的最小值得到"人的最大值.

【解答】解：令((无)=。得当了>勿工时，/’(尤)>o,当了<//时，/(无)<o,

aaaa

所以/(x)在(/M-,+oo)上单调递增，在(-00,/«-)上单调递减，

aa

故了(尤)而“=/(^-)=-+—~b>0,

aaa

2

所以工+^^2b，则"反Q+Q勿〃恒成立，则ab„(a+alna)min,

aa

令g(a)=a+alna,gr(a)—2+Ina,

令g'(a)>0得a〉1,令g'(a)vO得0<Q<4,

ee

所以g(a)在(5,+oo)上单调递增,

所以g(a),»“=g(J)=-g-

故"b的最大值为-3.

e

故选：A.

【点评】本题考查导数在函数恒成立问题中的应用，属于中档题.

二.多选题(共3小题)

14.(2024•市中区校级二模)对于具有相同定义域。的函数/(尤)和g(x),若存在函数/z(x)=履+仇左，b为

常数)对任给的正数机，

存在相应的天€。使得当xeO且x>x。时，总有一"")<"，则称直线/:y=履+6为曲线

[0<h(x)-g(x)<m

y=f(x)和y=g(x)的“分渐近线”.下列定义域均为£>={%|%>1}的四组函数中，曲线y=f(x)和y=g(%)

存在“分渐近线”的是()

A./(x)=x2,g(x)=a

B./(x)=10-+2,g(%)=^2元一^3

x

一“、x2+1/、xlnx+1

C・f(x)=-------,g(x)=———

xInx

x

D./(x)=芸，g(X)=2(x-l-e)

【考点】6F：极限及其运算

【分析】本题从大学数列极限定义的角度出发，仿造构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解

决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是xfoo时，/(x)-g(x)->0进行作答，是

一道好题，思维灵活，要透过现象看本质.

【解答】解：/(X)和g(x)存在分渐近线的充要条件是尤―8时，/(x)-g(x)f0.

f(x)=x2,g(x)=\[x,当X>1时便不符合，所以A不存在；

，丫一3

对于8,/«=10-'+2,g(x)=二」肯定存在分渐近线，因为当时，f(.r)-g(x)->0;

X

开工=，/、/+1/、xbvc+1，/、/、11

对于C，/(无)=，g(无)=~;----'/(x)—g(x)=,

xImxInx

设A(x)=x-Im,(x)=」>0,且lux<x,

x~

所以当尤—8时x-仇x越来愈大，从而/(尤)-g(尤)会越来越小，不会趋近于0,

所以不存在分渐近线；

.2比2-22

对于£),/(%)=---,g(x)=2(x-l-ex),当x->+co时，/(x)-g(x)=------+2+----->0,

尤+]1+J_e

x

故选：BD.

【点评】本题较难，涉及到部分大学内容，属于拓展类题目

15.(2024•建阳区一模)已知函数/(x)=丁-2办2+fcv+c(a,b,ceR),/'(x)是/(x)的导函数，贝!J(

)

A.“q=c=0”是“/(x)为奇函数”的充要条件

B.“a=b=O”是"/(无)为增函数”的充要条件

C.若不等式/•(x)<0的解集为{x|x<l且x*T},则/(元)的极小值为-/

D.若王，x,是方程尸(x)=0的两个不同的根，且,+-!_=1,则。<0或。>3

-X,x2

【答案】ACD

【考点】函数的奇偶性；基本初等函数的导数；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值

【专题】计算题；转化思想；导数的综合应用；运算求解；综合法

【分析】根据奇函数的定义域与性质及充分必要条件的定义可判断A；由导函数与单调性的关系及充分必

要条件的定义可判断3;由不等式的解集可得了(尤)的单调性与极值及函数的零点，从而可得“，b,c的

值，求出了(尤)解析式，由导数判断函数的单调性，从而可得函数的极小值，即可判断C；由△>◊及根与

系数的关系可求出“的取值范围，即可判断。.

【解答】解：当。=。=0时，f(x)=x3+bx,/(-%)=-/-to=-/(%),所以/(尤)为奇函数，充分性成立；

若f(x)为奇函数，贝！If(-x)=-x3-2ax2-bx+c=-f{x)=-x3+2ax2-bx-c,

则Are?-2c=0恒成立，所以a=c=O,必要性成立，故A项正确；

当4=人=0时，/(x)=x3+C,f'(x)=3x2..O,所以/(x)为增函数；

由题意得尸(x)=3*2-4亦+6,当/(元)为增函数时，△=1642-12",0,

所以“。=%=0”是"/(x)为增函数”的充分不必要条件，故3项错误；

f\x)=3x2-4ax+b,若不等式/(x)<0的解集为{x|x<l且xr-1},

则/(x)在尺上先增后减再增，则((-1)=0,f(1)=/(-1)=0,解得2a=6=c=-l,

故f(x)=x3+x2-x-1=(x+1)2(x—1),

fXx)=3尤2+2无一1=(3无一l)(x+1),

令广(X)=0,解得X=-1或X=g,

所以在区间(-00,-1)内，­(x)>0,八>)单调递增，

在区间内，f'(x)<0,/(无)单调递减，

在区间(：,+<»)内，/f(x)>0,/(X)单调递增，

11139

所以/(.X)的极小值为/(-)=(-+l)2x(--l)=--,故C项正确；

f'(x)=3x2-4ajc+b,因为王，%是方程/'(x)=0的两个不同的根，

所以△=16/一12b>0,即4/-36>0①，

4ab

%)+%=9芯%2=g，

,1I14曰

田---1----1,玉+%=玉％'

玉x2

所以即6=4。②，

33

由①②得/一34>0,解得a<0或a>3,故。项正确.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数单调性与奇偶性的判断，充分必要条件的定义，考

查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题.

16.(2024•扬州校级一模)若正数a,6满足a+b=l,贝1J()

A.log2a+log,b...-2B.2"+2”..20

C.a+Inb<0D.sintzsinZ?<—

4

【答案】BCD

【考点】利用导数研究函数的单调性

【专题】构造法；导数的综合应用；函数思想；不等式；数学运算

【分析】结合基本不等式可求必的范围，然后结合基本不等式及指数，对数的运算性质检验选项A,B,

结合选项中不等式的特点，合理的构造函数，结合导数与单调性关系检验选项C,D.

【解答】解：因为正数。满足

所以她,(小)2=工，当且仅当a=b=」时取等号，

242

贝!]log?a+log2b=log2ab,,log2—=_2,A错误；

2。+2b..2yl2a*2。=2后丁=2后,当且仅当a=b=」时取等号，5正确；

2

因为a+Inb=Inb一>+1,Ovbvl,

令/(%)=加一%+1,0v无<1,

则/f(x)=--l>0,即/(%)在(0,1)上单调递增，

X

所以/(%)</(1)=0,即加一％+1<0,

所以Inb<Z?—1=—Q,

所以a+/肪v0,。正确；

因为sinasin/?=sinasin(l—a),

令=sinxsin(l-x),0v%v1,

贝U/'(%)=cosxsin(l-x)-sinxcos(l-x)=sin(l-2x),

当0<x<：时，/,(x)>0,/(无)单调递增，当;<尤<1时，f'(x)<0,/(x)单调递减，

故fix)…=f(1)=sin21<sin2D正确.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查了基本不等式及函数的性质在不等关系的判断中的应用，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

17.(2024•淄博一模)设方程e"+X+e=0,阮r+x+e=0的根分另ll为夕，q,函数/(尤)=/+(p+q)%，

令a=/(0),b=/(—),c=/(—),贝！Ja,b,。的大小关系为_a>c>b_.

【答案】a>c>b.

【考点】利用导数研究函数的单调性

【专题】数学运算；转化思想；转化法；导数的综合应用

【分析】先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系推得p+q=-e,由此

得到f{x)=ex-ex,再结合函数的单调性判断即可.

【解答1解：由/+彳+6=0,得e'=—x—e,由Iwc+x+e=0,得hvc=—x—e,

因为方程e*+x+e=O的根为p,所以函数>=0*与y=-x-e的图象交点P的横坐标为p,

同理函数y=与y=的图象交点Q的横坐标为q,

因为y=靖与y=互为反函数，所以两函数图象关于y=x对称，

易知直线y=x与直线y=-x-e